2020-2021学年广东省阳江一中高二上学期数学大练习（五） （解析版）

1 阳江一中 2020-2021 学年高二上学期数学大练习（五） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题 1．已知   2sin 2 xf x x e  ，则  f x  （ ） A． 22cos2 2 xx e B． 2cos2 xx e C． 22sin 2 2 xx e D． 2sin 2 xx e 2．曲线 lny x x 在点 ( , )M e e 处的切线方程为 A． 2y x e  B． 2y x e  C． y x e  D． y x e  3．已知函数   1 ln xf x x  在区间 , 2a a  上不是单调函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A．  1,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 10, e     4．函数   e 2 1xf x x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数  1 cosf x x ，    2 1f x f x ，…，    1n nf x f x ，则 2019 3f      为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 3 2 D． 3 2  6．若 2x   是函数 2 1( ) ( 1) xf x x ax e    的极值点，则 ( )f x 的极小值为（ ）． A． 1 B． 32e C． 35e D．1 7．已知曲线 lny x x  在点 1,1 处的切线与抛物线  2 2 1y ax a x    相切，则 a 的值为 （ ） A． 0 B．0 或8 C．8 D．1 8．已知 3ln 2ta  ， 2ln3tb  ， 23lnc t ，其中  3,4t  ，则下列选项正确的是（ ） A． a b c  B． c a b  C．b c a  二、多选题 9．已知函数 ( )f x 的定义域为 R 且导函数为 '( )f x ，如图是函数 '( )y xf x 的图像，则下列说法正 确的是（ ） A．函数 ( )f x 的增区间是 ( 2,0),(2, )  B．函数 ( )f x 的增区间是   , 2 , 2,   C． 2x   是函数的极小值点 D． 2x  是函数的极小值点 10．若 a ，b 为正实数，则 a b 的充要条件为（ ） A． 1 1 a b  B． ln lna b C． ln lna a b b D． a ba b e e   11．已知定义在 R 上的函数  f x 满足    f x f x  ，则下列式子成立的是（ ） A．    2019 2020f ef B．    2019 2020ef f C．  f x 是 R 上的增函数 D．若 0t  ，则有    tf x e f x t  12．已知函数 ( ) sinf x x x ， xR ，则下列说法正确的有（ ） A． ( )f x 是偶函数 B． ( )f x 是周期函数 C．在区间 ,2 π π     上， ( )f x 有且只有一个极值点 D．过(0，0)作 ( )y f x 的切线，有且仅有 3 条 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．设 x  是函数   3cos sinf x x x  的一个极值点，则 2cos2 sin   ______． 14．已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时，   sin cosf x x x a   (a 为常数)，则曲线  y f x 在点   , f  处的切线方程为______. 15．若函数 ( ) cos2 sinf x x a x  在区间 ( , )6 2   内是减函数，则实数 a 的取值范围是_______. 16．已知三个函数   2 2lnh x x x  ，     5ln 5ln 2f x h x x   ，     2ln 4g x h x x bx    . 若  1 0,1x  ，  2 1,2x  ，都有    1 2f x g x 成立，求实数 b 的取值范围______. 四、解答题 答案第!语法错误，)页，总 6页 2 17．∆ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍． (1)求 sin sin B C ； (2) 若 AD=1，DC= 2 2 ，求 BD 和 AC 的长． 18．已知数列 na 成等差数列，各项均为正数的数列 nb 成等比数列， 1 32, 8b b  ，且 2 3 23a a b  ， 3 4 33a a b  . （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 2 2 1 1 logn n n c a b    ，求数列 nc 的前 n 项和 nS . 19．如图，四边形 ABCD 为正方形， ,E F 分别为 ,AD BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC△ 折起， 使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF . （1）证明：平面 PEF  平面 ABFD ； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   的右焦点为 (1,0) ，且经过点 (0,1)A . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，直线 : ( 1)l y kx t t    与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交 于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点. 21．已知函数   2lnxf x e x x e      ，  g x ax ， aZ ，其中 e 是自然对数的底数． （1）求函数  f x 在 1x  处的切线方程； （2）当 0x  时，    f x g x 恒成立，求 a 的最大值． 22．已知函数   21 ln2f x x x a x   ． （1）当 0a  时，讨论函数  f x 的单调性； （2）若函数  f x 有两个极值点 1x ， 2x ，证明:    1 2 ln2 3 2 4f x f x    ． 3 2020-2021 学年高二数学大练习（五）参考答案 1．A【解析】因为   2sin 2 xf x x e  ，所以   22cos2 2   xf x x e .故选：A 2．B【解析】由 ln ' 1 lny x x y x    ， 1 ln 2x ey e    ， 所以过点 ( , )M e e 切线方程为  2 2y x e e x e     答案选 B 3．C【解析】因为   1 ln xf x x  （ 0x  ），所以   1 1 ln lnx xf x x x      ， 由   0f x  得 1x  ，所以，当 0 1x  时，   0f x  ，即   1 ln xf x x  单调递增； 当 1x  时，   0f x  ，即   1 ln xf x x  单调递减； 又函数   1 ln xf x x  在区间  , 2a a  上不是单调函数， 所以有 0 1 2 1 a a a       ，解得 0 1a  .故选 C 4．C【解析】函数   2 1xf x e x   是偶函数，排除选项 B ； 当 0x  时，函数   2 1xf x e x   ，可得  ' 2xf x e  ， 当  0,ln 2x 时，  ' 0f x  ，函数是减涵数，当 ln 2x  时，函数是增函数，排除项选项 ,A D 5．B【解析】  1 cosf x x  , ( )2 1 '( ) sinf x f x x\ = = - , ( )3 2 '( ) cosf x f x x= = - , ( )4 3 '( ) sinf x f x x= = , ( )5 4 '( ) cosf x f x x= = ,……则 ( )nf x 是一个周期为 4 的周期函数， 2019 3 1cos3 3 3 2f f                 .故选：B. 6．A【解析】由题可得        1 2 1 2 12 1 2 1x x xf x x a e x ax e x a x a e              ， 因为  2 0f    ，所以 1a   ，    2 11 xf x x x e    ，故    2 12 xf x x x e    ， 令   0f x  ，解得 2x   或 1x  ， 所以  f x 在    , 2 , 1,   上单调递增，在 2,1 上单调递减， 所以  f x 的极小值为     1 11 1 1 1 1f e      ，故选 A． 7．C【解析】 11y x    ，当 1x  时，切线的斜率 2k  ，切线方程为  2 1 1 2 1y x x     ， 因为它与抛物线相切，  2 2 1 2 1ax a x x     有唯一解即 2 2 0ax ax   故 2 0 8 0 a a a       ，解得 8a  ，故选 C. 8．C【解析】 2 6 2 a ln t  ， 3 6 3 b ln t  ， ln 6 c t t t ， 6 0t Q ， ∴a，b，c 的大小比较可以转化为 2 3 ln 2 3 t ln ln t， ， 的大小比较． 设   lnxf x x  ，则   2 1 lnxf x x   ，当 x e 时，   0f x  ， 当 x e 时，   0f x  ，当 0 x e  时，   0f x   f x 在 ,e  上，  f x 单调递减， 3 4e t  Q ∴ 3 ln 4 2 3 4 2 l t n t ln ln＞ ＞ ，∴b c a  9．BD 【解析】由题意，当 0 2x  时， ( ) 0f x  ；当 2x  ， ( ) 0f x  ； 当 2 0x   时， ( ) 0f x  ；当 2x   时， ( ) 0f x  ； 即函数 ( )f x 在  , 2  和 (2, ) 上单调递增，在 2,2 上单调递减， 因此函数 ( )f x 在 2x  时取得极小值，在 2x   时取得极大值；故 A 错，B 正确；C 错，D 正确. 10．BD【解析】因为 1 1 b aa b    ，故 A 选项错误； 因为 a ，b 为正实数，所以 ln lna b a b   ，故 B 选项正确； 取 2a e b e   ，则 2 2 2ln 2e e e ， lne e e ，即 ln lna a b b 不成立，故 C 选项错误； 因为 ( ) 1x xy e x e     ，当 0x  时， 0y  ，所以 xy e x  在 (0, )x  上单调递增， 即 a b a ba b e a e b a b e e         ，故 D 正确. 故选：BD 11．AD【解析】由    f x f x  ，得     0x xe f x e f x  ，即   0xe f x     ， 所以函数  xe f x 为增函数，故    2019 20202019 2020e f e f ， 所以    2019 2020f ef ，故 A 正确，B 不正确； 函数  xe f x 为增函数时，  f x 不一定为增函数，如 1 2 2 x x x ee           是增函数， 但 1 2 x y      是减函数，所以 C 不正确； 因为函数  xe f x 为增函数，所以 0t  时，有    x x te f x e f x t  ， 故有    tf x e f x t  成立，所以 D 正确.故选：AD. 答案第!语法错误，)页，总 6页 4 12．ACD【解析】对于 A，因为函数的定义域为 R ，显然    f x f x  ， 所以函数 ( )f x 是偶函数，正确； 对于 B，若存在非零常数T ，使得 ( ) ( )f x T f x+ = ，令 2x  ，则 sin2 2 2T T              ， 即 cos2 2T T      ，令 0x  ，则 sin 0T T  ，因为 0T  ，所以sin 0T  ，即 cos 1T  或 cos 1T   ．若cos 1T  ，则 2 2T   ，解得 0T  ，舍去；若 cos 1T   ，则 2 2T       ， 解得T   ，所以若存在非零常数T ，使得 ( ) ( )f x T f x+ = ，则T   ． 即    f x f x  ，令 3 2x  ，则 3 2 2f f           ，而 2 2f       ， 3 3 2 2f        ， 不符合题意．故不存在非零常数T ，使得 ( ) ( )f x T f x+ = ，B 错误； 对于 C ， ( ) sinf x x x ， xR ， ( ) sin cosf x x x x   ， ( ) 2cos sinf x x x x   ， 当 ,2x      ， ( ) 2cos sin 0f x x x x    ，故 ( )f x 单减， 又 1 02f       ， ( ) 0f      ， 故 ( ) 0f x  在 ,2 π π     上有且仅有一个解， ( )f x 有且只有一个极值点，故 C 正确； 对于 D，设切点横坐标为 t ，则切线方程为 sin (sin cos )( )y t t t t t x t    ， 将 (0，0) 代入，得 2 cos 0t t  ，解得 0t  或 2t k   ， k Z ． 若 0t  ，则切线方程为 0y  ；若 2t k   ，则 y x  ，D 正确．故选：ACD． 13． 9 10 【解析】因为函数   3cos sinf x x x  ，所以   3sin cosf x x x    ， 因为 x  是函数   3cos sinf x x x  的一个极值点，所以   3sin cos 0f        ， 1tan 3   ，所以 2 2 2 2 2 cos 1 9cos2 sin cos sin 1 tan 10          ，故答案为 9 10 . 14． 2 0x y     【解析】由  f x 是定义在 R 上的奇函数，可得  0 0f  ， 当 0x  时，   sin cosf x x x a   ，当 0x  ，即有 0x  ，        sin cos 1 sin cos 1f x x x x x f x            ，   sin cos 1f x x x    ， 则导数为   cos sinf x x x   ，   1f    ，又切点为 , 2  ，切线方程为  2 1y x      ， 即 6 0x y     .故答案为： 2 0x y     . 15． 2a  【解析】    2sin 2 cos 4sin cos cos cos 4sin .f x x a x x x a x x x a          ,6 2x      时，  f x 是减函数，又 cos 0x  ，∴由   0f x  得 4sin 0, 4sinx a a x     在 ,6 2       上恒成 立，  min4sin , , 26 2a x x a            ． 16．[8, ) 【解析】由题知   22 5ln 5ln 2f x x xx     ，   2 4g x x bx   .     2 2 2 2 2 2 12 5 2 5 22 x xx xf x x x x x         .  f x 在 10, 2      上单调递增；在 1 ,22      上单调递减，易知  f x 在区间  0,1 上的最大值为 1 32f       ，  1 0,1x  ，  2 1,2x  ，都有    1 2f x g x 成立，即 ( )f x 在 (0,1]上的最大值大 于等于 ( )g x 在[1,2] 上的最大值，即     1 12 1 22 f g f g              ，即 3 5 3 8 2 b b       ，解得 8b  17．（1） 1 2 ；（2）1 【解析】（1） ， 1 sin2ACDS AC AD CAD     ， ∵ 2ABD ACDS S  ， BAD CAD   ，∴ 2AB AC ． 由正弦定理可知 sin 1 sin 2 B AC C AB    . （2）∵ : : 2:1ABD ACDBD DC S S   ， 2 2DC  ，∴ 2BD  ． 设 AC x ，则 2AB x ， 在△ ABD 与△ ACD 中，由余弦定理可知， 2 2 2 23 4cos 2 2 2 AD BD AB xADB AD BD      ， 2 2 2 2 3 2cos 2 2 xAD CD ACADC AD CD     ， ∵ ADB ADC     ，∴ cos cosADB ADC    ， 5 ∴ 2 2 3 3 4 2 2 2 2 xx    ，解得 1x  ，即 1AC  ． 18．（1） 2 1na n  ； 2n nb  ；（2） 2 1n nS n   . 【解析】（1）因为{ }nb 是等比数列，所以 2 2 1 3 16b b b  ，又 2 0b  ，所以 2 4b  ， 设等差数列{ }na 的公差为 d ， 由 2 3 2 3 4 3 3 3 a a b a a b      ，两式相减得3 8 4d d   ， 2d  ， 所以 2 3 1 1 23 3( 2) ( 4) 4a a a a b       ， 1 1a  ， 所以 1 2( 1) 2 1na n n     ，而 2 1 4 22 bq b    ，所以 2n nb  ． （2）由（1）得 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nc n n n n          ， 11 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 112 2 2 11 1n n nS nn n                             ． 19．（1）证明见解析；（2） 3 4 . 【解析】（1）由已知可得， BE PF ， BE EF ，又 PF EF F ，所以 BF  平面 PEF . 又 BF  平面 ABFD ，所以平面 PEF  平面 ABFD ； （2）作 PH EF ，垂足为 H .由（1）得， PH  平面 ABFD . 以 H 为坐标原点，HF 的方向为 y 轴正方向， BF 为 单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz . 由（1）可得， DE PE .又 2DP  ， 1DE  ， 所以 3PE  .又 1PF  ， 2EF  ，故 PE PF . 可得 3 3,2 2PH EH  . 则   3 3 3 30,0,0 , 0,0, , 1, ,0 , 1, , ,2 2 2 2H P D DP                    30,0, 2HP        为平面 ABFD 的法向量. 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 3 34sin 43 HP DP HP DP      uuuv uuuv uuuv uuuv . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 20．（Ⅰ） 2 2 12 x y  ；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 (1,0) ，所以 12 25 ； 因为椭圆经过点 (0,1)A ,所以 1b  ，所以 2 2 2 2a b c   ， 故椭圆的方程为 2 2 12 x y  . （Ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 联立 2 2 12 ( 1) x y y kx t t        得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t     ， 2 1 2 1 22 2 4 2 20, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k        ， 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 ty y k x x t k       ， 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 2 t ky y k x x kt x x t k       . 直线 1 1 1: 1 yAP y xx   ，令 0y  得 1 1 1 xx y   ，即 1 1 1 xOM y   ； 同理可得 2 2 1 xON y   . 因为 2OM ON  ,所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 ( ) 1 x x x x y y y y y y         ； 2 2 1 12 1 t t t    ，解之得 0t  ，所以直线方程为 y kx ，所以直线l 恒过定点 (0,0) . 21．（1） 2 0e x y e    ；（2）1. 【解析】∵   2ln ln 1xf x e x x x e         ，∴  1 2f e   ， ∵  1 2f  ，∴所求切线方程为   2 2 1y e x    ，即 2 0e x y e    ； （2）由    1 1f g 得 2a  ，现证明不等式 2lnxe x x xe      ，即证 2ln x xx x e e   ， 答案第!语法错误，)页，总 6页 6 令   2lnm x x x e   ，    0x xh x xe   ，∵   ln 1m x x   ， ∴当 10 x e   时，   0m x  ，  m x 递减；当 1x e  时，   0m x  ，  m x 递增. ∴  min 1 1m x m e e      ． ∵   1 x xh x e   ∴当 0 1x  时，   0h x  ，  h x 递增；当 1x  时，   0h x  ，  h x 递减． ∴    max 11h x h e   ，∴    1m x h xe   且等号不同时取得． ∴ 2ln x xx x e e   ，即 2lnxe x x xe      成立． 综上， max 1a  . 22．（1） 1 4a  时，  y f x 在 0, 单调递增； 10 4a  时，  y f x 在区间 1 1 40, 2 a      ， 1 1 4 ,2 a       单调递增；在区间 1 1 4 1 1 4,2 2 a a        单调递减．（2）见解析 【解析】（1）∵   21 ln ( 0)2f x x x a x x    ， ∴     2 1 0a x x af x x xx x       ． ①当1 4 0a  ，即 1 4a  时，   0f x  ，所以  y f x 在  0, 单调递增； ②当1 4 0a  ，即 10 4a  时，令   0f x  ，得 1 1 1 4 2 ax   ， 2 1 1 4 2 ax   ，且 1 20 x x  当 1 1 4 1 1 40, ,2 2 a ax                   时，   0f x  ； 当 1 1 4 1 1 4,2 2 a ax         时，   0f x  ； ∴  y f x 单调递增区间为 1 1 40, 2 a      ， 1 1 4 ,2 a       ； 单调递减区间为 1 1 4 1 1 4,2 2 a a        ． （2）由（1）得     2 1 0a x x af x x xx x       ． ∵函数  f x 有两个极值点 1x ， 2x ， ∴方程 2 0x x a   有两个根 1x ， 2x ， ∴ 1 2 1 2 1x x x x a      ，且 1 4 0a    ，解得 10 4a  ． 由题意得     2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1ln ln2 2f x f x x x a x x x a x            2 2 1 2 1 2 1 2 1 ln2 x x x x a x x           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ln2 x x x x x x a x x        1 1 ln2 a a a    1ln 2a a a   ． 令   1 1ln 02 4h a a a a a        ，则   ln 0h a a  ， ∴  y h a 在 10, 4      上单调递减，∴   1 ln2 3 4 2 4h a h       ， ∴    1 2 ln2 3 2 4f x f x    ．