2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 word版

- 1 - 2020-2021 学年高 二上学期期中联考数学试题 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．若 A,B 为互斥事件，P(A)=0.4 ， P(A∪B)=0.7 ，则 P(B)= （ ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7 2．某班有学生 60 人，将这 60 名学生随机编号为 1-60 号，用系统抽样的方法从中抽出 4 名学 生，已知 4 号、34 号、49 号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ） A. 28 B. 23 C. 19 D. 13 3．已知直线 MN 的斜率为 4，其中点 N(1，－1)，点 M 在直线 1 xy 上，则点 M 的坐标为 ( ) A．(2,3) B．(4,5) C．(2,1) D．(5,7) 4．如右图，在圆心角为直角的扇形OAH 中，分别以 ,OA OH 为直径作两个 半圆，在扇形OAH 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A． 1  B． 1 2 C． 4 2    D． 2   5．已知直角三角形的两直角边分别为1， 3 ，若绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体，则 该几何体的体积为（ ） A． 4  B． 3  C． 2  D． - 2 - 6．已知某几何体的三视图如右图所示，若该几何体外接球的表面 积为 32 ，则该几何体的高 h 为（ ） A．3 B． 32 C． 4 D． 6 7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑 A BCD 中， AB  平面 BCD， BD CD ，且 ,AB BD CD M  为 AD 的中点，则异面直线 BM 与CD 所成的角为（ ） A．30 B． 45 C． 60 D．90 8．已知点 )0)(0,1(),0,1(  mmBmA ，若圆 C： 0288822  yxyx 上存在一点 P ， 使得 PBPA  ，则实数 m 的取值范围是( ) A． 3m B． 73  m C． 72  m D． 64  m 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求的。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．某赛季甲、乙两名篮球运动员 5 场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为 32， 乙得分的平均值为 24，则下列结论正确的是（ ） A． 8x B．甲得分的方差是 736 C． 26y D． 乙得分的方差小于甲得分的方差 10．设 nml ,, 表示三条不同的直线，  ，， 表示三个不同的平面，给出 下列四个选项中正确的是（ ） A．若  mlml ,//,// ，则   ； B．若 ,, nmm   则 //n ； C．若 nm, 为异面直线，  //,//,//,// nmnm ，则  // ； D．若   ， ，则   ． 11．若直线 bxy  与曲线 21 yx  恰有一个公共点，则 b 的可能取值是( ) A． 1 B． 0 C． 1 D． 2 12．已知球 O 的直径 4SD ， CBA 、、 是球 O 表面上的三 - 3 - 个不同的点， 30ASD BSD CSD       ，则（ ） A． AB SD B． 线段 AB 的最长长度为 32 C．三棱锥 ABCS  的体积最大值为 3 D．过 SA作球的截面中，球心 O 到截面距离的最大值为 1. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．具有线性相关关系的变量 yx、 的一组数据如下表所示， y 与 x 的回归直线方程为  1.5y bx  ，则 b 的值为 . x 0 1 2 3 y 1 1 4 8 14．已知直线 bxyl : 被圆 6)2()3( 22  yxC： 截得的弦长等于该圆的半径,则 b . 15．在长方体 1111 DCBAABCD 中， 1,1 AAADAB  ，且 DC1 与底面 1111 DCBA 所成角为 60 ，则直线 DC1 与平面 11DCB 所成的角的正弦值为 ． 16．在平面直角坐标系 xoy 中，过圆 1)4()( 22 1  kykxC ： 上任一点 P 作圆 1)1( 22 2  yxC ： 的一条切线，切点为Q ，则当 PQ 取最小值时， k ________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题 10 分） 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情 况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 )60,50[ ， )70,60[ ， ， ]100,90[ 分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图． - 4 - （1）求图中 x 的值，并求出满意度评分值在 100,90 的人数； （2）若调查的满意度评分值的平均数超过 75，则可在该城市 继续推行共享单车，试判断该城市能否继续推行共享单车。 18．（本小题 12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD 为菱形， 60DAB ，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，M 为 AD 的中点，且 PM 平面 ABCD （1）证明：平面 PBM 平面 PAD ； （2）求三棱锥 PBDC  的高。 19．（本小题 12 分） 如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某宝电商分 析了近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x (单位:万元)和利润 y (单位:十万元)之间的关系, 得到下列数据: 请回答: （1）由表中数据，求线性回归方程 axby ˆˆˆ  ，并预测当 14x  时,对应的利润 yˆ 为多少 ( ˆ ˆ ˆ, ,b a y 精确到 0.1)； 附参考公式:回归方程中 ˆˆ ˆy bx a  中 ˆb 和 ˆa 最小二乘估计分别为 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx        , ˆˆa y bx  , 参考数据: 8 8 2 1 1 2 4 1, 3 5 6i i i i i x y x      . x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 M - 5 - （2）为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的 3 名成员各自制定两个方案，从中任 选 2 个方案进行宣传，求这 2 个方案出自同一个人的概率。 20．（本小题 12 分） 己知一个动点 M 在圆 1622  yx 上运动，它与定点  8,0Q 所连线段的中点为 P 。 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）若点 P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程。 21．（本小题 12 分） 已知圆心为C 的圆经过点 (1, 1)A 和 (2, 2)B  ，且圆心 C 在直线 : 1 0l x y   上 （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 nxym ： 圆C 截得的弦与圆心构成 CDE ，若 CDE 的面积有最大值， 求出直线 nxym ： 的方程；若 CDE 的面积没有最大值，请说明理由。 22．（本小题 12 分） 如图甲，设长方形 ABCD 的边 3, 3AB BC  ，点 E F、 分别满足 AE EB CF FD 2 2    ， ，如图乙，将直角梯形 AEFD 沿直线 EF 折到 1 1A EFD 的位置。 （1）证明： 1 / /A E 平面 1CD F ； - 6 - （2）当二面角 1A EF C  为直二面角时，求多面体 1 1A EBD FC 的体积; （3）若 FC 中点的G ，当 1A 在底面上的射影 H 恰好落在 EG 上，且 HGEH 2 时，求二面 角 1D FC B  所成角的余弦值．（如图丙） 答案 一、二、选择题： 三、填空题： 13. 3 14． 42  或b 15. 5 15 16. 2 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题 10 分） 解：（1）由 110030.0035.002.0005.0  ）（ x ∴ 01.0x ……………… 3 分 则满意度评分值在 100,90 的有 101001001.0  人 …………5 分 (2)这组数据的平均数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A D C C D B A D A C BC ABD - 7 - 771.0953.08535.0752.06505.055  ……………9 分 ∵ 7577  ，故能够继续推行共享单车。 ……………10 分 18．（本小题 12 分） 证明：（1）连接 BDBM、 ∵ ABCDPM 平面 ， ABCDBM 平面 ∴ BMPM  ………… 2 分 ∵底面 ABCD是菱形且 60DAB ， ∴ ABD 是等边三角形， 又点 M 是 AD 的中点 ∴ MADPMADBM  又, ………… 4 分 ∴ PADBM 平面 ，又 PBMBM 平面 ∴平面 PADPBM 平面 ； ………… 6 分 （2）法一：由（1）得 PMBMBMPM  且 ∴ PBM 是等腰直角三角形 又 2 PDADPA ，∴ 6PB 在 PBD 中， 2 BDPD ，∴ PB 边上的高为 2 10 ∴ 2 15 2 1062 1 PBDS ………… 9 分 设点 PBDC到平面 的距离为 h ，由 BCDPPBDC VV   ， ∴ PMSS BCDPBD   3 1h3 1 ， 即 3)24 3(3 1h2 15 3 1 2  5 152h  ， 所以三棱锥 PBDC  的高为 5 152 。 ………… 12 分 z - 8 - 法二：由（1）知 ADBM  且 ABCDPM 平面 为为坐标原点，以向量以 MPMBMAM ,, x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角 坐标系。 );0,3,2();0,3,0();0,0,0( CBM );3,0,0();,0,1( POD  )0,3,1();3,0,1();0,0,2(  DBDPCB ………… 8 分 设平面 PBD 的一个法向量为 ),,( zyxn  0z3xn  DP 且 0y3xn DB 令 3x  ，得 ），，（ 1-1-3n  ……… 10 分 5 152 5 32 n nCBd  所以三棱锥的高为 5 152 ………… 12 分 19．（本小题 12 分） 解：（1） 4,6  yx …………2 分 8 1 8 22 2 1 8 24ˆ 1 8 6 4 49= 0.7356 8 6 688 i ii ii x y xy b x x            因为 4 0.7 6 0ˆˆ .2a y bx       , 所以回归直线方程为 0.7 .2ˆ 0y x  , ………… 5 分 当 14x  时, 6.92.0147.0ˆ y , 即利润约为 9.6 万元. ………… 6 分 （2）记 3 名成员的方案分别为 21,aa ； 21,bb ； 21,cc y x - 9 - 从中任选 2 个方案的基本事件含有： ),( 21 aa 、 ),( 11 ba 、 ),( 21 ba 、 ),( 11 ca 、 ),( 21 ca 、 ),( 12 ba 、 ),( 22 ba 、 ),( 12 ca 、 ),( 22 ca 、 ),( 21 bb 、 ),( 11 cb 、 ),( 21 cb 、 ),( 12 cb 、 ),( 22 cb 、 ),( 21 cc 共 15 种。 ………… 10 分 其中这 2 个方案出自同一个人的基本事件含有 ),( 21 aa 、 ),( 21 bb 、 ),( 21 cc ，共 3 种。  5 1 15 3 p 。 答：这 2 个方案出自同一个人的概率为 5 1 ………… 12 分 20．（本小题 12 分） 解：（1）设  ,P x y ，  0 0,M x y ，根据中点公式得 0 0 8 2 0 2 xx yy     ， 解得 0 0 2 8 2 x x y y     ………… 2 分 由 2 2 0 0 16x y  ，得   2 22 8 2 16x y   ∴点 P 的轨迹方程是 2 24 4x y   . ………… 5 分 （2）当切线在两坐标轴上截距均为 0 时，设切线 y kx ，由相切得 2 1 4 2   k k 3 3k ,所以切线方程为 xy 3 3 , …………8 分 当切线在两坐标轴上截距相等且不为 0 时，设切线  0x y a a   由相切有 224,2 2 4  aa ，切线方程为 224  yx ………… 11 分 综上：切线方程为 xy 3 3 或 224  yx . ………… 12 分 21．（本小题 12 分） 解：（1）设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     因为点 (1, 1)A 和 (2, 2)B  在圆上，圆 - 10 - 心C 在直线 : 1 0l x y   上， 所以 1 1 0 4 4 2 2 0 ( ) 1 02 2 D E F D E F D E                    ，解得 6,E 4,F 12D     ， …………3 分 所以圆的方程为 2 2 6 4 12 0x y x y     ，即   2 23 2 25x y    ………… 4 分 （2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h(h>0)，H 为 DE 的中点，连接 CH. 在△CDE 中，∵|DE|＝2 |CE|2－|CH|2＝2 225 h ， ∴△CDE 的面积为 S△CDE＝1 2|DE|·|CH|＝1 2·2 225 h ·h＝h· 225 h ……7 分 ∴S△CDE＝ )25( 22 hh  ≤ 2 25 2 25 22  hh ， 当且仅当 h2＝25－h2，即 h＝ 2 25 时等号成立， 此时△CDE 的面积取得最大值． ………9 分 ∵CH＝ 11 n23   |3－2＋n| 1＋1 ＝ 2 2 ·|n-1|＝h＝ 2 25 ， ∴|n-1|＝5，∴n＝-4 或 n=6,故存在 n＝-4 或 n=6，使得△CDE 的面积最大，最大 值为 2 25 ，此时直线 m 的方程为 y＝x-4 或 y＝x+6. ………… 12 分 22．（本小题 12 分） 解： （1）证明：在图甲中，易知 ,从而在图乙中有 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ………… 3 分 - 11 - （2）在图甲中，连 .AC EF O AEO CFO O EF AC  交 于 ，由 ，可得 为 、 中点 由勾股定理可得 ,AOE AC EF90   即 ，在图乙中有 , EFAO EF OC  1 1 1 1 1 , , 3. A EFD BCFE AO BCFE O A EFD AO OC       平面 平面 平面 ，C 平面 且 在图甲中， 3,BCOES S  四 形 四 形A O FD 1 1 1 1 1 1 3 3 2 23A EBCFD A EBOC C A OFDV V V         ………… 7 分 （3）方法一、由（1） 1 1 1 1/ / , / / ,A E D FC EB D FC A E EB E平面 同理 平面 又 ＝ 1 1 1 1/ / , .A EB D FC D FC B A EB C     平面 平面 二面角 的平面角与 的平面角互补 1 1 1 1 1 1 1 , , , , . A H EBCF A H EB EB EH EH A H H EB A EH EB EA A EH A EB C              平面 又 且 平面 为二面角 的平面角，记为   在图甲中， EH OH AO Rt A OH A H1 1 2 3 3 2 2, , 3,3 3 3     中 ， 1 2 3 8 12 2 5 153, cos .9 9 3 52 5 3 EA        所求角的余弦值为 15 5  ………… 12 分 方法二、 如图建立空间直角坐标系. - 12 - 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3(0,0, ), ( ,0,0), ( , 1,0), ( ,1,0), ( ,0,0)3 3 3 3 3 1 1 2 3 2 2 2 3 2( ,0, ) ( ,1, )2 2 3 3 3 3 A E C F G FD EA D         可得 记平面 1D FC 的一个法向量为 ( , , )n x y z 1 ( , , ) (0, 1,0) 0 3 2 3 2( , , ) ( ,1, ) 03 3 3 3 n GC x y z y n GD x y z x y z                     记 61, (1,0, ) (0,0,1)2x n EBCF m   ，又平面 的一个法向量为  …… 10 分 6(1,0, ) (0,0,1) 152cos , 561 0 14 n m           所求角的余弦值为 15 5  ………… 12 分