2020-2021学年甘肃宁县第二中学高二上学期期中考试数学试题 word版

- 1 - 宁县二中 2020-2021 学年度第一学期中期测试题 高二 数学 注意事项： 1．开始答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填、涂清楚。 2．将试题答案填在相应的答题卡内，在试卷上作答无效。 3．考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分。 第 I 卷（选择题） 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．已知集合  2 3A x x    ，    1 7 0B x x x    ，则 A B  （ ） A． 1 3x x  B． 2 1x x   C． 3 7x x  D． 2 7x x   2． ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .若 45A   ， 60B   ， 2a  ，则b 的值为（ ）. A． 2 B． 3 C． 6 D． 2 6 3．已知 ABC 中内角 A 、 B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ， 6c  ， 4a  ， 120B   ，b  （ ） A． 76 B． 27 C． 2 19 D． 2 7 4．数列 1 1 1 1, , ,5 7 9 11   ，…的通项公式可能是 na  （ ） A． 1( 1) 3 2 n n   B． ( 1) 3 2 n n   C． 1( 1) 2 3 n n   D． ( 1) 2 3 n n   5．在等差数列 na 中，若 3 2,a  则 等于 （ ） A．16 B．18 C．20 D．22 6．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 2a  ， π 3B  ，△ ABC 的面 积等于 2 3 ，则b 的大小为（ ） A． 2 3 B． 13 C．4 D． 21 7． ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2cos sin sinB A C ，则 ABC - 2 - 的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．若 0a b  ，那么下列不等式中正确的是（ ） A． a b   B． 1 1 a b  C． 2a ab D． 2 2a b 9．在等差数列 na 中，若 1 2 3 36a a a   ， 11 12 13 84a a a   ，则 5 9a a  （ ） A．30 B．35 C．40 D．45 10．各项为正数的等比数列{ }na ， 4 7 8a a  ，则 2 1 2 2 2 10log log loga a a    （ ） A．15 B．10 C．5 D．3 11．已知函数   2 1mx xf x m   的定义域是一切实数，则 m 的取值范围是（ ） A． 0 4m  B． 0 1m  C． 4m≥ D． 0 4m  12．（普通班做）若 Rx存在 ，使得 (2 )a x x  成立，则实数 a 的最大值为（ ） A．1 B． 2 C． 2 2 D． 0 12．（春晖班做）在各项都为正数的等比数列 na 中，已知 1 512a  ，其前 n 项积为 nT ，且 13 6T T ，则 nT 取得最大值时， n 的值是（ ） A．9 或 10 B．8 或 9 C．10 或 11 D．9 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．在 ABC 中，已知 3A  ， 1b  ， ABC 的外接圆半径为 1，则 ABCS  ______. 14．数列{ }na 的前 n 项和 nnSn 82  ，则该数列的通项公式为__________． 15．已知 x，y 满足约束条件 2 0 2 0 2 x y x y y          ，则 2z x y  的最大值为_______. - 3 - 16．（普通班做）已知 2x  ，求   12 2f x x x    的最小值__________． 16．（春晖班做）已知 0x  ， 0y  ，且 2 1 1x y   ，若 22 7x y m m   恒成立，则实数 m 的取值范围是______. 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）若不等式 2 5 2 0ax x   的解集是 1 22x x     ， （1）求 a 的值； （2）求不等式 2 25 1 0ax x a    的解集. 18．（12 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需 原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万 元，则该企业每天可获得最大利润为多少？ 甲 乙 原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 19．（12 分）已知{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a5＝5，S5＝15． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 an＝log2bn，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 20．（12 分）已知等差数列 na 中， 3 5a  ，公差大于 0，且 4 1a  是 2 1a  与 7 3a  的等比中 项. （1）求数列 na 的通项公式； （2）记  * 1 1 n n n b n Na a    ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 21．（12 分）在 ABC 中，角 A B C, , 的对边长分别为 , ,a b c ，满足 2 2 2sin sin sin 3sin sinB C A B C   . （1）求角 A 的大小； - 4 - （2）若 2a ， 3B  ，求 ABC 的面积. 22．（普通班做）（12分）设 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，且 cosc C 是 cosa B 与 cosb A 的等差中项． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设 3c ，求 ABC 周长的最大值． 22．（春晖班做）（12 分）设函数   2 4f x ax x b   . （1）当 2b  时，若对于  1,2x ，有   0f x  恒成立，求 a 的取值范围； （2）已知 a b ，若   0f x  对于一切实数 x 恒成立，并且存在 0x R ，使得 2 0 04 0ax x b   成立，求 2 2a b a b   的最小值. 参考答案 一、选择题 1--5:DBCDC 6--10:ABCCA 11-12: DA 二、填空题 13． 3 2 14． 92  nan 15．10 16（普通班）．4 2 2 16（春晖班）． 1,8 三、解答题 17．解：（1）依题意可得： 2 5 2ax x  =0 的两个实数根为 1 2 和 2，............2’ 由韦达定理得： 1 522 a    ，解得： 2a   ；...............................4’ （2）则不等式 2 25 1 0ax x a    ，可化为 22 5 3 0x x    . 所以 22 5 3 0x x   ，所以 (2 1)( 3) 0x x   ， 所以 13 2x   ，........................................................8’ 故不等式 2 25 1 0ax x a    的解集 1| 3 2x x     ..........................10’ 18．解：设每天生产甲乙两种产品分别为 x ， y 吨，利润为 z 元， - 5 - 则       0,0 82 1223 yx yx yx 目标函数为 3 4z x y  ． ......................................4’ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． ......................6’ 由 3 4z x y  得 3 4 4 zy x   ， 平移直线 3 4 4 zy x   ，由图象可知当直线 3 4 4 zy x   ， 经过点 A 时，直线 3 4 4 zy x   的截距最大， 此时 z 最大， 解方程组 3 2 12 2 8 x y x y      ， 解得： 2 3 x y    ，......................................................9’ 即 A 的坐标为(2,3)， 3 4 6 12 18maxz x y      ． 则每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 吨，能够产生最大的利润，最大的利润是 18 万元．..12’ 19．解:(1)设等差数列的公差为 d，则 5 1 5 1 4 5 5 45 152 a a d S a d       ，解之得 1 1 1 a d    ， 所以数列{an}的通项公式为 1 1 ( 1)na n n     ；.....................6’ （2） 2log , 2 2na n n n na b n b     ， - 6 - 由此可得 1 11 1 22 2. 22 n n n n bb b      ，数列{bn}的是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 因此，可得{bn}前 n 项和   +12 1 2 2 21 2 n n nT     ..........................12’ 20.解:（1）设等差数列 na 的公差为 d （ 0d  ）， 因为 3 5a  ，则 4 5a d  ， 2 5a d  ， 7 5 4a d  ， 因为 1 1a  是 2 1a  与 7 3a  的等比中项， 所以     2 4 2 71 1 3a a a    ， 即 2(6 ) (6 )(8 4 )d d d    ， 化简得 25 4 12 0d d   ， 解得 2d  或 6 5d   （舍） 所以 2 1na n  . ........................6’ （2）由（1）知， 2 1na n  ， 所以 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n           ， 所以 1 2 3n nT b b b b     1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n              1 112 2 1 2 1 n n n        . ........................12’ 21.解：（1）因为 2 2 2sin sin sin 3sin sinB C A B C   ， 由正弦定理可得： 2 2 2 3b c a bc   ， 所以 2 2 2 3cos 2 2 b c aA bc    ， 所以 6A  . ........................6’ - 7 - （2）因为 6A  ， 3B  ，所以 2C  ， 所以 32b ，可得 32ABCS . ........................12’ 22．（普通班）解：（1）由题得， cos cos 2 cosa B b A c C  ， 由正弦定理， sin cos sin cos 2sin cosA B B A C C  ， 即  sin 2sin cosA B C C  ，解得 1cos 2C  ，所以 60C   ． ...............6’ （2）由正弦定理， 32sinsinsin  C c B b A a 故周长 3)]120sin([sin323)sin(sin32  AABAcba .1503030,1200 3)30sin(63cos2 3sin2 332   AA AAA  ）（ ∴当 60A   时，周长 a b c  的最大值为 9． ........................12’ 22．（春晖班）解：（1）据题意知，对于  x 1,2 ，有 2ax 4x 2 0   恒成立， 即 2 2 4x 2 2 4a x x x      恒成立，因此 2 max 2 4a x x       ， 设 1 1t , t ,1x 2       则 ，所以    22g t 2t 4t 2 t 1 2       ， 函数  g t 在区间 1 ,12      上是单调递减的，   max 1 5g t g 2 2       ， 5a 2    ........................6’ （2）由  f x 0 对于一切实数 x 恒成立，可得 a 0, Δ 0 且 ， 由存在 0x R ，使得 2 0 0ax 4x b 0   成立可得 Δ 0 ， 16-4ab 0, 4ab     ， - 8 -      22 22 2 2 a b 8a b 2ab a b 8a b 4 2a b a b a b a b             ，当且仅当 a b 2 2  时 等号成立， 2 2a b 4 2.a b   .24 22 的最小值为故 ba ba   ........... ........................12’