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郎溪中学 2020-2021 学年第一学期高二年级第三次半月考
理科数学试卷
一、选择题
1．某中学举行了一次运动会，同时进行了全校精神文明评比．为了解此次活动在全校师生
中产生的影响，欲从全校 600 名教职工、3000 名初中生、2400 名高中生中抽取 120 人做调
查，则应抽取的教职工人数和高中生人数分别为（ ）
A．5，45 B．5，20 C．12，60 D．12，48
2．圆心为点 C(4，7)，并且截直线 3x-4y+1＝0 所得的弦长为 8 的圆的方程（ ）
A．(x-4)2+(y-7)2＝5 B．(x-4)2+(y-7)2＝25 C．(x-7)2+(y-4)2＝5 D．(x-7)2+(y-4)2＝25
3．若实数 x，y 满足
2
3 3 0
0
x y
x y
y
，则 z＝2x-y 的最小值是（ ）
A．2 B． 5
2 C．4 D．6
4．两平行直线分别过(1，5)，(-2，1)两点，设两直线间的距离为 d，则 d 最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
5．在空间直角坐标系中，点 M(-5，3，1)关于 x 轴的对称点的坐标为 N，已知点 A(1，2，
2)，则|AN|＝（ ）
A． 70 B． 3 2 C． 62 D． 46
6．圆 C1：x2+y2+2x+2y-2＝0 与圆 C2：x2+y2-4x-2y-4＝0 的公切线有且仅有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
7．直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a＝0(a＜3)相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点为 C(-2，3)，则
直线 l 的方程为（ ）
A．3x-5y+21＝0 B．3x+5y+21＝0 C．x-y+5＝0 D．x+y-1＝0
8．执行右面的程序框图，则输出的 n＝（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
9．圆(x-3)2+(y-3)2＝4 上到直线 3x+4y-16＝0 的距离等于 1.5 的点有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2
10．若 x，y 满足条件
3 5 6 0
2 3 15 0
0
x y
x y
y
，当且仅当 x＝y＝3 时，z＝ax-y 取最小值，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． ( )3 2,4 3
B． ( )2 3,3 4
C． ( )2 3,3 5
D． (3 3,4 5)
11．若圆 M：x2+y2+4x+2y+1＝0 上的任意一点 P(m，n)关于直线 l：2ax+3by+9＝0 对称的点
仍在圆 M 上，则(m-a)2+(n-b)2 的最小值为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
12．设点 M(3，4)在圆 x2+y2＝r2(r＞0)外，若圆 O 上存在点 N，使得 π
3OMN ，则实数 r
的取值范围是（ ）
A． 5 ,2
B． 5 ,52
C． 5 3 ,52
D． 5 ,52
二、填空题：
13．273 与 105 的最大公约数是________
14．用系统抽样方法从 400 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 400 名学生随机地编号为 1～
400，按编号顺序平均分为 20 个组．若第 1 组中用抽签的方法确定抽出的号码为 11，则第
17 组抽取的号码为_______．
15．若曲线 C：x2+y2-2ax+6ay+10a2-1＝0 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为
________
16．若关于 x 的方程 21 2 2x kx k 有两个不同实数解，则实数 k 的取值范围是______．
三、解答题
17．（1）用除 k 取余法把 2137(10)化成八进制数
（2）用秦九韶算法计算 f(x)＝x4-3x3-4x+1 在 x＝2 时的值
18．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进
行了调查，通过抽样，获得了某年 100 个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，
1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5)分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中 a 的值；
（2）设该市有 10 万个家庭，估计全市月均用水量不低于 3 t 的家庭数；
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均
数．
3
19．从点 A(-4，1)出发的一束光线 l，经过直线 l1：x-y+3＝0 反射，反射光线恰好通过点 B(1，
6)，
（1）求反射光线所在的直线方程
（2）求入射光线 l 所在的直线方程．
20．已知直线 l 过点(-2，1)．
（1）若直线 l 不经过第四象限，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；
（2）若直线 l 交 x 轴的负半轴于点 A，交 y 轴的正半轴于点 B，△AOB 的面积为 S，其中 O
为坐标原点，求 S 的最小值，并求此时直线 l 的一般方程．
21．已知圆 C：x2+(y-4)2＝4，直线 l：(3m+1)x+(1-m)y-4＝0．
（1）证明：直线 l 与圆 C 相交；
（2）设直线 l 与圆 C 交于 E、F 两点，求△CEF 面积最大时，直线 l 的方程；
22．已知：以点 4 , ( , 0)C t t tt
R 为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，
其中 O 为原点．
（1）求证：△OAB 的面积为定值；
（2）设直线 y＝-x+4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程．
理科答案
1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C 11.D 12.C
13. 21 14. 331 15. 1a 16. 4 72, 3
17.（1）
(8)4131 （2）-15
18． （1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为 1，
所以 0.12 0.22 0.36 0.12 1 1a ，解得 0.18a .
（2）抽取的样本中，月均用水量不低于 3t 的家庭所占比例为 0.12 1 0.3 30%a ，
因此估计全市月均用水量不低于 3t 的家庭所占比例也为 30%，
所求家庭数为100000 30% 30000 .
（3）因为 0.12 0.5 0.22 1.5 0.36 2.5 0.18 3.5 0.12 4.5 2.46 ，
因此估计全市家庭月均用水量的平均数为 2.46.
19.（1） 7 3 11 0x y （2）3 7 19 0x y
20. （1）由题意知直线 l 的斜率存在．
4
当直线 l 的斜率 0k 时，直线的方程为 1y ，符合题意；
当 0k 时，直线 l 的方程为 1 ( 2)y k x ，
直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2k
k
，在 y 轴上的截距为1 2k ，
要使直线 l 不经过第四象限，则有
1 2 0,
1 2 0,
k
k
k
解得 0k ．
综上，直线 l 的斜率 k 的取值范围为[0, ) ．
（2）由题意可知直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 1 ( 2)y m x ，且易知 0m ，
由 l 的方程得 1 2 ,0 , (0,1 2 )mA B mm
．
依题意得
1 2 0,
1 2 0,
m
m
m
得 0m ．
又 1
2S OA OB
1 1 2 1 22
m mm
21 (1 2 )
2
m
m
1 14 42 m m
1 12 4 42 m m
1 4 4 42
（当且仅当 12 m
m
，即 1
2m 时等号成立），
所以当 1
2m 时，S 取得最小值，且 min 4S ，
此时直线 l 的方程为 2 4 0x y ．
21．解：（1）证明：∵圆C ： 2 2( 4) 4x y ，∴圆心 (0,4)C ，半径 2r = ，
5
∵直线l ： (3 1) (1 ) 4 0m x m y ，整理得： (3 ) ( 4) 0x y m x y ，
令 3 0
4 0
x y
x y
，解得： 1
3
x
y
，∴直线l 过定点 (1,3)M ，
∴ 2 2(1 0) (3 4) 2 2CM r ，
∴定点 (1,3)M 在圆内，
∴直线l 总与圆C 相交.
（2）由题意 21 1sin sin2 2CEFS CE CF ECF r ECF ，
当 CEFS△ 最大时，
2ECF ，此时 CEF△ 是等腰直角三角形，
此时圆心 (0,4)C 到直线l 的距离 d 等于 2
2 r 即 2d
因为圆心 (0,4)C 到直线l 的距离：
2 2 2 2
(3 1) 0 (1 ) 4 4 4
(3 1) (1 ) (3 1) (1 )
m m md
m m m m
，
所以 2 2
4 2
(3 1) (1 )
m
m m
，解得 1m ，
将 1m 代入直线l ： (3 1) (1 ) 4 0m x m y ，得到 2 0x y
所以当 CEF△ 面积最大时直线l 的方程： 2 0x y .
22.（1） 4 , ( , 0)C t t tt
R ，过原点
2 2 2 2 2
2
4 4 16( ) ( ) ( )r t x y t tt t t
取 0 2 , 0 (0,2 )x y t y B t
取 8 80 , 0 ( ,0)y x x At t
6
1 82 82OABS t t 为定值.
（2）设直线 4y x 与圆 C 交于点 M，N，若 OM ON
设 MN 中点为Q ，连接OQ OQ MN
圆心 4 ,C tt
在 OQ 上
2
1 1 24 4OC
t tk t
t
圆 C 的方程为：
2 2( 2) ( 2) 8x y 或 2 2( 2) ( 2) 8x y
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