2020-2021学年河北省鸡泽县第一中学高二第一学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 河北省鸡泽县第一中学 2020-2021 学年高二第一学期 期中考试（数学） 1. 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷满分 150 分， 时间 120 分钟. 2. 请将答案填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一 、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1.在等差数列 na 中，若 134 a ， 257 a ，则公差 d 等于 A．1 B．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2.已知 pqxxqxp 是则,02:;2|:| 2  的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.在△ABC 中，若 a2+b2＜c2，则△ABC 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4.已知命题 p :负数的立方都是负数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的 是 A．   qp  Ｂ． qp  C．    qp  D．    qp  5.已知 F 是双曲线 C ： 2 2 3 ( 0)x my m m   的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离 为（ ） A . 3 B .3 C . 3m D .3m 6.已知数列{ na }是递增等比数列， 16,17 4251  aaaa ，则公比 q A． 4 B． 4 C． 2 D． 2 7.某观察站C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A在观察站C 北偏东 30  ，灯塔 B 在观察站C 南偏东 30  处，则两灯塔 A、 B 间的距离为（ ） A．800 米 B．700 米 C．500 米 D． 400 米 8.在下列函数中，最小值是 2 的是（ ） 1 1lg (1 10)lgA y x B y x xx x       - 2 - 13 3 ( ) sin (0 )sin 2 x xC y x R D y x xx        9.已知实数 x，y 满足 如果目标函数 z=y﹣x 的最小值为﹣2，则实数 m 等 于（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1 10.已知抛物线 2 2 1 xy  的焦点与椭圆 12 22  x m y 的一个焦点重合，则 m=（ ） A． 4 7 B． 64 127 C． 4 9 D． 64 129 11. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列  na 中 , 公 比 )1,0(q . 若 553  aa , 462 aa , nn ab 2log 数列  nb 的前 n 项和为 nS ,则当 n SSS n 21 21 取最大值时, n 的值为 （ ） A.8 B.9 C.8 或 9 D.17 12. 椭 圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F 、 2F ， P 是 椭 圆 上 一 点 ， 且 2),22 1( 2121   PFFPFPF ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. ]2 2,0( B. ]3 5,2 2[ C. ]5 3,3 2[ D. )1,3 5[ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应的位置上。） 13.命题“ 0 ,x R  使 00 lgsin xx  ”的否定是 ______ ． 14.过抛物线 y2=4x 的焦点且斜率为 1 的直线交该抛物线于 A、B 两点，则|AB|= ______ ． 15.设 a＞0，b＞0， 是 a 与 b 的等比中项，logax=logby=3，则 的最小值为 ． 16．已知点 P 为椭圆 123 22  yx 上一动点，F 为椭圆的左焦点，若直线 PF 的斜率大于 2 ， - 3 - 则直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围为______ ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且， cos (2 )cosa C b c A  （1）求 Acos 的值； （2）若 6a ， 8 cb ，求三角形 ABC 的面积． 18．（本小题满分 12 分） 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1=2，an+1=Sn+2（n ∈ N*）． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前 n 项和 Tn． 19．（本小题满分 12 分） 某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量 s 万件与促销费用 x 万元满足 34 2s x    ．已知 s 万件该商品的进价成本为 20 3s 万元，商品的销售价格定 为 305 s  元/件． （1）将该商品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？ 20．(本小题满分 12 分） 已知抛物线 )0(2: 2  ppxyC 的焦点 CF, 上一点 ),3( m 到焦点的距离为5. （1）求C 的方程； （2）过 F 作直线l ，交C 于 BA, 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为 1 ，求直线l 的方程. 21．（本小题满分 12 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nSn n Nn  均在函数 3 2y x  的图象上. (1)求证：数列{ }na 为等差数列； (2)设 nT 是数列 1 3{ } n na a  的前 n 项和，求使 20n mT  对所有 n N 都成立的最小正整数 m . - 4 - 22．（本小题满分 12 分） 已知点 (0, 2)A  ，椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 2 3 3 ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程； （Ⅱ）设过点 A 的直线l 与 E 相交于 ,P Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C A D B C A C C B 二、填空题 13. ,x R  使sin lgx x 14. 8 15、 16. )3 32,3 2()3 32,(  三、解答题 17、（本小题满分 10 分） 解：解：由已知及正弦定理可得 ABACCA cossin2cossincossin  ……………2 分 由两角和的正弦公式得 ABCA cossin2)sin(  ………………………………………3 分 由三角形的内角和可得 ABB cossin2sin  …………………………………………… 4 分 因为 0sin B ，所以 2 1cos A ……………………………………………………………5 分 (2) 由余弦定理得：   bcbccbbccb 36432 1236 222  ， 3 28bc ，…………………………………………………………………………………8 分 - 5 - 由（1）知 2 3sin A ……………………………………………………………………9 分 所以 3 37 2 3 3 28 2 1 ABCS .………………………………………………………10 分 18、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 a1=2，an+1=Sn+2（n ∈ N*），① an=Sn﹣1+2（n≥2），②…………………………………………………………………1 分 ①﹣②，得 （n≥2）．………………………………………3 分 又由 a2=S1+2=4，得 ．……………………………………………………………4 分 所以 （n≥1）， 数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 ．…………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得 ，③ 2Tn=1×22+2×33+3×24+…+n×2n+1，④……………………………………………7 分 ③﹣④，得 ．………………………………………9 分 所以 ．…………………………………………………………………12 分 19、（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意知， xssxssy  102)320()305( 将 2 34  xs 代入化简得： xxy  2 618 ； （2） )]2(2 6[202 618  xxxxy ∵ 62)2(2 6  xx ，当且仅当 22 6  xx ，即 26 x 时，取等号， ∴ 26 x 时，商家的利润最大，最大利润为 6220  ． 20、（本小题满分 12 分） 、解：（1）法一：抛物线C : )0(22  ppxy 的焦点 F 的坐标为 )0,2( p ， - 6 - 由已知 2 2 2 2 3 (3 ) 52 m p p m        …………………………………………2 分 解得 4p 或 16p ∵ 0p ，∴ 4p ∴C 的方程为 xy 82  .……………………………………………………4 分 法二：抛物线 C : )0(22  ppxy 的准线方程为 ,2 px  由抛物线的定义可知 3 ( ) 52 p   解得 4p ……………………………………………………3 分 ∴C 的方程为 xy 82  .……………………………………………………4 分 （2）法一：由（1）得抛物线 C 的方程为 xy 82  ，焦点 )0,2(F 设 BA, 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxByxA ， 则 2 1 1 2 2 2 8 8 y x y x    ……………………………………………………6 分 两式相减。整理得 1212 12 8 yyxx yy   ∵线段 AB 中点的纵坐标为 1 ∴直线l 的斜率 42)1( 88 12  yykAB ……………………………………10 分 直线l 的方程为 )2(40  xy 即 084  yx ……………………………………12 分 法二：由（1）得抛物线C 的方程为 xy 82  ，焦点 )0,2(F 设直线l 的方程为 2 myx 由 2 8 2 y x x my      消去 x ，得 2 8 16 0y my   - 7 - 设 BA, 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxByxA ， ∵线段 AB 中点的纵坐标为 1 ∴ 1 2 ( 8 ) 12 2 y y m     解得 4 1m ……………………………………10 分 直线l 的方程为 24 1  yx 即 084  yx ……………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解： (1)依题意，Sn n ＝3n－2，即 Sn＝3n2－2n，…………………………1 分 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)] ＝6n－5. ……………………………………………3 分 当 n＝1 时，a1＝S1＝1 符合上式，…………………………4 分 所以 an＝6n－5(n∈N＋)．…………………………5 分 又∵an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6， ∴{an}是一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列．…………………………6 分 (2)由(1)知， 3 anan＋1 ＝ 3 6n－5[6n＋1－5] ＝1 2( 1 6n－5 － 1 6n＋1 )，…………………………8 分 故 Tn＝1 2[(1－1 7)＋(1 7 － 1 13)＋…＋( 1 6n－5 － 1 6n＋1 )]＝1 2(1－ 1 6n＋1 )，……………………10 分 因此使得1 2(1－ 1 6n＋1 )