2020-2021学年广东省珠海二中高二上学期10月月考数学试题 Word版

1 广东省珠海二中 2020-2021 学年高二上学期 10 月月考数学试题 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项 符合题目要求） 1.已知集合 2 0{ | }2A x x x   ，  3 3B x x    ，则 A B  （C） （A） 3 0x x   （B） 3 2x x   （C） 0 3x x  （D） 2 0x x   2.若函数   1, 1 5 , 1 xe xf x x x      ，则   2f f  （A） （A）1 （B）4 （C）0 （D） 25 e 3.设 a  ，b  是非零向量，“ a b a b      ”是“ a b    ”的（A） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4 4S   ， 6 6S  ，则 5S  （B） （A）1 （B）0 （C）-2 （D）4 5.已知双曲线 2 2: 13 yC x   的右顶点为 A，过右焦点 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线 于点 B，则 ABFS  （B） （A） 3 （B） 3 2 （C） 3 3 4 （D） 3 3 8 6.下列命题正确的是（C） 2 （A）若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 （B）若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 （C）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 （D）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 7.已知 为锐角，且 3cos 4 5      ，则 cos2 =（A） （A） 24 25 （B） 7 25 （C） 24 25  （D） 24 25  8.已知 a  ，b  为单位向量，则 a b a b      的最大值为（D） （A） 2 3 （B） 3 1 （C）3 （D） 2 2 9.椭圆 2 2 2 14 x y a   与双曲线 2 2 12 x y a   有相同的焦点，则 a=（B） （A）-1 （B）1 （C） 1 （D）2 10.已知等比数列 na 满足 1 4a  ， 2 6 4 1 4a a a  ，则 2a  （A） （A）2 （B）1 （C） 1 2 （D） 1 8 11.已知 ABC△ 的内角 A，B，C 对的边分别为 a，b，c，且sin 2 sin 2sinA B C  ，则 cosC 的最小值 为（A） （A） 6 2 4  （B） 6 4 （C） 6 2 4  （D） 2 4 12.已知 A，B，P 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   上不同的三点，且 AB 连线经过坐标原点，若直线 PA ， PB 的斜率 乘积 2 3PA PBk k  ，则该双曲线的离心率 e=（B） （A） 5 2 （B） 15 3 （C） 10 2 （D） 2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填写在横线上） 13.若变量 x，y 满足约束条件 0 2 1 4 3 y x y x y        ，则 z x y  的最小值是-2. 3 14.命题“ x R  ，都有 2 1 0x x   ”的否定是 0x R  ，使得 2 0 0 1 0x x   . 15.设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且  1 4 1 3 n n a S   ，若 3 8a  ，则 1 1 2a  . 16.将函数   cosf x x 的图像向右平移 2  个单位后得到函数   sin 4g x x      的图像，则正数 的 最小值等于 3 2 . 17.下列命题中：（1）“若 1xy  ，则 x，y 互为倒数”的逆命题；（2）“四边相等的四边形是正方形”的否命 题；（3）“梯形不是平行四边形”的逆否命题；（4）“若sin sinx y ，则 x y ”的逆命题.其中是真命题的 是（1）（2）（3）（4）. 18.在 R 上定义了运算“*”：  * 1x y x y  ；若不等式    * 1x a x a   对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 1 3,2 2     . 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分） 19.（1）已知命题 : 1p a x a   ，命题 2: 4 0q x x  ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）已知命题 :p “  0,1x  ， xa e ”，命题 :q “ 0x R  ，使得 2 0 04 0x x a   ”.若命题“ p q ” 是真命题，求实数 a 的取值范围. 解：（1）令 { | }1M x a x a    ，  2 4{ | } |0 0 4N x x x x x      . 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 M N. 所以 0 1 4 a a       ，解得 0 3a  . 所以 a 的取值范围是 (0 )3， . （2）若命题“ p q ”是真命题，则 p，q 都是真命题. 由  0,1x  ， xa e ，可得 a e ； 由 0x R  ，使得 2 0 04 0x x a   ，可得 16 4 0a    ，解得 4a  . 所以 4e a  . 所以 a 的取值范围是[ 4]e， . 4 20.设 na 是公比不为 1 的等比数列， 1a 为 2a ， 3a 的等差中项. （1）求 na 的公比； （2）若 1 1a  ，求数列 nna 的前 n 项和. 解：（1）设数列 na 的公比为 q（ 0q  且 1q  ）. 因为 1a 为 2a ， 3a 的等差中项，所以 1 2 32a a a  .即  2 1 1 1 12 0a a q a q a   . 整理得 2 2 0q q   ，解得 2q   或 1q  （舍）. 所以数列 na 的公比为-2. （2）由（1）知，当 1 1a  时，   12 n na   .所以   12 n nna n   . 设数列 nna 的前 n 项和为 nT ， 则          2 2 11 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n             ①            2 3 12 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n              ② 由①－②得，        2 13 2 2 2 2 nn nT n              1 2 21 2 n nn          3 1 21 3 3 nn     所以    3 1 213 9 9 n n nT     . 21.已知 ABC△ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 1cos 2a c B b  . （1）求 cosC ； （2）若 3c  ，求 a b 的取值范围. 解：（1） 1cos 2a c B b  ，由正弦定理可得 1sin sin cos sin2A C B B  ， 即   1sin sin cos sin2B C C B B   ，整理得 1sin cos sin2B C B . 因为 0 B   ，所以sin 0B  ，所以 1cos 2C  . 5 （2）由（1）得， 3C  ，所以 3sin 2C  . 由正弦定理可得， 2sin sin sin a b c A B C    . 所以 22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A         3sin 3 cos 2 3sin 6A A A        . 因为 20 3A   ，所以 5 6 6 6A     . 所以 1 sin 12 6A       ，从而 a b 的取值范围为 3,2 3 . 22.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的一个顶点为  2,0A ，离心率为 2 2 ，直线  1y k x  与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N. （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 AMN△ 的面积为 14 4 时，求 k 的值. 解：（1）由题意得 2 2 2 2 2 2 a c a a b c        ，解得 2 2 a b   . 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 2 x y  . （2）联立   2 2 1 14 2 y k x x y       ，消去 y 得 2 2 2 2( )1 2 4 2 4 0k x k x k     . 设 1 1( ),M x y ， 2 2( )N x y, ，则 2 1 2 2 4 1 2 kx x k    ， 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k   . 所以     2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 6 1 1 4 1 2 k k MN k x x k x x x x k              . 又点 0(2 )A ， 到直线  1y k x  的距离为 21 kd k   . 6 所以 AMN△ 的面积为 2 2 4 61 14 2 1 2 4 k kS MN d k      ， 整理得 4 220 4 7 0k k   . 解得 2 1 2k  或 2 7 10k   （舍），故 2 2k   . 23.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，右焦点为 F，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴 长为半径的圆与直线 2 0x y   相切. （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，过定点 0(2 )P ， 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，连接 AF 并延长交 C 于 M，求证： PFM PFB   . 解：（1）由题意可设圆 O 的方程为 2 2 2x y b  . 因为圆 O 与直线 2 0x y   相切，所以 2 1 2 b   . 由 2 2 1a c  及 2 2 c a  ，解得 2a  . 所以椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  . （2）由题意可知直线 l 的斜率必存在，设  : 2l y k x  . 7 联立   2 2 2 12 x y y k x       消去 y 得 2 2 2 2( )1 2 8 8 2 0k x k x k     有 2 2 2 28 4 1( ) ( )( )2 8 2 0k k k       ，整理得 22 1 0k   . 设 1 1( )A x y, ， 2 2( ),B x y ，则 2 1 2 2 8 1 2 kx x k    ， 2 1 2 2 8 2 1 2 kx x k   . 有          1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1AF BF k x k x x x x xy yk k kx x x x x x                 其中   2 2 1 2 1 2 2 2 8 2 8 22 3 4 2 3 4 01 2 1 2 k kx x x x k k            所以 0AF BFk k  所以 PFM PFB   .