2020-2021学年福建省高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 2020-2021 学年高二上学期期中考试试卷 数学 命题人： 审核人：高二数学备课组 试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题在给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的) 1.抛物线 21 2y x 的焦点坐标是（ ） A． 0,1 B． 10 2      , C． 10, 4      D． 10, 8      2.已知 (2, 1,4), ( 1,1, 2), (7,5, )a b c m       ，若 , ,a b c    共面，则实数m 的值为 （ ） A． 60 7 B．14 C．12 D． 62 7 3.如图，在四面体O ABC 中， 1G 是 ABC 的重心，G 是 1OG 上的一点，且 12OG GG ，若OG xOA yOB zOC      ，则( , , )x y z 为（ ） A. 1 1 1( , , )2 2 2 B. 2 2 2( , , )3 3 3 C. 1 1 1( , , )3 3 3 D. 2 2 2( , , )9 9 9 4.在一平面直角坐标系中，已知  1,6A  ，  2, 6B  ，现沿 x 轴将坐标平面折成 60°的二面角，则折叠后 A， B 两点间的距离为（ ） A． 2 7 B． 41 C． 17 D．3 5 5.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物 线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线 的焦点.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点  3,1M 射 2 出，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM 的周 长为（ ） A． 71 2612  B．9 10 C． 83 2612  D．9 26 6.直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AB AC AA  ， 60BAC   ，则异面直线 1BA 和 1AC 所成角的余弦值为（ ） A． 3 2 B． 3 4 C． 1 4 D． 1 3 7.已知 F 是椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左焦点，经过原点O的直线l 与椭圆 E 交于 P ，Q 两点，若 3PF QF ，且 120PFQ   ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A． 7 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 3 2 8.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O，在斜平行光线的照射下，其阴影 为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心 O 为原点，设椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  ，篮球与地面的接触点为 H，则| |OH 的长为（ ） A． 6 2 B． 2 C． 3 2 D． 10 3 二．选择题(本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题在给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对 的得 3 分) 9.设 m，n 是空间两条不同直线， ，  是空间两个不同平面，则下列选项中正 确的是（ ） A．当 n⊥ 时，“n⊥  ”是“ ∥  ”成立的充要条件 3 B．当 时，“m⊥  ”是“  ”的充分不必要条件 C．当 时，“n// ”是“ ”必要不充分条件 D．当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件 10．已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y 是抛物线上两点，则 下列结论正确的是（ ） A．点 F 的坐标为 1,0 B．若 A， F ， B 三点共线，则 3OA OB    C．若直线OA与OB 的斜率之积为 1 4  ，则直线 AB 过点 F D．若 6AB  ，则 AB 的中点到 x 轴距离的最小值为 2 11.已知 1F 、 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，且 2 1 2 2bF F a  ，点 P 为双曲线右支一点，I 为 1 2PF F△ 的内心，若 1 2 1 2IPF IPF IF FS S Sl= +△ △ △ 成立，则下列结论正 确的有（ ） A．当 2PF x 轴时， 1 2 30PF F   B．离心率 1 5 2e  C． 5 1 2   D．点 I 的横坐标为定值 a 12.在如图所示的棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在侧面 1 1BCC B 所 在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ） A．若点 P 总满足 1PA BD ，则动点 P 的轨迹是一条直线 B．若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为2 的圆 4 C．若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D．若点 P 到直线 AD 与直线 1CC 的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线 二:填空题(本大题共有 4 个小题，每题 5 分，共 20 分) 13.已知命题 p： x R  ， 2 2 0x x a   ，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值 范围是______. 14.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线方程为 3y x ，若其右顶点到 这条渐近线的距离为 3 ，则双曲线方程为______． 15.设 A，B 分别是直线 y＝2x 和 y＝﹣2x 上的动点，满足|AB|＝4，则 A 的中点 M 的轨迹方程为_____． 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示 的鳖臑 P ABC 中，PA  平面 ABC ， 90ACB  ， 4CA  ， 2PA  ，D 为 AB 中点， E 为 PAC 内的动点（含边界），且 PC DE .①当 E 在 AC 上时， AE  ______；②点 E 的轨迹的长度为______. 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时要求写出必要的文字说明或推 演步骤．) 17.（本小题满分 10 分）已知命题 :p 实数t 满足 2 25 4 0t at a   ， :q 实数t 满足 曲线 2 2 12 6 x y t t    为双曲线. （1）若 1a  ，且 p 为假，求实数t 的取值范围； （2）若 0a  ，且q是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 5 18.（本小题满分 12 分）如图在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PD  底面 ABCD， E 是 AB 上一点， 2PD  ， 3 2AD  , 2CD  ， 1 2AE  ． (1) 求二面角 E PC D  的大小； (2) 求点 B 到平面 PEC 的距离． 19.（本小题满分 12 分）已知 F 是抛物线C ： 2 2y px ( 0)p  的焦点，点 A 在C 上， A 到 y 轴的距离比| |AF 小 1. （1）求C 的方程； （2）设直线 AF 与C 交于另一点 B ， M 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，| | | |DA DB .若 | | 6DM  ，求直线 AF 的斜率. 20.（本小题满分 12 分）正四棱锥 P ABCD 的底面正方形边长是 4，O 是 P 在 底面上的射影， 2 2PO  ，Q 是 AC 上的一点， ACAQ 4 1 ,过Q 且与 PA 、BD 都 平行的截面为五边形 EFGHL ． （1）在图中作出截面 EFGHL (写出作图过程）； （2）求该截面面积． 6 21.（本小题满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD，底面 ABCD为直角梯形， //BC AD ， 90ADC   ， 1 12BC CD AD   ，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与线段 PD ， PC 分别交于点G ， F ． （1）求证：GF PA ； （2）若 2PA PD  ，是否存在点G ，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正 弦值为 10 5 ，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由． 22.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 1 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b     的左右焦点是 1 2,F F ，且 1C 的离心率为 3 2 .抛物线  2 2 : 2 0C y px p  的焦点为 2F ，过 2OF 的中点Q 垂直 于 x 轴的直线截 2C 所得的弦长为 2 6 . （1）求椭圆 1C 的标准方程； （2）设椭圆 1C 上一动点T 满足： 2OT OA OB     ，其中 ,A B 是椭圆 1C 上的点， 且直线 ,OA OB 的斜率之积为 1 4  .若 ( , )N   为一动点，点 P 满足 1 2 1 2PQ F F  .试 探究 NP NQ 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 7 2020-2021 学年度上学期第一学段考试试卷 高二 数学 选修 2-1 二、选择题 BBDDD CAB ABD BCD BCD ABD 三、填空题 13.  , 1  14. 2 2 14 12 x y  15. 2 2 116 yx   16．2 2 5 5 三、解答题 17、解：（1） p 为假，∴ p 为真， 21, 5 4 0a t t     ， 解得  1,4t  ； （2） :p 由 2 25 4 0t at a   得( )( 4 ) 0t a t a   :q 由实数t 满足曲线 2 2 12 6 x y t t    为双曲线.得(2 )(6 ) 0t t   解之2 6t  由 0a  且( )( 4 ) 0t a t a   得， 4a t a  设  | 4A t a t a   ，  | 2 6B t t   ， 因为q是 p 的充分不必要条件，所以集合 B 是集合 A的真子集， 故有 0 2 4 6 a a a      ，得 3 22 a  . 18. （1）以 D 为原点，向量 DA  ， DC  ， DP  的方向分别为 x ， y ，轴的正方向 建立空间直角坐标系， ∴ 3 1, ,02 2E       ， 3 1, , 22 2PE        ， 3 3, ,02 2EC        ． 设平面 PEC 的一个法向量为  , ,n x y z ， 由 0n PE   ， 0n EC   ， 得 3 1 2 02 2 3 3 02 2 x y z x y        ，令 1y  ，则 3, 2x z  . 所以  3,1, 2n  ， 取平面 PCD的一个法向量为  1,0,0m  ， 8 设二面角 E PC D  的大小为 ，由图可知 为锐角. ∴ 2cos 2 m n m n         ，∴ 4   ， 即二面角 E PC D  的大小为 4  ． （2）由（1）知平面 PEC 的一个法向量为 ( 3,1, 2)n  ， 又 3 ,2,02B       ，∴ 30, ,02BE       ， ∴点 B 到平面 PEC 的距离 | | 6 4| | BE nd n      ． 19.（1）设C 的准线为l ，过 A 作 AH l 于 H ，则由抛物线定义，得| | | |AF AH ， 因为 A 到 F 的距离比到 y 轴的距离大 1，所以 12 p  ，解得 2p  ， 所以C 的方程为 2 4y x （2）由题意，设直线 AF 方程为 ( 1)y k x  ， 由 2 ( 1), 4 , y k x y x     消去 y ，得  2 2 2 22 4 0k x k x k    ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 2 2 2 4kx x k   ， 所以  1 2 1 2 42y y k x x k k      ， 又因为 M 为 AB 的中点，点 M 的坐标为 2 2 2 2,k k k      ， 9 直线 DM的方程为 2 2 2 1 2ky xk k k        ， 令 0y  ，得 2 23x k   ，点 D 的坐标为 2 23 ,0k     ， 所以 2 2 2 2 42 4 6DM k k         ， 解得 2 2k  ，所以直线 AF 的斜率为 2 . 20、解：（1）由题可知，Q 是 AC 上的一点，过Q 且与 PA 、 BD 都平行的截面为 五边形 EFGHL ，过Q 作 / /EL BD ，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 L ， 过Q 作 / /QG PA，交 PC 于点G ，再过点 E 作 / /EF PA，交 PB 于点 F ， 过点 L 作 / /HL PA交 PD 于点 H ，连接 , ,FG GH FH ， / /EF PA ， / /HL PA ， / /GQ PA， / / / /EF HL GQ ， 所以 , , , ,E F G H L 共面，Q平面 EFGHL ， / /EL BD ， EL  平面 EFGHL ， / /BD 平面 EFGHL ，同理 / /PA 平面 EFGHL . 所以过Q 且与 PA 、 BD 都平行的截面 EFGHL 如下图： （2）由题意可知， / /PA 截面 EFGHL ， / /BD 截面 EFGHL ， / / , / / , / /PA EF PA HL PA GQ ， / / , / /BD EL BD FH ， 而O是在底面上的射影， 2 2PO  ， PO  平面 ABCD， BD AC ， PO BD  ，且 AC BD O ，所以 BD  平面 PAC ，则 BD PA ， EF EL  ，又 / /FH BD ， P ABCD 为正四棱锥， 10 PH PF  ，故 PFG PHG△ △ ，于是GF GH ， 因此截面 EFGHL 是由两个全等的直角梯形组成， 因 / /EL BD ，则 AEL△ 为等腰直角三角形， 2 2 4PA PO OA   1 22EF PA   ，同理得， 3 34QG PA  ， 设截面 EFGHL 面积为 S ， 所以   (2 3)* 2 5 2S EF QG EQ     ， 所以截面 EFGHL 的面积为5 2 . 21、（1）证明： 1 2BC AD ，且 E 为线段 AD 的中点， BC DE  ， 又 //BC AD ，四边形 BCDE 为平行四边形， //BE CD ， 又CD 平面 PCD， BE  平面 PCD， //BE 平面 PCD， 又平面 BEGF 平面 PCD GF ， //BE GF ， 又 BE AD ，且平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ， BE  平面 PAD ， GF  平面 PAD ， 又 PA  平面 PAD ， GF PA  . （2）存在，G 为 DP 的靠近 D 点的三等分点． PA PD ， E 为线段 AD 的中点， PE AD∴ ， 又平面 PAD 平面 ABCD， PE  平面 ABCD， 以 E 为坐标原点， EA  的方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ， 则  0,0,1P ，  0,1,0B ，  0,0,0E ，  1,0,0D  ， 11 则  0,1, 1PB   ，  0, 1,0BE   ，  1,0,1DP  uuur ， 设 DG DP  ，得  1,0,G   ，  1,0,EG     uuur ， 设平面 BEGF 的法向量为  , ,n x y z ， 则 0, 0, BE n EG n           即   0, 1 0, y x z       令 x λ ，可得  ,0,1n    为平面 BEGF 的一个法向量， 设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为 ， 于是有  22 1 10sin cos , 52 1 n PBn PB n PB                 ； 得 1 3   或 1   （舍）， 所以存在点 2 1,0,3 3G    ，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 10 5 ，故 G 为 DP 的靠近 D 点的三等分点． 22.解：（1）抛物线 2 2 : 2C y px 的焦点为 2 ( ,0)2 pF ，∴ ( ,0)4 pQ 过Q 垂直于 x 轴的直线截 2 2y px 所得的弦长为 2 6 所以 2 6 2 4 pp  ，解得 2 3p  . 所以 2 ( 3,0)F 又∵椭圆 1C 的离心率为 3 2 ，∴ 2, 1a b  椭圆 1C 的方程为 2 2 14 x y  ，. （2）设 ( , )T x y ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则由 2OT OA OB     ， 得 1 22x x x   ， 1 22y y y   ∵点 , ,T A B 在椭圆 2 2 14 x y  上， ∴所以 2 2 1 14 4x y  ， 2 2 2 24 4x y  ， 2 24 4x y  12 故 2 2 2 2 1 2 1 24 ( 2 ) 4( 2 )x y x x y y        2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( 4 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) 4x y x y x x y y         . 设 ,OA OBk k 分别为直线 ,OA OB 的斜率，由题意知， 1 2 1 2 1 4OA OB y yk k x x     因此 1 2 1 24 0x x y y  所以 2 24 1   .. 所以 N 点是椭圆上 2 2 11 4    上的点，. ∵ 3( ,0)2Q ，又∵ 1 2 1 2PQ F F  ，∴ 3 ,02P      . ∴ ,P Q 恰为椭圆 2 2 11 4    的左、右焦点，由椭圆的定义， 2NP NQ  为定值.