2020-2021学年河北省黄骅中学高二上学期10月联合考试数学试题 word版

- 1 - 黄骅中学 2020-2021 学年高二上学期 10 月联合考试数学试卷 试卷满分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知直线 6 3 2 0x y   的倾斜角为 ，则 2sin 2 2cos   （ ） A． 2 5  B． 4 5  C． 12 5  D． 2 5 2．已知向量 a 与b 的夹角为 45°，| | 2,| | 2a b  ，当 (2 )b a b   时，实数  为（ ） A．1 B．2 C． 1 2 D． 1 2  3．若圆 2 2: 9C x y  上恰有 3 个点到直线 : 0( 0)l x y b b    的距离为 2， 1 : 3 2 0l x y   ，则 l 与 1l 间的距离为（ ） A．1 B． 2 C．3 D．2 4．已知椭圆 2 2 125 9 x y  的左右焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，则 1 2PF PF 的最大值是 （ ） A．9 B．16 C．25 D．27 5．已知 2sin 3 3       ，则 sin 26       （ ） A． 1 9 B． 1 9  C． 1 9  D． 8 9  6．已知半径为 2 的圆经过点 (4,3) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知O 为三角形 ABC 所在平面内一点， 2 0OA OB OC      ，则 OBC ABC S S   （ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 1 2 D． 1 5 - 2 - 8．如图，要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 4  ，在 D 点测得塔顶 A 的 仰角是 6  ，水平面上的 , 40m3BCD CD   ，则电视塔 AB 的高度为（ ） m A．20 B．30 C．40 D．50 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．下列说法正确的是（ ） A．平面内到两个定点 1 2,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆； B．在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别为 , ,a b c ，若 A B 则 a b ； C．若数列 na 为等比数列，则 1n na a  也为等比数列； D．垂直于同一个平面的两条直线平行． 10．下列命题中的真命题有（ ） A．已知 ,a b 是实数，则“ 1 1 3 3 a b          ”是“ 3 3log loga b ”的充分而不必要条件； B．已知命题 : 0p x  ，总有 ( 1) 1xx e  ，则 0: 0p x   ，使得 0 1 1xx e  C．设 ,  是两个不同的平面，m 是直线且 m  ．“ / /m  ”是“ / /  ”的必要而不充 分条件； D．“ 2 0 0,2xx R x   ”的否定为“ 2, 2xx R x   ” 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS 且满足 1 1 13 0( 2), 3n n na S S n a    ，下列命题中正确 的是（ ） - 3 - A． 1 nS       是等差数列； B． 1 3nS n  ； C． 1 3 ( 1)na n n    D． 3nS 是等比数列； 12．己知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 1，点 P 到底面 ABC 的距离为 2 ，则（ ） A．该三棱锥的内切球半径为 2 6 B．该三棱锥外接球半径为 7 2 12 C．该三棱锥体积为 2 12 D． AB 与 PC 所成的角为 2  三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知等差数列 na 前 n 项和 nS ，且 2019 20200, 0S S  ，若 1 0k ka a   ，则 k 的值为 ________ 14．已知 tan ,tan  为方程 2 5 3 6 0x x   的两根，且 , ,2 2         ，则    ________ 15．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，棱长为 2， M 为 AB 的中点，则异面直线 1B M 与 1A D 所 成角的余弦值是____________ 16．已知椭圆的中心为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭 圆于 A B、 两点，且 OA OB  与 (4, 2)a   共线，则椭圆的离心率 e _______ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在 ABC 中，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，  2 2 23 , 3 312ABCS a b c ac    且 sin 3 sinA B - 4 - （1）求角C 的大小； （2）求 c 边的长． 18．已知四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， SA  面 ,ABCD E 为 SC 上的一点， （1）求证：面 EBD 面 SAC （2）若 2, 1SA AB  ，求 SA 与平面 SBD 所成角的正弦值． 19．已知数列 na 中，  * 1 11, 4 n n n aa a n Na   ， （1）求证： 1 1 3na      是等比数列，并求 na 的通项公式； （2）数列 nb 中，   *4 12 n n n n nb a n N   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为 37.8g / cm ）六角螺帽共重 6kg ，已知该种规格的 螺帽底面是正六边形，边长是12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm， （1）求一个六角螺帽的体积；（精确到 30.001cm ） （2）问这堆六角螺帽大约有多少个？ （参考数据： 3.14, 3 1.73,2.952 7.8 23,1.083 7.8 8.45       ） 21．已知圆 2 2: 4 2 3 0C x y x y     和圆外一点 (0, 8)M  ， - 5 - （1）过点 M 作一条直线与圆C 交于 ,A B 两点，且| | 4AB  ，求直线 AB 的方程； （2）过点 M 作圆C 的切线，切点为 ,E F ，求 EF 所在的直线方程． 22．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ．离心率为 1 2 ，点 (0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以 构成等腰直角三角形 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 y kx m  与椭圆C 交于 M N、 两点，0 为坐标原点直线OM ON、 的斜率之积 等于 3 4  ，试探求 OMN 的面积是否为定值，并说明理由． - 6 - 答案 1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．BD 10．CD 11．ABD 12．ABD 13．1010 14． 2 3  15． 10 5 16． 2 2 17．解：（1）由  2 2 23 12ABCS a b c   得 1 3sin •2 cos2 12ab C ab C 3tan 3C  又 (0, ) 6C C    5 分 （2）由sin 3 sinA B 及正弦定理得 3a b 由余弦定理得 2 2 2 2 2 32 cos ( 3 ) 2 3 2c a b ab C b b b b         3b c c    10 分 18．解：（1）∵底面为正方形， BD AC  ， 又 SA  底面 ABCD ,SA BD SA AC A    BD SAC EBD SAC BD EBD       面 面 面 又 面 6 分 （2）方法 1：设 A 到面 SBD 的距离为 d S ABD A SBDV V  1 1 1 323 2 3 2d      2 3d  设 SA 与面 SBD 所成的角为 - 7 - 2 13sin | | 2 3 d SA     12 分 （其它方法参照给分） 19．解： （1） 1 4 n n n aa a   1 41 4 11 4 1n n n n n a a a a a        1 1 1 14 3n na a              1 1 1 1 143 3n na a         1 1 1 4 03 3a    1 1 3na       是以 4 3 为首项，4 为公比的等比数列  11 1 4 1 1 34 4 13 3 3 4 1 n n n n n n aa a           6 分 （2）   34 12 2 n n n n n n nb a   2 1 1 13 6 32 2 2nns n       ① 2 3 1 1 1 1 13 6 32 2 2 2n ns n        ② ① ②得 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 33 3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 n n n n ns n                             16 (3 6) 2n ns n n N     12 分 20．解： - 8 - （1） 2 23 10(12) 6 10 3.14 104 2V           3736.8 785     3 32951.8 2952 mm 2.952 cm   6 分 （2）这堆螺帽的个数为： 6 1000 (7.8 2.952) 261    （个）（注意：答案为 260 得 10 分） 答：每个螺帽的体积为 32.952cm ，共有 261 个螺帽 12 分 21．解 （1）圆 2 2:( 2) ( 1) 8C x y    ，则圆心 (2, 1)C  ，半径 2 2r  ①若直线 AB 的斜率存在，设直线 : 8AB y kx  ，即 2 | 2 1 8| 45 458 0, 2 , 8 028 281 AB kkx y d k l x y k              ②若直线 AB 的斜率不存在，则直线 : 0AB x  ，代入 2 2 3 0y y   得 1 21, 3y y   综上所求直线 AB 的方程为： 0x  或 45 28 224 0x y   6 分 （2）以CM 为直径得圆的方程 ( 2)( 0) ( 1)( 8) 0x x y y      即： 2 2 2 9 8 0x y x y     2 2 4 2 3 0x y x y     ① ②得 2 7 11 0x y   ，即为所求 12 分 22．解：（1）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     离心率为 1 2 ，点 (0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以 构成等腰直角三角形， 所以 2a  ；离心率为 1 2 ，所以 1c ea  ； 3b  ． 椭圆方程为 2 2 14 3 x y  4 分 - 9 - （2） 2 2 14 3 y kx m x y     得   2 2 23 4 8 4 3 0k x kmx m     设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则        2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 (8km) 16 3 4 3 48 4 3 0 8km 3 4 4 m 3 3 4 k m k m x x k x x k                   6 分     2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 OM ON kx m kx m k x x mk x x my yk k x x x x x x                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 m 3 8 3 4 3 4 3 44 3 4 3 k k m m k m k m m            2 22 4 3m k   8 分 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 3 4 3 m 4 3 | || | 1 1 13 4 2 k mMN k x x k kk m         原点 0 到 l 的距离 2 | | 1 md k   2 2 2 | | 1 4 3 | | | |1 32 2 2 1OMN MN m mS d k m k       为定值 12 分