2020-2021学年福建省泉州市高二上学期期中考试数学试题（b） word版

1 保密★启用前 泉州市 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（B） 本试卷共 4 页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时 间 120 分钟. 第 I 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再改涂在其它答案标号. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知向量 a  ＝(－1，1，0)， b  ＝(0，1，－1)，则 a b   A．0 B．1 C．－1 D．2 2．设平面α的法向量为(1，－2，λ)，平面β的法向量为(2，  ，4)，若α∥β，则   = A．2 B．4 C．－2 D．－4 3．已知 a  ＝(1，5，－2)， b  ＝(m，2，m＋1)，若 a b  ，则 m 的值为 A．－6 B．－8 C．6 D．8 4．若点 A(a＋1，3)在圆 C：(x－a)2＋(y－1)2＝m 内部，则实数 m 的取值范围是 A．(5，＋∞) B．[5, ) C．(0，5) D．[0，5] 5．椭圆x2 m ＋y2 4 ＝1 的焦距是 2，则 m＝ A．3 B．5 C．3 或 5 D．2 6．两直线 l1:3x－2y－6=0，l2:3x－2y＋8=0，则直线 l1 关于直线 l2 对称的直线方程为 A．3x－2y＋24=0 B．3x－2y－10=0 C．3x－2y－20=0 D．3x－2y＋22=0 7. 如图所示，P 是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线 PM，PN，如果∠BPM ＝∠BPN＝∠MPN＝60°，设二面角α－AB－β的大小为α，则 cosα＝ A．1 B． 2 3 2 C． 2 3 D． 1 3 8．已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M，N 分别为 PC，PD 上 的点，且 2  PM MC ，   PN ND ，       NM xAB yAD zAP ， 则 x＋y＋z＝ A． 2 3  B． 2 3 C．1 D． 5 6 二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的的 0 分. 9．在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，与向量  AB 相等的向量有 A．  CD B． ' '  A B C． ' '  D C D．  BC 10．已知平面α过点 A(1，－1，2) ，其法向量 n  =(2，－1，2) ，则下列点不在α内的是 A．(2，3，3) B．(3，－3，4) C．(－1，2，0) D．(－2，0，1) 11．已知直线 l1:ax－y－b=0，l2:bx－y＋a=0，当 a，b 满足一定的条件时，它们的图形可以是 A B C D 12．已知椭圆 C： 2 2 14 3  x y 的左、右焦点分别为 F、E，直线 x m ( 1 1)  m 与椭圆相交 于点 A、B，则 A．椭圆 C 的离心率为 3 2 B．存在 m，使△FAB 为直角三角形 C．存在 m，使△FAB 的周长最大 3 D．当 m=0 时，四边形 FBEA 面积最大 第 II 卷 本卷为必考题. 第 13～16 题为填空题，第 17～22 题为解答题，每个试题考生都必须作答． 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．化简       AB CD AC BD ＝________. 14．已知 ( 2,0)F 是椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0)x yE a ba b     的右焦点，且 E 过点 ( 2,1) ，则椭圆 E 的 离心率为____________. 15．已知直线 0  x y a 与圆 2 2: 2O x y  相交于 A， B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等边三角形，则实数 a＝________． 16．如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半， 在该正方体侧面 CDD1C1 有一个小孔 E，E 点到 CD 的距离为 3，若该正方体水槽绕 CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面 CDD1C1 与桌面所成的角正切值 为 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 已知直线 l1 斜率为－2，在 y 轴上的截距为 2；直线 l2 过定点(1,3),(2,4). （1）求直线 l1，l2 的方程； （2）求 l1，l2 的交点 P 的坐标，并求点 P 到坐标原点 O 的距离. 18．（本小题满分 12 分） 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点 M 在 A1C1 上，|MC1|＝2|A1M|， N 在 D1C 上且为 D1C 中点. （1）求 M、N 两点间的距离； （2）判断直线 MN 与直线 BD1 是否垂直，并说明理由. 4 19．（本小题满分 12 分） 已知圆 C 经过点 A(2，－1)，且圆心在直线 y＝－2x 上，直线 x＋y＝1 与圆 C 相切． （1）求圆 C 的方程； （2）已知斜率为-1 的直线 l 经过原点，求直线 l 被圆 C 截得的弦长． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，左顶点为 A(－2，0)，离心率为 3 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，求|PQ|的最大值. 21．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD， 90  ADC ， 1 12   BC CD AD ，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与线段 PD，PC 分别 交于点 G，F． （1）求证：GF⊥平面 PAD； （2）若 2 PA PD ，点 G 为 PD 的中点，求直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值. 22．（本小题满分 12 分） 已知圆 O：x2＋y2＝4 和定点 A(1，0) ，平面上一动点 P 满足以线段 AP 为直径的圆内切 于圆 O，动点 P 的轨迹记为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）直线   : 4 0l y k x k   与曲线 C 交于不同两点 M，N，直线 AM，AN 分别交 y 轴 于 P，Q 两点．求证： AP AQ ． 5 泉州市高二数学试题（B）参考答案 一、选择题 1—5 BCDAC 6—8 DDB 二、多项选择题 9．BC 10．BCD 11．AC 12．BD 三、填空题 13． 0  14． 2 2 15． 3 16．2 四、解答题 17．解： （1）由题意知，直线 1l 的方程为 2 2y x   ， 即 2 2 0x y   ；……………………………2 分 设直线 2l 的斜率为 k ，则 4 3 12 1k   ， 所以 2l 的方程为 3 1y x   ，即 2 0x y   ；…………………………5 分 （2）联立 2 0, 2 2 0, x y x y        得 0, 2, x y    所以交点坐标为 (0,2) , ……………………………8 分 所以 2 2(0 0) (2 0)OP     2 . ……………………………10 分 18．解： （1）建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ， (0,0,0)A , (2,0,0)B , (2,2,0)C , 1(0,0,4)A , 1(2,2,4)C , 1(0,2,4)D , 因为|MC1|＝2|A1M|，所以 1 1 1 1 3 A M AC , 得 M(2 3 ，2 3 ，4). ………………………2 分 又 N 为 CD1 中点，所以 N(1,2,2)，…………………4 分 所以 2 2 22 2 53(1 ) (2 ) (2 4)3 3 3       MN ； …………………6 分 （2） 1 4( , , 2)3 3MN   ， 1 ( 2,2,4)BD   ,………………………8 分 6 所以 1 1 4 2 8( , , 2) ( 2,2,4) 8 63 3 3 3MN BD            ，………………………10 分 1 0MN BD    ，…………………………11 分 所以直线 MN 与直线 1BD 不垂直. ……………………………12 分 19．解： （1）设圆心 C 的坐标为 (a，－2a)， 则 2 2( 2) ( 2 1)a a    ＝|a－2a－1| 2 ，. ……………………………1 分 化简，得 a2－2a＋1＝0， 解得 a＝1， 所以 C(1，－2)，……………………………3 分 半径 r＝|AC|＝ 2 2(1 2) ( 2 1)    ＝ 2，…………………………5 分 所以圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. ………………………6 分 （2）直线 l 的方程为 y x  ，……………………………7 分 设圆心到直线的距离为 d ， 则 1 ( 2) 2 22   d ，…………………………9 分 设弦长为 l ，得 222 2 ( ) 62   l ，……………………………11 分 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 6 .……………………………12 分 20．解： （1）设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)． 由题意得 a＝2， c a ＝ 3 2 ， 解得 c＝ 3， 所以 b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1；…………………………4 分 （2）设 P，Q 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由 x2＋4y2＝4， y＝x＋t 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，…………………………6 分 则 x1＋x2＝－8 5t，x1x2＝ 24( 1) 5 t  ，……………………………7 分 0  ，得 20 5t  ， 所以|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2| 7 ＝ 1＋k2· 2 1 2 1 2( ) 4x x x x  ＝ 2· －8 5t 2－4×4 t2－1 5 ＝4 2 5 · 5－t2 ， ……………………………10 分 因为 20 5t  ，所以当 t＝0 时，|PQ|max＝4 10 5 . …………………………12 分 21．证明： （1）因为 1 2 BC AD，且 E 为线段 AD 的中点， 所以 BC=DE，又因为 BC∥AD， 所以四边形 BCDE 为平行四边形， 所以 BE∥CD， ……………………………2 分 又因为 , 平面 平面CD PCD BE PCD ， 所以 BE∥平面 PCD， 又平面 BEGF  平面 PCD GF, 所以 BE∥GF，……………………………4 分 又 BE AD ,且 平面 平面PAD ABCD ， 平面 平面PAD ABCD AD , 所以  平面BE PAD ， 所以  平面GF PAD ，……………………………6 分 （2）因为 PA PD ， E 为线段 AD的中点， 所以 PE AD ， 又因为 平面 平面PAD ABCD ， 所以  平面PE ABCD ，………………7 分 以 E 为坐标原点，  EA的方向为 x 轴正方向建立如图 所示的空间直角坐标系 E xyz ； 则 (0,0,1)P , (0,1,0)B , (0,0,0)E , ( 1,0,0)D , 则 (0,1, 1)  PB , (0, 1,0)  BE , (1,0,1) DP , 1 1( ,0, )2 2 G ， 所以 1 1( ,0, )2 2   EG , ……………………9 分 设平面 BEGF 的法向量为 ( . . ) n x y z ， 则 0, 0, BE n EG n          ，即 0, 1 1 0,2 2    y x z 不妨令 2x ，可得 (2,0,2) n 为平面 BEGF 的一个法向量，……………10 分 8 设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为α， 于是有sin cos ,    n PB      n PB n PB 2 2 2 1 22 2 2    ；……………………11 分 所以直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 1 2 .……………………………12 分 22．解： （1）设以线段 AP 为直径的圆的圆心为 C，取 A′(－1,0)． 依题意，圆 C 内切于圆 O，设切点为 D，则 O，C，D 三点共线， 因为 O 为 AA′的中点，C 为 AP 中点， 所以|A′P|＝2|OC|.…………………………1 分 所以|PA′|＋|PA|＝2OC＋2AC＝2OC＋2CD＝2OD＝4＞|AA′|＝2， 所以动点 P 的轨迹是以 A，A′为焦点，长轴长为 4 的椭圆，………………3 分 设其方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)， 则 2a＝4,2c＝2， 所以 a＝2，c＝1， 所以 b2＝a2－c2＝3，………………………5 分 所以动点 P 的轨迹方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1; …………………6 分 （2）设 ，   2 2 1 21, 1N x y x x 且 ． 由   2 2 4 14 3 y k x x y        ， 得  2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k     ，………………………7 分 依题意      22 2 232 4 4 3 64 12 0Δ k k k        ， 即 2 10 4k  ，…………………………8 分 则 2 1 2 2 2 1 2 2 32 4 3 64 12 4 3 kx x k kx x k          ，…………………………9 分 因为          1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 2 2 5 84 4 1 1 1 1 1 1MF NF k x x x xk x k xy yk k x x x x x x                     2 2 2 2 1 2 64 12 322 5 84 3 4 3 01 1 k kk k k x x                    ,…………………………10 分 所以直线 MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即   OAP OAQ ． 9 因为 OA PQ ，所以 AP AQ ．…………………………12 分