2020-2021学年北京大兴区第一中学高二第一学期期中考试数学试题（Word版）

1 北京大兴区第一中学 2020-2021 学年高二第一学期期中考试数学试题 一、单选题(共 40 分) 1．经过 ( 2,0), ( 5,3)A B  两点的直线的倾斜角是（ ） A． 45 B． 60 C．90 D．135 2．已知向量  0,1,1a  ，  1, 2,1b   .若 a b  与  2, , 4c m   平行，则实数 m的值是（ ） A．2 B． 2 C．10 D． 10 3．若向量    1,2,3 , 3,2,1AB AC   ,则平面 ABC 的一个法向量为（ ） A．  1,2, 1 B． 1,2,1 C． 1,2, 1  D． 1,2,1 4．无论 m 取何值，直线   3 1 4 1 12 1 0m x m y m      都恒过一个定点，则定点的坐标为（ ） A． ( 8,9) B．(9, 8) C． (15, 14) D． ( 14,15) 5．如图在一个120的二面角的棱上有两点 ,A B ，线段 ,AC BD 分 别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱 AB 垂直，若 2AB  ， 1AC  ， 2BD  ，则 CD 的长为（ ）. A．2 B．3 C． 2 3 D．4 6．已知直线 l 的方向向量为 m  ,平面 的法向量为 n  ,则“ 0m n   ”是“l ∥ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴 长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点 1F ， 2F 均在 x 轴上，C 的面积为 2 3π ，且短轴长为 2 3 ， 则C 的标准方程为（ ） A． 2 2 112 x y  B． 2 2 13 4 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 116 3 x y  8．已知 P 为空间中任意一点，A、B、C、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 2 且 4 1 3 6PA PB xPC DB      ，则实数 x 的值为（ ） A． 1 3 B． 1 3  C． 1 2 D． 1 2  9．设椭圆 2 2 2 2 1x y a b   0)a b （ 的左、右焦点分别为 1 2( ,0) ( ,0)F c F c ， ，点 ( , )2 aN c 在椭圆的外 部，点 M 是椭圆上的动点，满足 1 1 2 3 2MF MN F F  恒成立，则椭圆离心率 e 的取值范围是 A． 2(0 )2 ， B． 2( 1)2 ， C． 2 5( )2 6 ， D． 5( ,1)6 10．过圆 C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 的圆心，作直线分别交 x，y 正半轴于点 A， B，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ， 则这样的直线 AB 有（ ） A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条 二、填空题(共 25 分) 11．椭圆 2 2 14 x y  的焦距为 . 12．已知圆的方程是 2 2 1x y  ，则经过圆上一点 2 2,2 2M       的切线方程是__________． 13．在正方体 1 1 11ABCD A B C D 中，则直线 1BC 与平面 1A BD 所成角的正弦值为__________ 14．在空间中，四条不共线的向量 OA 、 OB 、OC 、OD 两两间的夹角均为 ．则 cos 的大小为 __________． 15．如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 底面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹的长度为_______ 3 三、解答题(共 85 分) 16．已知 ABC 的三个顶点 ( , )3 7A ， ( , )2 5B  ， ( , )3 5C   ，点 D 为 AC 的中点． （1）求点 D 的坐标； （2）求直线 BD 的方程． （3）求△ABD 的面积． 17．已知圆 2 2: 4 2 3 0C x y x y     和点 (0, 8)M  ， （1）判断点 M 与圆 C 的位置关系 （2）过点 M 作一条直线与圆C 交于 ,A B 两点，且| | 4AB  ，求直线 AB 的方程； （3）过点 M 作圆 C 的切线，切点为 ,E F ，求 EF 所在的直线方程． . 18、已知焦点在 x 轴上的椭圆，左右焦点分别为 ,1 2F F ，上顶点为 B ，且三角形 1 2F F B 为等腰直角三角 形，过 2F 斜率为 1 的直线 l 交椭圆与 ,E F 两点。 （1）求椭圆的离心率；（2）若| | 8 3EF  ，求椭圆标准方程。 19．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的 夹角都是 60 ，M 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点.若 AB a  ，AD b  ， 1AA c  设平面 ABC 的法向量 n a yb zc     （1）用 , ,a b c    表示 BM  ；（2）求 n 及 n 的长度；；（3）求点 M 到平面 ABC 的距离 4 20．如图,四棱锥 S ABCD 的侧面 SAD 是正三角形, / /AB CD ,且 AB AD , 2 4AB CD  , E 是 SB 中点. （1）求证： / /CE 平面 SAD ； （2）若平面 SAD  平面 ABCD ,且 4 2SB ,求平面 EAC 与平 面 ACB 夹角的余弦值. 21、设 ,A B 两点的坐标分别为 ( , ),( , )2 0 2 0 直线 ,AE BE 相交于点 E ，且它们的斜率之积为 1 4 ,直线l 方 程： 4x  ，直线 ,AE BE 与直线 l 分别相交于 ,M N 两点， AN 交轨迹 E 与点 F （1）求点 E 的轨迹方程。 （2）求证： , ,M B F 三点共线 （3）求证：以 MN 为直径的圆过定点。 5 参考答案 1D 2A 3C 4A 5B 6B 7C 8A 9D 10B 11 2 3 12 2 0x y   13 6 3 14 1-3 15 5 16 解：（1）设 D（x，y）， 则  3 3 02x    ，  7 5 12y    ， ∴点 D 的坐标为（0，1）． （2）∵直线 BD 的斜率为 5 1 22 0k     ． ∴直线 BD 的方程为：y–1=–2（x–0），即 2x+y–1=0． （3）∵    2 22 0 5 1 2 5BD       ， ∴A 到直线 BD 的距离为 2 2 2 3 7 1 12 5 52 1 d      ． ∴△ABD 的面积为 1 1 12 52 5 122 2 5ABDS BD d     ． 17 解：（1）点 M 坐标代入圆方程得： 0 64 0 16 3 45 0      ，所以点 M 在圆外 （2）圆 2 2:( 2) ( 1) 8C x y    ，则圆心 (2, 1)C  ，半径 2 2r  ， ①若直线 AB 的斜率存在，设直线 : 8AB y kx  ， 即 2 2 2 | 2 1 8| 458 0, (2 2) 2 ,281 kkx y d k k           此时，直线 AB 方程为 45 8 028 x y   ； ②若直线 AB 的斜率不存在，则直线 : 0AB x  ，代入 2 2 3 0y y   得 1 21, 3y y   ， 6 此时 AB 4 ，合乎题意. 综上所求直线 AB 的方程为： 0x  或 45 28 224 0x y   ； （3）以 CM 为直径的圆的方程     2 1 8 0x x y y     ， 即： 2 2 2 9 8 0x y x y     ，①； 2 2 4 2 3 0x y x y     ，②. 1 -②得 2 7 11 0x y   ，因此，直线 EF 的方程为 2 7 11 0x y   . 18 解：（1）在等腰直角三角形 1 2F F B 中， 1 2 12F F F B ， 即 2 2a c ，所以 2 2e  （2）由（1）设 ( , )2 0F c ， ( , )1 1E x y ， ( , )2 2F x y 得椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y c c   直线l 方程： y x c  ，与椭圆方程联立，消元得： 23 4 0x cx  解得： ,1 2 40 3 cx x  所以 | |2 2 11EF k x x   = | |41 1 03 c  得 4 2 8 23 3c c   所以椭圆方程为 2 2 14 2 x y  19 解：（1）  1 1 1 1 1 2 22BM BA A M c a a a b cb                （2）由题意知 1 2a b b c c a          由 0 0 n a n b        得： 1 11 02 2 1 1 2 2 y z y z        解得： 1, 3y z   所以 3n a b c     7 | | 2 2 29 2 6 6n a b c a b a c c b                 = 6 （3）因为 / /1A M 平面 ABC ，所以点 M 到平面 ABC 的距离等于点 1A 到平面 ABC 的距离 所以 | | | | c nd n     = | |1 1 3 62 2 36    8 20 解：（1）取 SA的中点 F ,连接 EF , 因为 E 是 SB 中点, 所以 EF AB∥ ,且 2AB EF , 又因为 AB CD∥ , 2AB CD , 所以 EF DC , EF DC , 即四边形 EFDC 是平行四边形, 所以 EC FD∥ , 又因为 EC 平面 SAD , FD  平面 SAD , 所以CE  平面 SAD ； （2）方法一：取 AD 中点O ,连接 SO , BO , 因为 SAD 是正三角形,所以 SO AD , 因为平面 SAD  平面 ABCD , AB AD 所以 SO  平面 ABCD , AB  平面 ABCD , 所以 AB SA , 故 2 2 4  SA SB AB , 以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ,则 (0,0,0)O , (0, 2,0)A  , (4, 2,0)B  , (2,2,0)C , (0,2,0)D , (0,0,2 3)S , (2, 1, 3)E , 所以 (0, 3, 3)  CE , ( 2, 4,0)   CA , 设平面 ACE 的法向量为 ( , , )m x y z ,则 3 3 0  y z , 2 4 0x y   , 令 1y  得 (2,1, 3)m , 易知平面 ACB 的法向量为 (0,0,1)n  , 则 3 6cos , | || | 42 2 m nm n m n    r rr r r r , 9 所以平面 EAC 与平面 ACB 夹角的余弦值为 6 4 . 21 解：（1）设 ( , )E x y ，由题意 ( )22AE yk xx    ， ( )22BE yk xx   由已知有 ( )1 22 2 4 y y xx x       化简得 ( ) 2 2 1 24 x y x    （2）设 AE 方程为： ( 2),( 0)y k x k   令 4x  得点 (4,6 )M k 由 2 2 ( 2) 4 4 y k x x y     消元得： 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k     显然 0  恒成立 由 2 2 16 4 1 4A E kx x k   ，且 2Ax   ，得： 2 2 2 8 1 4E kx k   代入直线 l 方程得 2 4 1 4E ky k   又因为 (2,0)B ，所以： 1 4BEk k   所以直线 BE 为： 1 ( 2)4y xk    令 4x  得点 1(4, )2N k  ， 1 12ANk k   联立方程 2 2 1 ( 2)12 4 4 y xk x y       消去 x 得： ( )2 236 1 12 0k y ky   所以 2 12 36 1F ky k   ， 2 2 72 2 36 1F kx k   6 34 2BM kk k  2 2 2 12 36 1 372 2 236 1 F FB BM F ky kk k kky k      ,BM BF 有公共点 B ，所以 , ,M B F 三点共线 10 （3）设以 MN 为直径的圆上点 ( , )P x y ，则 MP NP 所以圆方程为 ( )( ) ( )( )14 4 6 02x x y k y k       即 ( ) ( )2 2 14 6 3 02x y k yk       当 2 2 0 ( 4) 3 0 y x y      时与 k 无关 所以以 MN 为直径的圆过定点（4 3，0）