2020-2021学年广东省珠海市斗门一中高二上学期10月质量监测数学试题（解析版）

1 珠海市斗门区第一中学 2020-2021 学年度 10 月质监测 高三数学试卷 说明：全卷共 2 页，考试时间为 120 分钟，满分 150 分。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请在答题卡上选涂相应选项。 1.已知命题  : 1,p x   ， 3 16 8x x  ，则命题 p 的否定为（ ） A.  : 1,p x    ， 3 16 8x x  B.  : 1,p x    ， 3 16 8x x  C.  : 1,p x    ， 3 0 016 8x x  D.  0: 1,p x    ， 3 0 016 8x x  2. 2 4x  的一个充分不必要条件是（ ） A. 2x  B. 2x  C. 0 2x  D. 2 2x   3.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”，初听起来这似乎只是普通的赞美之词，然而它的实际效果却很大， 原来这句广告词的等价命题是（ ） A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福 4.已知命题“非 P”为真，而命题“P 且 Q”为假，则：（ ） A.Q 为真 B.“非 P 或 Q”为假 C.“P 或 Q”为真 D.“P 或 Q”可真可假 5.已知 1F 、 2F 是定点， 1 2 6F F  .若点 M 满足 1 2 6MF MF  ，则动点 M 的轨迹是（ ） A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆 6.已知椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率与双曲线   2 2 : 1 016 12 x yC b    的离心率互为倒数关系，则b （ ） A. 2 2 B. 2 3 C.4 D.6 2 7.若 m 为实数，则“1 2m  ”是“曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.直线 3by xa   与双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的交点个数是（ ） A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 9.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的焦距为 6，过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 与 A，B 两点，若 AB 的 中点坐标为 1, 1 ，则 C 的方程为（ ） A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 118 9 x y  C. 2 2 145 9 x y  D. 2 2 172 36 x y  10.已知 P 是双曲线 2 2 : 14 y xE m   上任意一点，M，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线 PM ， PN 的斜率分别为 1k ，  2 1 2 0k k k  ，若 1 2k k 的最小值为 1，则实数 m 的值为（ ） A.16 B.2 C.1 或 16 D.2 或 8 11.已知命题 p：椭圆 2 225 9 225x y  与双曲线 2 23 12x y  有相同的焦点；命题 q：函数   2 2 5 4 xf x x   的最小值为 5 2 ，下列命题为真命题的是（ ） A. p q B. p q  C.  p q  D.  p q  12.已知点 P 是椭圆 2 2 14 3 x y  上一点， 1F ， 2F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为 1 2PF F△ 的内心，若 1 1 2 2MPF MF F MPFS S S △ △ △ 成立，则  的值为（ ） A. 3 2 B. 1 2 C. 2 2 D.2 二、填空题：术大题共 8 小题，每小题 5 分，麻烦 40 分，请将正确的答案写在答题卡上. 13.命题：若“ 3x  且 2x  ，则 2 5 6 0x x   ”是______（选填“真”或“假”）命题. 3 14.关于 x 的方程 2 10 0x x k   有两个异号根的充要条件是______. 15.已知命题 0:p x R  ， 2 0 1 0mx   ，命题 :q x R  ， 2 1 0x mx   ，若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围为______. 16.将圆 2 2 4x y  上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程为______. 17.已知 1F 、 2F 是椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左、右焦点，点 P 为 C 上一点，O 为坐标原点， 2POF△ 为正三角形，则 C 的离心率为______. 18.双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 2，过其左支上一点 M 作平行于 x 轴的直线交渐近线于 P、Q 两点，若 4PM MQ  ，则该双曲线的焦距为______. 19.P 为椭圆 2 2 116 4 x y  上一点，  2,0Q ，则线段 PQ 长度的最小值为______. 20.已知双曲线 2 2 13 yx   的左顶点为 1A ，右焦点为 2F ，P 为双曲线右支上一点，则 1 2PA PF  的最小值为 ______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 21.（本题满分 10 分） 命题 p：方程 2 3 0x x m   有实数解，命题 q：方程+ 2 2 19 2 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆. （1）若命题 p 为真，求 m 的取值范围； （2）若命题 p q 为真，求 m 的取值范围. 22.（本题满分 10 分） 已知 2: 2 1 0p x x    ， : 3 4q x   ，  2 2: 12 0 0r x ax a a    . （1）判断 p 是 q 的什么条件； （2）如果 q 是 r 的充要条件，求 a 的值. 23.（本题满分 10 分） 已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     过点  0,2M ，离心率 6 3e  . （1）求椭圆的方程； 4 （2）设直线 1y x  与椭圆相交于 A、B 两点，求 AMBS△ . 24.（本题满分 10 分） 椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     离心率为 1 2 ， 33, 2P       是椭圆上一点. （1）求椭圆方程； （2） 1F ， 2F 是椭圆的左右焦点，过焦点 1F 的弦 AB 的中点为 1 ,2E t    ，求线段 2EF 长. 25.（本题满分 10 分） 已知圆  2 2 2: 4M x m y n   （ , 0m n  且 m n ），点  ,0N m ，P 是圆 M 上的动点，线段 PN 的垂直 平分线交直线 PM 于点 Q，点 Q 的轨迹为曲线 C. （1）讨论曲线 C 的形状，并求其方程； （2）若 1m  ，且 QMN△ 面积的最大值为 3 ，直线 l 过点 N 且不垂直于坐标轴，l 与曲线 C 交于 A，B， 点 B 关于 x 轴的对称点为 D.求证：直线 AD 过定点，并求出该定点的坐标. 5 珠海市斗门区第一中学 2020-2021 学年度 10 月质量监测 高三数学试题（答案）1. 1.【解答】解：命题 p 是全称命题，则命题 p 的否定是特称命题， 即命题 p 的否定是：  0: 1,p x    ， 3 0 16 8x x  ，故选：C. 2.【解答】解：∵ 2 4x  的解集为  2,2x  ，选项中：   0,2 2,2   ， ∴“ 2 4x  ”的一个充分不必要条件为： 0 2x  ，故选：C. 3.【解答】解：“幸福的人们都拥有” 我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品 它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的 即“不拥有的人们不幸福” 故选：D. 4.【解答】解：“非 P”为真，∴P 一定为假， ∵命题“P 且 Q”为假， ∴两个命题中至少有一个为假， ∴“P 或 Q”不一定为真， 故选：D. 5. 【解答】解：对于在平面内，若动点 M 到 1F 、 2F 两点的距离之和等于 6，而 6 正好等于两定点 1F 、 2F 的距离，则动点 M 的轨迹是以 1F 、 2F 为端点的线段.故选：B. 6. 【解答】解：椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率与双曲线   2 2 2: 1 04 x yC bb     的离心率互为倒数关系，椭 圆 2 2 : 116 12 x yC   的离心率： 16 12 1 216   ； 所以双曲线   2 2 2: 1 04 x yC bb     的离心率： 24 22 b  ，解得 2 3b  . 故选：B. 7.【解答】解：曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线，则  2 0m m  ，解得 0 2m  . 6 ∴“1 2m  ”是“曲线 2 2 : 12 x yC m m   表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 8.【解答】解：双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的渐近线方程为： by xa   . 因为直线 3by xa   与双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线平行， 在 y 轴上的截距为 3，所以直线 3by xa   双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的交点个数是：1. 故选：A. 9.【解答】解：设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 代入椭圆方程得 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ① ② ①-②得： 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 0x x y y a b    ， ∴ 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0x x y y y y a x x b      . ∵ 1 2 2x x  ， 1 2 2y y   ， 1 2 1 2 1 0 1 1 3 2AB y yk x x       . ∴ 2 2 2 1 2 02a b    ， 化为 2 22a b ，又 2 23c a b   ，解得 2 18a  ， 2 9b  . ∴椭圆 C 的方程为 2 2 118 9 x y  . 故选：B. 10. 解答】解：设  ,P A y ，  ,M s t ，则  ,N s t  ， 则有 2 2 14 t s m   ， 2 2 14 y x m   , 7 两式相减得， 2 2 2 2 04 t y s x m    ， 则有 2 2 2 2 4t y s x m   , 而 1 t yk s x   ， 2 t yk s x     ， ∴ 2 2 1 2 1 2 2 2 4t yk k k k s x m      . ∴ 1 2 1 2 42 2 1k k k k m      . 得 16m  . 故选：A. 11. 【解答】解：p 中：椭圆为 2 2 19 25 x y  ，双曲线为 2 2 112 4 x y  ， 焦点坐标分别为 0, 4 和 4,0 ，故 p 为假命题； q 中：   2 2 2 2 5 14 4 4 xf x x x x       ， 设 2 4 2t x   ，则   1f t t t   在区间 2, 上单调递增， 故  min 5 2f x  ，故 q 为真命题。所以 p q  为真命题， 故选：B. 12.【解答】解：设 1 2PF F△ 的内切圆的半径为 r， ∵M 为 1 2PF F△ 的内心， 1 1 2 2MPF MF F MPFS S S △ △ △ ， ∴ 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2PF F F PF   ， ∴ 1 1 2 2PF F F PF  ， ∴ 1 2 1 2PF PF F F  ， ∵点 P 是椭圆上一点， 1 2F F 分别为椭圆的左、右焦点， ∴ 2 22 2a a b   8 ∴ 2 2 2 2 4 3 a a b      . 故选：D. 13.【解答】解：命题“ 3x  且 2x  ，则 2 5 6 0x x   ”的逆否命题是： 若 2 5 6 0x x   ，则若 3x  或 2x  ，其是真命题， 故原命题是真， 故答案为：真. 14. 【解答】解：设方程 2 10 0x x k   的两个根为 1x ， 2x ， 因为方程有两个异号根 所以 1 2 100 4 0 0 x x x k        解得 0k  . 所以关于 x 的方程 2 10 0x x k   有两个异号根的充要条件是 0k  . 15. 【解答】解：若 p q 为假命题，则 p，q 均为假命题. 命题 0:p x R  ， 2 0 1 0mx   ，则 0m  ，当 0m  时，p 为假命题.① 命题 :q x R  ， 2 1 0x mx   ，若 q 为真命题， 则 2 4 0m    ， 2 2m   ， ∴当 q 为假命题时， 2m   或 2m  .② 由①②可得 m 的取值范围为 2m  故答案为：  2,x  16.【解答】解：由题意纵坐标变为原来的一半可得：  22 2 4x y  ， 整理可得： 2 2 14 x y  故答案为： 2 2 14 x y  . 17. 【解答】解：连接 1PF ，由 2POF△ 为等边三角形可知在 1 2F PF△ 中， 1 2 90F PF   ， 2PF c ， 1 3PF c ， 9 所以  1 22 3 1a PF PF c    ， 故曲线 C 的离心率 3 1ce a    . 故答案为： 3 1 . 18. 【解答】解：设  0 0,M x y ，则有： 2 2 0 0 2 2 1x y a b   双曲线的渐近线方程为： by xa   当 0y y 时， 0 ax yb   ，即 0 0,aP y yb     ， 0 0,aQ y yb      ∴ 0 0 aMP y xb    ， 0 0 aMQ y xb   ， ∴ 2 2 2 0 0 0 0 0 02 4a a aMP MQ y x y x x yb b b                   . 又 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ，即 2 2 2 20 0 2 a yx ab   所以 2 4a  ，即 2a  ，则离心率 22 c ce a    ，所以 4c  ，焦距为 8. 故答案为 8. 19.解：设  4cos ,2sinP   ，  0,2 ， 则    2 22 4cos 2 2sinPQ     2 216cos 16cos 4 4sin       24 3cos 4cos 2    ， 令 cos t  ，  1,1t   ，   2 2 2 2 84 3 4 2 12 3 3PQ t t t         ， ∴当 2 3t  时， PQ 取最小值，最小值为 2 6 3 ， 10 故答案为： 2 6 3 . 20.【解答】解：根据题意，设   0 0 0, 1P x y x  ， 易得  1 1,0A  ，  2 2,0F ， 故     2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 01 , 2 , 2PA PF x y x y x x y           又 2 2 0 0 13 yx   ，故  2 2 0 03 1y x  ， 故 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 812 4 5 4 8 16PA PF x x y x x x                ， 当 0 1x  时，取到最小值-2； 故答案为：-2. 21. 【解答】解：（1）若 2 3 0x x m   有实数解， ∴  23 4 0m     ，解得 9 4m  ， 所以若命题 p 为真，m 的取值范围是： 9, 4     （2）若椭圆焦点在 x 轴上，所以 9 0 2 0 9 2 m m m m          ，解得 112 2m  ， 所以若命题 q 为真，m 的取值范围是 112, 2      若命题 p q 为真， 则 p，q 都为真，∴ 112 2m  且 9 4m  ， ∴. 92 4m  . ∴m 的取值范围是 92, 4      . 22. 【解答】解：（1） 2: 2 1 0p x x    ，解不等式得： 1 12x x       ； 11 因为  1 1 3 42x x x x            所以 p 是 q 的充分不必要条件. （2）因为 q 是 r 的充要条件， 所以不等式  2 212 0 0x ax a a    的解集是 3 4x x   所以 1 3x   ， 2 4x  是方程 2 212 0x ax a   的两根 由韦达定理得： 2 3 4 3 4 12 a a        ，解得 1a  23.【解答】解：（1）由题意得 2b  ， 6 3 c a  结合 2 2 2a b c  ，解得 2 12a  所以，椭圆的方程为 2 2 112 4 x y  . （2）由 2 2 112 4 1 x y y x       得  22 3 1 12x x   即 24 6 9 0x x   ，经验证 0  . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y . 所以 1 2 3 2x x   ， 1 2 9 4x x   , 故        2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 102 2 4 2AB x x y y x x x x x x            因为点 M 到直线 AB 的距离 0 2 1 2 22 d    ， 所以 1 1 3 10 2 3 5 2 2 2 2 4AMBS AB d      △ . 12 24.【解答】解：（1）由题意可得 2 2 2 2 2 1 2 3 3 14 c a a b a b c           ,解得 2 4a  ， 2 3b  ， 2 1c  故椭圆 C 的方程为 2 3 14 3 x y  ； （2）由题意知直线 AB 的斜率存在 设  : 1AB y k x  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立椭圆与直线 AB 方程：   2 2 1 14 3 y k x x y       消去 y 得： 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 故     22 2 28 4 3 4 4 12 0k k k      2 1 2 2 8 13 4 kx x k      ，解得： 2 3 4k  . 将 1 2x   代入  1y k x  得 2 ky  ，故 1 ,2 2 kE     ， ∴ 2 2 2 1 9 9 3 3912 2 4 4 4 16 43 k kEF                   25. 【解答】解：（1）当 m n ，即 N 点在圆 M 外时，轨迹是双曲线，如图： 因为 QP QN ，则 2 2QN QM QP QM MP r n MN m        ， 所以点 Q 的轨迹是以 M，N 为焦点，以 2n 为实轴长的双曲线， 则 Q 点轨迹方程： 2 2 2 2 2 1x y n m n   ； 当 m n ，即 N 点圆 M 内时，轨迹是椭圆，如图： 13 因为 QP QN ，则 4 2 2QN QM QP QM MP n MN m        ， 所以点 Q 的轨迹是以 M，N 为焦点，以 2n 为长轴长的椭圆， 则 Q 点轨迹方程为 2 2 2 2 2 1x y n n m   ； （2）因为 QMN△ 的面积有最大值，故此时 Q 点轨迹是椭圆， 即 Q 点所在方程为 2 2 2 2 11 x y n n   . 且当 Q 点为短轴顶点时 QMN△ 的面积最大，即有 21 2 1 32 n   ，解得 2 4n  ， 所以 Q 点方程为 2 3 14 3 x y  ，  1,0N ， 设直线  : 1 0l x ty t   ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  2 2,D x y 联立 2 2 1 3 4 12 x ty x y      ，整理得  2 23 4 6 9 0t y ty    . 则 1 2 2 6 3 4 ty y t    ， 1 2 2 9 3 4y y t   ，① 因为   1 2 1 2 1 2 1 2 AD y y y yk x x t y y     ， 所以直线 AD 的方程为        1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1y y y yy y x x x tyt y y t y y           ， 令 0y  ，得 1 2 1 2 2 1ty yx y y   将①代入得 4x  ，则直线 AD 必过点（4，0），证毕.