2020-2021学年河北省高二上学期第四次周考数学试题（解析版）

1 2020-2021 学年高二上学期第四次周考数学 一、选择题（本大题共 17 小题，共 85.0 分） 1. 若 ൐ ൐ ， ൏ ൏ ，则一定有 A. ൐ B. ൏ C. ൐ D. ൏ 2. 设 a， ，则“ ൐ ”是“ ȁȁ ൐ ȁȁ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知实数 x，y 满足 ൏ ൏ ൏ 1 ，则下列关系式恒成立的是 A. 3 ൐ 3 B. ݅ ൐ ݅C. ln 2 1 ൐ ln 2 1 D. 1 2 1 ൐ 1 2 1 4. 已知函数 3 2 . 且 ൏ 1 2 3 3 ，则 A. 3 B. 3 ൏ C. ൏ D. ൐ 5. 用 ݅ሻൌ b， 表示 a，b，c 三个数中的最小值．设 ݅ሻ2 ൌ 2ൌ1 ，则函数 的最大值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 . 若变量 x，y 满足约束条件 1 1 ，且 2 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 设 ൌ 满足条件 7 3 1 3 5 ，则 2 的最大值为 ． A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 8. 若 x，y 满足 2 2 ，且 的最小值为 4 ，则 k 的值为 A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 . x，y 满足约束条件 2 2 2 2 2 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为 A. 1 2 或 1 B. 2 或 1 2 C. 2 或 1 D. 2 或 1 1. 已知 x，y 满足约束条件 1 2 3 ，当目标函数 ൐ ൌ ൐ 在该约束条件下取到 最小值 2 5 时， 2 2 的最小值为 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 2 A. 5 B. 4 C. 5 D. 2 11. 在平面直角坐标系 xOy，已知平面区域 ሻൌȁ 1 ，且 ， ，则平面区域 ሻ ൌ ȁൌ 的面积为 A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 1 4 12. 对任意 x， ， ȁ 1ȁ ȁȁ ȁ 1ȁ ȁ 1ȁ 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 若函数 ȁ 1ȁ ȁ2 ȁ 的最小值为 3，则实数 a 的值为 A. 5 或 8 B. 1 或 5 C. 1 或 4 D. 4 或 8 14. 已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， 1 2 ȁ 2 ȁ ȁ 2 2 ȁ 3 2 ，若 ， 1 ，则实数 a 的取值范围为 A. 1 ൌ 1 B. ൌ C. 1 3 ൌ 1 3 D. 3 3 ൌ 3 3 15. 已知函数 1ൌ ൏ 1ൌ ，则不等式 1 1 1 的解集是 A. ሻȁ 1 2 1 B. ȁ 1C. ሻȁ 2 1 D. ሻȁ 2 1 2 1 1. 若不等式 2 1 对一切 ൌ 1 2 成立，则 a 的最小值为 A. 0 B. 2 C. 5 2 D. 3 17. 若 a，b， ൐ 且 2 2 2 4 12 ，则 的最小值是 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 3二、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分） 18. 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 . 现测得 ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB． 3 1. 在 ᦙ ，已知 2 ᦙ 3ȁ ȁȁᦙ ȁ 3ᦙ 2 ，求角 A，B，C 的大小． 20. 在 ᦙ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 4݅ 2 2 4݅݅ 2 2 ． Ⅰ 求角 C 的大小； Ⅱ 已知 4 ， ᦙ 的面积为 6，求边长 c 的值． 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 4 答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确． 利用特例法，判断选项即可． 【解答】 解：不妨令 3 ， 1 ， 3 ， 1 ， 则 1 ， 1 ， 、B 不正确； 3 ， 1 3 ， ᦙ 不正确，D 正确． 解法二： ൏ ൏ ， ൐ ൐ ， ൐ ൐ ， ൐ ， ൐ ， ൏ ． 故选：D． 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键． 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】 5 解：若 ൐ ， ൐ ，不等式 ȁȁ ൐ ȁȁ 等价为 ൐ ，此时成立； ൐ ൐ ，不等式 ȁȁ ൐ ȁȁ 等价为 ൐ ，即 2 ൏ 2 ，此时成立； ൐ ，不等式 ȁȁ ൐ ȁȁ 等价为 ൐ ，即 2 ൐ 2 ，此时成立， 即充分性成立； 若 ȁȁ ൐ ȁȁ ， 当 ൐ ， ൐ 时， ȁȁ ൐ ȁȁ 去掉绝对值得， ൐ ，因为 ൐ ，所以 ൐ ， 即 ൐ ； 当 ൐ ， ൏ 时， ൐ ； 当 ൏ ， ൏ 时， ȁȁ ൐ ȁȁ 去掉绝对值得， ൏ ，因为 ൏ ，所以 ൐ ， 即 ൐ ， 即必要性成立． 综上“ ൐ ”是“ ȁȁ ൐ ȁȁ ”的充要条件， 故选 C． 3.【答案】A 【解析】解： 实数 x，y 满足 ൏ ൏ ൏ 1 ， ൐ ， A.当 ൐ 时， 3 ൐ 3 ，恒成立， B.当 ， 2 时，满足 ൐ ，但 ݅ ൐ ݅ 不成立． C.若 ln 2 1 ൐ ln 2 1 ，则等价为 2 ൐ 2 成立，当 1 ， 1 时，满足 ൐ ，但 2 ൐ 2 不成立． D.若 1 2 1 ൐ 1 2 1 ，则等价为 2 1 ൏ 2 1 ，即 2 ൏ 2 ，当 1 ， 1 时，满足 ൐ ，但 2 ൏ 2 不 成立． 故选：A． 本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 4.【答案】C 【解析】解：由 1 2 3得 1 8 4 2 1 27 3 ， 解得 11 ， 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 则 3 2 11 ， 由 ൏ 1 3 ，得 ൏ 1 11 3 ， 即 ൏ ， 故选：C． 由 1 2 3 列出方程组求出 a，b，代入 ൏ 1 3 ，即可求出 c 的范围． 本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题． 5.【答案】C 【解析】 【分析】 在同一坐标系内画出三个函数 1 ， 2 ， 2 的图象，以此作出函数 图象，观察最大 值的位置，通过求函数值，解出最大值． 本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出 的简图． 【解答】 解： 1 是减函数， 2 是增函数， 2 是增函数，令 2 1 ， 4 ，此时， 2 1 ， 如图： 2 与 2 交点是 A、B， 2 与 1 的交点为 ᦙ4ൌ ， 由上图可知 的图象如下： 7 C 为最高点，而 ᦙ4ൌ ，所以最大值为 6． 故选：C． 6.【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 2 ，得 2 ， 平移直线 2 ，由图象可知当直线 2 经过点 A， 直线 2 的纵截距最小，此时 z 最小， 由 1 ，解得 1 1 ， 即 1ൌ 1 ，此时 2 1 3 ， 3 ， 平移直线 2 ，由图象可知当直线 2 经过点 B， 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 8 直线 2 的纵截距最大，此时 z 最大， 由 1 1 ，解得 2 1 ， 即 2ൌ 1 ，此时 2 2 1 3 ， 3 ， 则 3 3 ， 故选：B． 7.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，是 基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利 用数形结合确定 z 的最大值． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 阴影部分 ᦙ ． 由 2 得 2 ， 平移直线 2 ， 由图象可知当直线 2 经过点 C 时，直线 2 的截距最小， 此时 z 最大． 由 7 3 1 ，解得 5 2 ，即 ᦙ5ൌ2代入目标函数 2 ， 得 2 5 2 8 ． 故选 B． 8.【答案】D 【解析】解：对不等式组中的 2 讨论，可知直线 2 与 x 轴的交点在 2 与 x 轴的交点的右边， 故由约束条件 2 2 作出可行域如图， 当 ，由 2 ，得 2 ， 2 ൌ.由 得 ． 由图可知，当直线 过 2 ൌ 时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小． 此时 ݅ 2 4 ，解得： 1 2 ． 故选：D． 对不等式组中的 2 讨论，当 时，可行域内没有使目标函数 取得最小值的最 优解， ൏ 时，若直线 2 与 x 轴的交点在 2 与 x 轴的交点的左边， 的 最小值为 2 ，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最 优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 9.【答案】C 【解析】 【分析】 由题意作出已知条件的平面区域，将 化为 ，z 相当于直线 的纵截距，由 几何意义可得． 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题． 【解答】 解：由题意作出约束条件 2 2 2 2 2 ，平面区域， 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 1 将 化为 ，z 相当于直线 的纵截距， 由题意可得， 与 2 2 或与 2 平行， 故 2 或 1 ； 故选：C． 10.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距 离公式的应用，是中档题． 由约束条件作出可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到 2 2 5 . 2 2 的几何意义为坐标原点到直线 2 2 5 的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答 案． 【解答】 解：由约束条件 1 2 3 ，作可行域如图， 11 联立 1 2 3 ，解得： 2ൌ1 ． 化目标函数为直线方程得： ൐ ． 由图可知，当直线 过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 最小． 2 2 5 ． 即 2 2 5 ． 2 2 的几何意义为坐标原点到直线 2 2 5 的距离的平方， 则 2 2 的最小值为 2 5 5 2 4 ． 故选：B． 11.【答案】B 【解析】解析：令 ， 1 ， 作出区域是等腰直角三角形， 可求出面积 1 2 2 1 1选 B 将 和 看成整体，设 ，根据题意列出关于 u，v 的约束条件，画出区域求面积即可． 线性规划主要考查转化能力，与其他知识的结合重点在于问题的转化． 12.【答案】C 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 12 【解析】 【分析】 把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值． 本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法． 【解答】 解：对任意 x， ， ȁ 1ȁ ȁȁ ȁ 1ȁ ȁ 1ȁ ȁ 1ȁ ȁ ȁ ȁ1 ȁ ȁ 1ȁ ȁ 1 ȁ ȁ1 1ȁ 3 ， 当且仅当 ൌ1 ， 1ൌ1 等号成立． 故选：C． 13.【答案】D 【解析】解： 2 ൏ 1 时， ൏ 2 ， 1 2 3 1 ൐ 2 1 ； 2 1 ， 1 2 1 2 1 ； ൐ 1 ， 1 2 3 1 ൐ 2 ， 2 1 3 或 2 3 ， 8 或 5 ， 5 时， 2 1 ൏ 2 ，故舍去； 2 1 时， ൏ 1 ， 1 2 3 1 ൐ 2 ； 1 2 ， 1 2 1 2 1 ； ൐ 2 ， 1 2 3 1 ൐ 2 1 ， 2 3 或 2 1 3 ， 1 或 4 ， 1 时， 2 1 ൏ 2 ，故舍去； 综上， 4 或 8． 故选：D． 分类讨论，利用 ȁ 1ȁ ȁ2 ȁ 的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值． 13 本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题． 14.【答案】B 【解析】解：当 时， 3 2 ൌ ൐ 2 2 2 ൌ 2 ൏ 2 2 ൌ 2 ， 由 3 2 ， ൐ 2 2 ，得 ൐ 2 ； 当 2 ൏ 2 2 时， 2 ； 由 ， 2 ，得 2 ． 当 ൐ 时， ݅ 2 ． 函数 为奇函数， 当 ൏ 时， 2 ． 对 ，都有 1 ， 2 2 4 2 1 ，解得： ． 故实数 a 的取值范围是 ൌ ． 故选：B． 把 时的 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得 ൏ 时的函数的最大值，由对 ，都有 1 ，可得 2 2 4 2 1 ，求解该不等式得答案． 本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对 ，都有 1 得到不等式 2 2 4 2 1 ，是中档题． 15.【答案】C 【解析】 【分析】 对 1 中的 x 分两类，即当 1 ൏ ，和 1 时分别解不等式可得结果． 本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题． 【解答】 解：依题意得 1 ൏ 1 1 或 1 1 1所以 ൏ 1 或 1 2 1 2 1 ൏ 1 或 1 2 1 2 1故选 C． 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 14 16.【答案】C 【解析】解：设 2 1 ，则对称轴为 2 若 2 1 2 ，即 1 时，则 在〔 ， 1 2 〕上是减函数， 应有 1 2 5 2 1若 2 ，即 时，则 在〔 ， 1 2 〕上是增函数， 应有 1 ൐ 恒成立， 故 若 2 1 2 ，即 1 ， 则应有 2 2 4 2 2 1 1 2 4 恒成立， 故 1 综上，有 5 2 ． 故选：C 令 2 1 ，要使得 在区间 ൌ 1 2 恒成立，只要 在区间 ൌ 1 2 上的最小值大于等于 0 即可得到答案． 本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数 的开口方向、对称轴、端点值． 17.【答案】A 【解析】解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 12 2 12 ， 当且仅当 时取等号， 2 3故选项为 A 因为 的平方与已知等式有关，现将 2 用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于 0 得不等式， 然后解不等式得范围． 15 若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围． 18.【答案】解：在 ᦙ 中， ᦙ ． 由正弦定理得 ᦙ sinᦙ ᦙ sinᦙ ． 所以 ᦙ ᦙ݅ᦙ sinᦙ ݅ sin ． 在 ᦙ 中， ᦙᦙ ݅ sin ． 【解析】先根据三角形内角和为 18 得 ᦙ 18 . 再根据正弦定理求得 BC，进而在 ᦙ中，根据 ᦙᦙ 求得 AB． 本题主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理是解三角形问题常用方法，应熟练记忆． 19.【答案】解：设 ᦙ ， ᦙ ， 由 2 ᦙ 3ȁ ȁȁᦙ ȁ 得 2 3 所以 3 2又 ൌ 因此 由 3ȁ ȁȁᦙ ȁ 3ᦙ 2 得 3 2 ； 于是 ݅ᦙ݅ 3sin 2 3 4所以 ݅ᦙ݅ 5 ᦙ 3 4 ， 2݅ᦙᦙ 2 3sin 2 ᦙ 3即 sin2ᦙ 3 ൏ ᦙ ൏ 5 3 ൏ 2ᦙ 3 ൏ 4 3 2ᦙ 3 或 2ᦙ 3 ᦙ 或 ᦙ 2 3故 A ൌ 2 3 ൌᦙ 或 ൌᦙ 2 3 ൌ 【解析】先用向量的数量积求出角 A，再用三角形的内角和为 18 得出角 B，C 的关系，用三角函数的诱 导公式解之． 考查向量的数量积及三角函数的诱导公式．向量与三角结合是高考常见题型． 20.【答案】解： Ⅰ ᦙ 中， 第 ! 语法错误， 页，共 1 页 1 4݅ 2 2 4݅݅ 2 2 ， 4 1cos 2 4݅݅ 2 2 ， 2 2݅݅ 2 ， 即 cos 2 2 ， ᦙ 2 2 ， ᦙ ൌ ， ᦙ 4 ． Ⅱ 已知 4 ， ᦙ 的面积为 1 2 ݅ᦙ 1 2 4 2 2 ， 3 2 ， 2 2 2 ᦙ 18 1 2 3 2 4 2 2 1 ． 【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题． Ⅰ ᦙ 中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得 cos 2 2 ，从而得到 ᦙ 2 2 ，由此可得 C 的值． Ⅱ 根据 ᦙ 的面积为 1 2 ݅ᦙ 求得 a 的值，再利用余弦定理求得 c 的值．