2020-2021学年广西玉林师院附中、玉林十一中等五校高二上学期期中考试数学（文）试题 （解析版）

- 1 - 绝密★启用前 广西玉林师院附中、玉林十一中等五校 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学 （文）试题 考试时间：120 分钟；命题人：谭春 审题人：李益善 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知 : 2p x  ， : 1q x  ，则 p 是 q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．椭圆 2 24 1x y  的离心率为（ ） A． 3 2 B． 3 4 C． 2 2 D． 2 3 3．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近 12 个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时） 的茎叶图如图，若其众数为 x ，中位数为 y ，则 x y  （ ） A．19.5 B．2 C．21 D．11.5 4．判断如图所示的图形中具有相关关系的是（ ） A． B． - 2 - C． D． 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球， 那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．恰有一个红球与恰有二个红球 D．至少有一个红球与至少有一个白球 7．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了 100 位同学的数学成绩进行分析，在录入 数据时，统计员不小心将 100 位同学中的最高成绩 148 分录成了 150 分，则在计算出的数据 中一定正确的是（ ） A．平均分 B．方差 C．中位数 D．标准差 8．党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、 诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无 区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取 1 张卡片，则写有“爱国”“诚 信”两词中的一个的概率是（ ） A． 1 3 B． 1 6 C． 5 6 D． 2 3 9．椭圆 2 2 12 x y  上的点到直线 2 7x y  距离最近的点的坐标为（ ） A． 4 1,3 3     B． 4 1,3 3     C． 4 17,3 3     D． 4 17,3 3     10．已知椭圆 C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     离心率为 3 2 ，点  2,0A  在C 上，则椭圆的短轴 - 3 - 长为（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 2 3 11．祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之 后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三 角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率 的值．正三角形的边长为 4，若总豆 子数 1000n  ，其中落在圆内的豆子数 618m  ，则估算圆周率 的值是（为方便计算 3 取 1.70，结果精确到 0.01）（ ） A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 2 2 1 | |x y x y   就是其中之一（如 图）.给出下列三个结论： ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 第 II 卷（非选择题） 二、填空题 - 4 - 13．2020 年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学 习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中 3 个年级的学生中随机抽取了 150 人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了 40 人，50 人，若高三年级有学生 1200 人， 则该高中共有学生_____人． 14．下表是 x ， y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 4 y 5 7 8 c 19 且 y 关于 x 的回归方程为  3.2 3.6y x  ，则表中的 c  ______. 15．设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点为 F，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线垂足为 A，且| | 2 | |OA AF ，O 为坐标原点，则 C 的离心率为_________． 16．有下列命题 ① 命题“ ∃ x ∈ R，使得 x2+1＞3x”的否定是“ ∀ x ∈ R，都有 x2+1＜3x”； ② 设 p、q 为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q 为真命题”； ③ “a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件； ④ 若函数 f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数，则 a＝﹣1； 其中所有正确的说法序号是 三、解答题 17．已知某大学有男生 14000 人，女生 10000 人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运 动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人，统计他们平均每天运动的时 间（单位：小时）如表： 男生平均每天运动的时间 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) 人数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时间 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) 人数 5 12 18 10 3 y - 5 - （1）求实数 ,x y 的值； （2）若从被抽取的 120 人平均每天运动时间（单位：小时）在范围[0,0.5) 的人中随机抽取 2 人，求“被抽取的 2 人性别不相同”的概率. 18．已知：双曲线 :C 2 2 116 9 x y  . （1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率； （2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点 (2 3, 3)A  ，求该双曲线的 方程. 19．设命题 :p 实数 x 满足 2 23 2 0x ax a   ，其中 0a  ；命题 :q 实数 x 满足  3log 1 1x   . （1）当 1a  时，若命题 p 和命题 q皆为真命题，求 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是 3y x  ，且双曲线过点 2, 3 . （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点 F 作倾斜角为 4  的直线交双曲线于 A 、 B 两点，求 AB . 21．2020 年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降， - 6 - 国内多地在 3 月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继 2009 年首 次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前 2 天大力宣传后，从 第 3 天开始连续统计了 6 天的汽车销售量（单位：辆）如下： 第 x 天 3 4 5 6 7 8 销售量 y （单位：辆） 17 20 19 24 24 27 （1）从以上 6 天中随机选取 2 天，求这 2 天的销售量均在 24 辆以上（含 24 辆）的概率； （2）根据上表中前 4 组数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （3）用（2）中的结果计算第 7、8 天所对应的 ˆy ，再求 ˆy 与当天实际销售量 y 的差，若差值 的绝对值都不超过 1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程 预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第 10 天 的销售量；若不可行，请说明理由. 参考公式：回归直线 ˆˆ ˆy bx a  中斜率和截距的最小二乘估计分别为      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆ  a y bx . 22．椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     经过点  0, 1A  ， 2 3,2 2B      . （1）求椭圆 E 的方程； （2）经过点 1,1 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P ，Q（均异于点 A ），则直线 AP 与 AQ 的 斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由. 参考答案 - 7 - 1．A【详解】设命题 p : 2x  对应的集合为 { | 2}A x x  , 命题 q : 1x  对应的集合为 { | 1}B x x  , 因为 AB,所以命题 p 是命题 q的充分不必要条件.故选 A. 2．A【详解】 解：因为 2 24 1x y  ，所以 2 2 11 4 yx   ，则 1a  ， 1 2b  ， 所以 2 2 2 2 3 4 a be a   ，又因为 0e  ，所以 3 2e  .故选：A. 3．D【详解】 由题意可知众数为 77x  ,中位数为 64 67 =65.52y  ,所以 77 65.5=11.5x y   . 4．C【详解】根据图象可得 A,B 为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系， C 中散点分布在一条直线附近，可得其线性相关， D 中散点分布在一个长方形区域，即非线性相关，故选：C 5．C【详解】 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，不同的取球情况共有以下几种： 3 个球全是红球；2 个红球和 1 个白球；1 个红球 2 个白球；3 个全是白球. 选项 A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项 B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件； 选项 D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2 个红球 1 个白 球”与“1 个红球 2 个白球”； 选项 C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有 2 个红球”互斥不对立，故选 C. 6．C【解析】试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值 S 与 n 对应变化情况， 从而求出当 S=2 时，输出的 n 即可． 解：．由框图可知，程序运行时，数值 S 与 n 对应变化如下表： s= -1 2 n= 2 4 8 故 S=2 时，输出 n=8． 故选 C - 8 - 7．C【详解】 将最高分 148 分录成了 150 分，则把 100 个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化， 所以一定正确的数据为中位数.故选：C 8．A【详解】 由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、 敬业；诚信、友善的卡片，共有 6 个， 其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚 信、友善的卡片，共有 2 个，所以由古典概型概率公式知： 2 1 6 3P   ，故选：A 9．B【详解】设和椭圆 2 2 12 x y  相切且与直线 2 7x y  平行的直线方程为 2y x b  ， 所以 2 2 12 2 x y y x b       得 2 29 8 2 02x bx b   ， 因为直线和圆相切，所以 2 236 2)64 (2 0b b     ，所以 3b   ， 3b   时， 2 7x y  与 2 3y x  的距离为 4 5 5 ， 3b  时， 2 7x y  与 2 3y x  的距离为 2 5  4 5 5 此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆的上方，舍去， 所以 3b   ， 所以 2 2 12 2 3 x y y x       ，得 29 24 16 0x x   ，解得切点坐标为 4 1,3 3     ，故选：B. 10．C【详解】因为 3 2 c a  ， 2a  ，所以 3c  ，所以 2 2 1b a c   ，故选：C. 11．C【详解】由题意可得， S 正三角形 4 3 ，内切圆的半径 r 内 2 3 3  ， S 内切圆 4 3  ， 则 4 6183 10004 3 S S   内切圆 正三角形 ， 3.1518 3.15   ．故选：C． 12．C【详解】 - 9 - 13．3000 【详解】 由已知可知，高三年级抽取的学生数为150 40 50 60   ， 设该高中的学生总数为 n，则 60 150 1200 n  ， 解得 3000n  ，即该高中的学生共有 3000 人．故答案为：3000 14．11【详解】 ∵回归直线经过样本中心点 ,x y ， 0 1 2 3 4 25x      ， ∴ 3.2 2 3.6 10y     ， ∴ 5 7 8 19 105 c     ，解得 11c  . 故答案为：C 15． 5 2 【详解】 由题意可得 | | | | 1tan | | 2 | | 2 AF AFAOF OA AF     ， 渐近线方程为 by xa  ， ∴ 1 2 b a  ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 54 4 aac a be a a a     ，故 5 2e  ． 故答案为： 5 2 ． 16． ②④ 【详解】 解： ① 命题“ ∃ x ∈ R，使得 x2+1＞3x”的否定是“ ∀ x ∈ R，都有 x2+1≤3x”，故错误； - 10 - ② 设 p、q 为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q 为真命题”，故正确； ③ “a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故错误； ④ 若函数 f（x）＝（x+1）（x+a）为偶函数， 则 f（﹣x）＝f（x），即（﹣x+1）（﹣x+a）＝（x+1）（x+a）， 即 x2﹣（a+1）x+a＝x2+（a+1）x+a， 则 a＝﹣1，故正确； 故答案为 ②④ ． 17．【详解】 （1）男生 14000 人，女生 10000 人，男数：女数 7:5 ， 故男生抽取了 7120 7012   人，女生抽取了 50 人，由 2 12 23 18 10 70 5x x      ， ， 5 12 18 10 3 48 50 2y y y        ， ； （2）从被抽取的 120 人平均每天运动时间（单位：小时）在范围[0,0.5) 的人中，有男生 2， 女生 5 人，共有 7 人 设男生为 1 2,A A ,女生为： 1 2 3 4 5, , , ,B B B B B 随机抽取 2 人不相同的情况有： 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5, , , , ,A A A B A B A B A B A B 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5, , , ,A B A B A B A B A B 1 2 1 3 1 4 1 5, , ,B B B B B B B B 2 3 2 4 2 5, ,B B B B B B 3 4 3 5,B B B B 4 5B B ,总共有 21种选法 性别不同的(即一男生一女生)有： 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5, , , ,A B A B A B A B A B 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5, , , ,A B A B A B A B A B ，共10种选法， 随机抽取 2 人，“被抽取的 2 人性别不相同”的事件为 C ， 故 10( ) 21P C  . 18．（1）双曲线 :C 2 2 116 9 x y  ，所以 4, 3a b  ， 2 2 5c a b   ， 双曲线C 的焦点坐标 5,0 ， 5,0 ，顶点坐标 4,0 ，  4,0 ，离心率 5 4 ce a   ． （2）设所求双曲线的方程为： 2 2 16 9 x y   ，将  2 3, 3A  代入上式得：     2 22 3 3 16 9   ， 解得： 1 4    所求双曲线的方程为： 2 24 19 4 y x  ． - 11 - 19．【详解】（1）当 1a  时， 2 3 2 0x x   ， 所以  1 2 0x x   ， 解得1 2x  ；即命题 p 为真命题，则1 2x  ； 因为  3log 1 1x   ， 所以1 4x  ，即命题 q为真命题，则1 4x  ； 若命题 p 和命题 q皆为真命题， 所以 1 2 1 4 x x      ，所以1 2x  ；即 x 的取值范围 1,2 （2）因为 2 23 2 0x ax a   ， 0a  ， 所以  2 0x a x a   ， 解得 2a x a  ， 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q是 p 的必要不充分条件， 即 ,2a a 是 1,4 的真子集， 则 1 2 4 a a    ，则1 2a  ， 经检验，当 1a  或 2a  时，都满足题意. 即实数 a 的取值范围 1,2 . 20．【详解】 （1）设双曲线方程为： 2 23 x y   ，将点 2, 3 的坐标代入双曲线的方程得 3 2 3 3     ， 所以所求双曲线方程为 2 2 13 yx   ； （2）易知双曲线右焦点的坐标为 2,0 ，设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ， 直线 AB 的方程为 2y x  ，联立 2 2 2 3 3 y x x y      ，可得 22 4 7 0x x   ， 16 4 2 7 72      ，由韦达定理可得 1 2 2x x   ， 1 2 7 2x x   . 因此，    2 22 1 2 1 2 1 2 71 1 2 4 2 2 4 62AB x x x x x x                   . 21．【详解】（1）设“从 6 天中随机选取 2 天，这 2 天的销售量均在 24 辆以上（含 24 辆）” 为事件 A ， 这 6 个数据为 3、4、5、6、7、8，抽取两个事件的基本事件有：  3,4 ， 3,5 ， 3,6 ， 3,7 ， 3,8 ， 4,5 ， 4,6 ， 4,7 ， 4,8 ， 5,6 ， 5,7 ， 5,8 ，  6,7 ， 6,8 ， 7,8 ，共 15 种， - 12 - 其中事件 A 发生的基本事件包括 6,7 ， 6,8 ， 7,8 ，共 3 种， 所以   3 1 15 5P A   . （2）因为 3 4 5 6 9 4 2x     ， 17 20 19 24 204y     ， 4 2 1 86i i x   ， 4 1 370i i i x y   ， 所以 1 2 2 1 9370 4 202ˆ 28186 4 4 n i i i n i i x y nxy b x nx              ， 9ˆˆ 20 2 112a y bx      ， 所以所求线性回归方程为 ˆ 2 11y x  . （3）当 7x  时， ˆ 2 7 11 25y     ，此时 24 25 1 1   ； 当 8x  时， ˆ 2 8 11 27y     ，此时 27 27 0 1   ； 所以所求线性回归方程为 ˆ 2 11y x  是“可行”的. 当 10x  时， ˆ 2 10 11 31y     ； 所以预测第 10 天的销售量为 31 辆. 22．【详解】（1）由题意知 2 2 1 3 12 4a b   ， 1b  ，解得 2a  ， 所以，椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  . （2）由题设知，直线 P 、Q 的方程为    1 1 2y k x k    ，代入 2 2 12 x y  ， 得 2 21 2 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k      ，由已知   ， 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 1 2 0x x  ，则 1 2 2 4 ( 1) 1 2 k kx x k    ， 1 2 2 2 ( 2) 1 2 k kx x k   ， 从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 AP AQ y y kx k kx kk k x x x x           1 2 1 2 1 2 1 1 4 ( 1)2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 2 ( 2) x x k kk k k k k kx x x x k k                 2 (2 1) 2k k    .