2020-2021学年河北省沧州市盐山中学高二上学期期中考试数学试题 word版

- 1 - 河北省沧州市盐山中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题 一、单选题(共 60 分) 1．设命题 2: , 2nP n N n   ，则 P 为（ ） A． 2, 2nn N n   B． 2, 2nn N n   C． 2, 2nn N n   D． 2, 2nn N n   2 已知双曲线 E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线 E 的离心率 5e  ”是“双曲线 E 的渐近线方程为 2y x  ”的（ ） A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也 不必要 3．2021 年某省新高考将实行“ 3 1 2  ”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选 一，政治、地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式.某同学已选了物理，记事件 A ：“他 选择政治和地理”，事件 B ：“他选择化学和地理”，则事件 A 与事件 B （ ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 4．设动点 P 到 A(－5，0)的距离与它到 B(5，0)的距离的差等于 6，则 P 点的轨迹方程是( ) A． 2 2 19 16 x y  B． 2 2 19 16 y x  C．   2 2 1 39 16 x y x    D．   2 2 1 39 16 x y x   5．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有 2400 人、中部地区学生有 1600 人、西部地区 学生有 1000 人.从中选取 100 人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正 确的有（ ） ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生 48 人、中部地区学生 32 人、西部地区学生 20 人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出 100 人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为 1 50 ；④中部地区学生小张被选中的概率为 1 5000 A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 6．已知直线l : 3 0x y   与双曲线 C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a  , 0b  )交于 A , B 两点,点 - 2 -  1,4P 是弦 AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A． 5 B．2 C． 5 2 D． 4 3 7．北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日到 20 日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮 政发行《北京申办 2022 年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会 会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套 5 枚邮票中任取 3 枚，则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率为（ ） A． 3 10 B． 1 2 C． 3 5 D． 7 10 8．已知平面 的法向量为 ( 2, 2,1)n    ，点 ( ,3,0)A x 在平面 内，则点 ( 2,1,4)P  到平面  的距离为10 3 ，则 x ＝( ) A．－1 B．－11 C．－1 或－11 D．－21 9．若椭圆 2 2 136 16 x y  上一点 P 与椭圆的两个焦点 1F 、 2F 的连线互相垂直，则 1 2PF F 的面 积为( ) A．36 B．16 C．20 D．24 10．如图所示，平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以顶点 A 为端点 的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.求 1BD 与 AC 夹角的余弦值 是（ ） A． 3 3 B． 6 6 C． 21 7 11．已知抛物线 2: 4C y x ，过其焦点 F 的直线l 交抛物线 C 于 ,A B 两点，若 3AF FB uuur uur ， 则 AOF 的面积（O 为坐标原点）为（ ） A． 3 B． 3 3 C． 4 3 3 D． 2 3 12．已知抛物线 2 2y px＝ （ p 是正常数）上有两点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ，焦点 F ， 甲： 2 1 2 4 px x  ； 乙： 2 1 2y y p  ； 丙： 23 4OA OB p    ； 丁： - 3 - 1 1 2 FA FB p   . 以上是“直线 AB 经过焦点 F ”的充要条件有几个（ ） A． 0 B．1 C． 2 D．3 二、填空题(共 20 分) 13.设 P 是椭圆 2 2 125 9 x y  上的点, P 到该椭圆左焦点的距离为 2 ,则 P 到右焦点的距离为 __________. 14.正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AB  ， 1 2 2AA  ，D 为棱 1 1A B 的中点，则异面直线 AD 与 1CB 成角的大小为_______． 15．已知抛物线方程为 2 4y x  ，直线l 的方程为 2 4 0x y   ，在抛物线上有一动点 A ， 点 A 到 y 轴的距离为 m ，点 A 到直线l 的距离为 n ，则 m n 的最小值为______. 16．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0)x yC a ba b     的左，右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，又 点 23( , )2 bN c a  ，若双曲线C 左支上的任意一点 M 均满足 2 | | 4MF MN b  ，则双曲线C 的 离心率的取值范围__________． 三、解答题(共 70 分) 17．(本题 10 分)已知命题 : 1 1p x  “ ，不等式 2x x m    成立”是真命题． (I)求实数 m 的取值范围； (II)若 : 4 4q m a    是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 18．(本题 12 分)在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资 生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保 障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某 口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查 口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下六组： 40,50 ， 50,60 ，  60,70 ，…， 90,100 ，得到如下频率分布直方图. - 4 - （1）求出直方图中 m 的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同 一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到 0.01）； （3）现规定：质量指标值小于 70 的口罩为二等品，质量指标值不小于 70 的口罩为一等品. 利用分层抽样的方法从该企业所抽取的 100 个口罩中抽出 5 个口罩，并从中再随机抽取 2 个 作进一步的质量分析，试求这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率. 19．(本题 12 分)如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  底面 ABC ， AC BC ， D 是 1 1AC 的中点，且 1 2AC BC AA   . （Ⅰ）求证： 1 1 //A B 平面 ABD ； （Ⅱ）求直线 1AB 与平面 ABD 所成角的正弦值. 20．(本题 12 分)平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规 定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必 须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记 3 分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设 备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 （Ⅰ）请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程 aˆxbˆyˆ  （Ⅱ）预测该路段 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数． 参考公式：      1 1 2 22 11 n n i i i i i i nn i ii i x y nxy x x y y b x xx nx              ， xbˆ-yaˆ  ． 21．(本题 12 分)在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为 - 5 - 平行四边形，M 为 AA1 的中点，BC＝BD＝1， 1 2AB AA  ． （1）求证：MD⊥平面 BDC1； （2）求二面角 M-BC1-D 的余弦值． 22．(本题 12 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b     的离心率为 2 2 ，且过点 (2, 2) . （1）求椭圆 M 的方程； （2）若 A ，B 分别为椭圆 M 的上，下顶点，过点 B 且斜率为  0k k  的直线l 交椭圆 M 于 另一点 N （异于椭圆的右顶点），交 x 轴于点 P ，直线 AN 与直线 x a 相交于点 Q .求证：直 线 PQ 的斜率为定值 数学参考答案 1-5．CDADB 6-10．ACCBB 11．A 12．B 13．8 14． 6  15． 6 5 15  16． 131, ( 5, )3        17．（I）由题意 2m x x  在 1 1x   恒成立，所以 2 max( )m x x  ( 1 1)x   , 2 2 1 1 2 4x x x       ，所以 21 24 x x    ，即 2 max( ) 2x x  , 2m  ，实数 m 的取值 范围是 2, （II）由 q 得 4 4a m a    ， 因为 q p ，所以 4 2a   ，，即 6a  所以实数 a 的取 值范围是 6, 18．（1） 0.030m  （2）平均数为 71，中位数为 73.33（3） 3 5 （1）由  10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m       ， 得 0.030m  . （2）平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x              ， 设中位数为 n ，则  0.1 0.15 0.15 70 0.03 0.5n      ，得 220 73.333n   . - 6 - 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71，中位数为 73.33. （3）由频率分布直方图可知：100 个口罩中一等品、二等品各有 60 个、40 个， 由分层抽样可知，所抽取的 5 个口罩中一等品、二等品各有 3 个、2 个. 记这 3 个一等品为 a ，b ，c ，2 个二等品为 d ，e ，则从 5 个口罩中抽取 2 个的可能结果有：  ,a b ， ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,b c ， ,b d ， ,b e ， ,c d ， ,c e ， ,d e ，共 10 种， 其中恰有 1 个口罩为一等品的可能结果有： ,a d ， ,a e ， ,b d ， ,b e ， ,c d ， ,c e . 共 6 种. 故这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率为 6 3 10 5P   . 19．（Ⅰ）如图，由三棱柱 1 1 1ABC A B C ，得 1 1 //A B AB ， 又因为 1 1A B  平面 ABD ， AB Ì平面 ABD ，所以 1 1 //A B 平面 ABD ； （Ⅱ）因为 1CC  底面 ABC ， AC BC ， 所以CA ，CB ， 1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ， 1CC 为 x 轴， y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则  0,2,0B ，  2,0,0A ，  1 0,2,2B ，  1,0,2D ， 所以  1 2,2,2AB   ，  1 2,2,0AB   ，  1,0,2AD   ， 设平面 ABD 的法向量  , ,n x y z ， 由 0AB n   ， 0AD n   ，得 2 2 0, 2 0, x y x z       令 2x  ，得  2,2,1n  r . 设直线 1AB 与平面 ABD 所成角为 ，则 1 1 1 3sin cos , 9 AB nAB n AB n             ， 所以直线 1AB 与平面 ABD 所成角的正弦值为 3 9 . 20．解：（Ⅰ）由表中数据，计算； 1 (1 2 3 4 5) 35x        ， - 7 - 1 (120 105 100 90 85) 1005y        ， 1 22 1 1 120 2 105 3 100 4 90 85 5 5 3 10! 1415 1500 8.51 4 9 16 25 5 9 55 45 n i i i n i i x y nxy b x nx                              ，  100 8.5 3 125.5a y bx      所以 y 与 x 之间的回归直线方程为 8.5 125.5y x   ； （Ⅱ） 7x  时， 8.5 125.5 66y x    ， 预测该路段 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为 66 人． 21．（1）因为 BC=BD=1，CD=AB= 2 ，可得 BC2+BD2=CD2， BD  BC，又 AD / / BC，BD  AD . 又ABCD-A1B1C1D1 是 直四棱柱， DD1  平面 ABCD，DD1  BD .  1 DD AD D ，BD  平面 ADD1A1，BD  MD，取 BB1 中 点 N，连接 NC ，MN， / /MN DC 且， MNCD 为平行四边形， / /MD NC ， 1 NB BC BC CC  = 2 2 ， 1~NBC BCC  ， 1 90C BC BCN     ，BC1  CN， 又 MD / / NC， MD  BC1，又 BC1 BD =B，MD  平面 BDC1； （2）以 DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立如图所示的坐标系， 则 (0,1,0)B ， 1( 1,1, 2)C  ， 21,0, 2M       ， 21, 1, 2BM        ， 1 ( 1,0, 2)BC   ， 由（1）可知 DM  为平面 BDC1 的一个法向量， 21,0, 2DM        ， 设平面 C1BM 的一个法向量为 ( , , )n x y z ，  1 0 0 BC n BM n           ，则 2 0 2 02 x z x y z       ，可取 3 22, ,12n        ，设二面角 M-BC1- D 为 ， 所以 10cos 5 DM n DM n        ，即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 10 5 . - 8 - 22．（1）设椭圆的焦距为 2c ，则 2 2 c a  ①， 2 2 4 2 1a b   ②，又 2 2 2a b c  ③， 由①②③解得 2 8a  ， 2 4b  ， 2 4c  ，所以椭圆 M 的标准方程为 2 2 18 4 x y  . （2）证明：易得 (0,2)A ， (0, 2)B  ，直线l 的方程为 2y kx  ，因为直线l 不过点 (2 2,0) ， 所以 2 2k  ， 由 2 2 2 2 8 y kx x y      ，得 2 22 1 8 0k x kx   ，所以 2 8 2 1N kx k   ，从而 2 2 2 8 4 2,2 1 2 1 k kN k k       ， 2 ,0P k      ， 直线 AN 的斜率为 2 2 2 4 2 2 12 1 8 2 2 1 k k k k k      ，故直线 AN 的方程为 1 22y xk    . 令 2 2x  ，得 22 2, 2Q k       ，直线 PQ 的斜率 2 2 2 2 2( 2 1) 2 2 22 2 2 2( 2 1)2 2 PQ k kkk k k k           . 所以直线 PQ 的斜率为定值 2 2 .