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思南中学 2020--2021 学年度第一学期期中考试
高二年级 数学科试题
命题人：
第 I 卷（选择题）
一、选择题:本题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 5,4,3,2,1,0,1A ，集合 3 4 0B x x x ，则 A B （ ）
A． 1,0,1,2,3 B． 0,1,2,3 C．{ }1,0,1,2- D． 1,0,1,2,3,4
2．已知 ABC 中， 4a ， 4 3b ， 30A ，则 B 等于（ ）．
A．30 或150 B．30 C． 60 D． 60 或120
3．如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小
王与小张成绩的样本平均数分别为 Ax 和 Bx ，方差分别为 2
As 和 2
Bs ，则（ ）
A． A Bx x ， 2 2
A Bs s B． A Bx x ， 2 2
A Bs s
C． A Bx x ， 2 2
A Bs s D． A Bx x ， 2 2
A Bs s
的最大值为（）则满足约束条件若 yxz
x
yx
yx
yx 23
,1
,02
,0
,.4
A．7 B．8 C．9 D．10
5．随着 2020 年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰
雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是 2012 年至 2018 年中
国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）
A．2013 年至 2018 年，中国雪场滑雪人次逐年增加
B．2013 年至 2015 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C．2018 年与 2013 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长
人数也近似相等
D．2018 年与 2016 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 30.5%
试卷第!语法错误，)页，总 9页 2
6．等比数列 na 的各项均为正数，且 2
3 6a a e ，则 1 2 8ln ln lna a a （ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．已知变量 x，y 之间的线性回归方程为y
^＝－0.7x＋10.3，且变量 x，y 之间
的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量 x，y 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 x＝20 时，y
^＝－3.7
C.该回归直线必过点(9，4) D.m＝4.
8．把 100 个面包分给五个人，使每个人所得的面包个数成等差数列，最大的三份之和
的 1
7
是最小的两份之和，则最小的一份的量是多少？这是世界上最古老的的数学著作之
一《莱因德纸草书》中一道题，则在该问题中的公差为（ ）
A． 5
3 B． 5
2 C． 55
6 D． 35
6
9．在区间（ 1
3
，2）内产生随机数 a，则不等式 ln（3a﹣1）＜0 成立的概率是( )
A． 1
2 B． 1
3 C． 1
4 D． 1
5
10．从 4 双不同的鞋中任意摸出 4 只，事件“4 只全部成对”的对立事件是( )
A．至少有 2 只不成对 B．恰有 2 只不成对
C．4 只全部不成对 D．至多有 2 只不成对
的最大值为（），则，中，在 BCACCABABC 362.11
72.A 73.B 74.C 75.D
12．在数列 na 中， 1 1a ，对于任意自然数 n ，都有 1 2n
n na a n ，则 15a （ ）
A． 1514 2 2 B． 1413 2 2 C． 1514 2 3 D． 1513 2 3
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分。
13．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，29，30，现利用如下随机数表从中抽
取 5 个进行检测，若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取
的第 5 个零件的编号为__________.
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
3
14．执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为_________.
15．已知 nS 为正项数列 na 的前 n 项和，且 2 *1 1
2 2n n nS a a n N .则数列 na 的
通项公式为________.
16．函数 log 3 1,( 0ay x a 且 1)a 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线
1 0mx ny 上（其中 m，n＞0），则 1 2
m n
的最小值等于__________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知数列 na 是一个等差数列，且 2 1a ， 34 a ;
（1）求 na 的通项 na ； （2）求 na 前 n 项和 nS 的最大值.
18．（12 分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ，
200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方
图如图．
（1）求直方图中 x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户
中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取
多少户？
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19．（12 分）2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即
语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、
化学、生物中选择 2 门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩
进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择 3 门功课，求他
选到物理、地理两门功课的概率；
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物
理和历史中选择哪一门学科？并说明
理由；
20．（12 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且满足
(2 )cos cosa c B b C .
（1）求角 B 的大小； （2）若 7b ， 5 ca ，求 ABC 的面积 S .
21．（12 分）如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.
某淘宝电商分析近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x (单位:万元)和利润 y (单位:十
万元)之间的关系,得到下列数据:
x 2 3 4 5 6 8 9 11
y 1 2 3 3 4 5 6 8
请回答:
（Ⅰ）请用相关系数 r 说明 y 与 x 之间是否存在线性相关关系(当 0.81r > 时,说明 y 与
x 之间具有线性相关关系);
（Ⅱ）根据 1 的判断结果,建立 y 与 x 之间的回归方程,并预测当 24x 时,对应的利润
ˆy 为多少( ˆ ˆ ˆ, ,b a y 精确到 0.1).
附参考公式:回归方程中 ˆˆ ˆy bx a 中 ˆb 和 ˆa 最小二乘估计分别为
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
, ˆˆa y bx ，相关系数.
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y nx y
r
x x y y
参考数据: 8 8 8 82 22
1 1 1 1
241, 356, 8.25, 6i i i i i
i i i i
x y x x x y y
.
22．（12 分）在数列 na 中， 1 1a ， 1
2
2
n
n
n
aa a （ *n N ）.
（1）求 2a ， 3a ， 4a ； （2）猜想 na ；并加以证明；
（3）若数列 n
n
ab n
，设数列 nb 的前 n 项和 nS .求证 21 nS
物理成绩 历史成绩
6
7 5 2 2
3 0
6
7
8
9
9
6
0 2
4 6 8
5
试卷第!语法错误，)页，总 9页 6
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C A C A D C D A C D
13．12 14.48 15. n 16.8
17．【解析】
（1）设 na 的公差为 d ，由已知条件可得，
33
1
1
1
da
da ，
解得
;251
,2,3
1
1
ndnaa
da
n
所以
（2）由（1）可得 22
1
1 4 2 42n
n nS na d n n n
.
所以 2n 时， nS 取到最大值 4 .
18【解析】
(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1 得：
x＝0.0075，所以直方图中 x 的值是 0.0075.
(2)月平均用电量的众数是 220 240
2
＝230.
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45
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