2020-2021学年黑龙江省高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

1 黑龙江省 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的.) 1．已知点 M 的极坐标是 2, 6      ，它关于直线 2   的对称点坐标是（ ） A． 112, 6      B． 72, 6     C． 2, 6     D． 112, 6      2．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且椭圆 C 的离心率为 7 4 ，面积为 12 ，则椭圆 C 的方程为（ ）. A． 2 2 13 4 x y  B． 2 2 19 16 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 116 9 x y  3．下列结论错误的是（ ） A．命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0” B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件 C．命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题 D．命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 或 n≠0” 4．在极坐标系中，曲线 2sinC  ： 上的两点 A B， 对应的极角分别为 2 3 3  ， ，则弦长 AB 等于（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 5．已知椭圆 2 2 14 yx   和点 1 1( , )2 2A 、 1( ,1)2B ，若椭圆的某弦的中点在线段 AB 上，且 此弦所在直线的斜率为 k，则 k 的取值范围为（ ） 2 A． 2, 1  B． 4, 2  C． 4, 1  D． 11, 2      6．已知点 A 是曲线 2 2 13 x y  上任意一点，则点 A 到直线 sin( ) 66     的距离的最 大值是（ ） A． 6 2 B． 6 C． 3 62 D． 2 6 7．已知 M 是抛物线 2 4x y 上一点， F 为其焦点， C 为圆 2 2( 1) ( 2) 1x y    的圆心， 则| | | |MF MC 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知直线l 的参数方程为 2 2 2 2 x m t y t      （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos 3 sin 12     ，且曲线C 的左 焦点 F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点，则 FA FB 的值等于（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 9．已知点 F 是双曲线 2 2 2 2 =1x y a b  的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 作垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于G 、H 两点，若 GHE△ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值 范围是（ ） A． 1,+ B． 1,2 C． 21 2, D． 1,1 2 10．若动点 ( , )x y 在曲线 2 2 2 1( 0)4 x y bb    上变化，则 2 2x y 的最大值为（ ） A． 2 4 0 44 2 4 b b b b      „ B． 2 4 0 24 2 2 b b b b      … C． 2 44 b  D． 2b 11．已知点 ,A B 在抛物线 2y x 上且位于 x 轴的两侧， 2OA OB   （其中O 为坐标原点）， 则直线 AB 一定过点（ ） 3 A． (2,0) B． C． (0,2) D． 10, 2      12．设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的焦点为 1F ， 2F ， P 是椭圆上一点，且 1 2 3F PF   ， 若 1 2F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为 R ， r ，当 4R r 时，椭圆的离心率为（ ） A． 4 5 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 5 第 II 卷 非选择题部分（选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．) 13．已知点 P 的直角坐标按伸缩变换 ' 2 ' 3 x x y y   变换为点 '(6, 3)P  ，限定 0,0 2     时，点 P 的极坐标为_____________． 14．设 p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 m 的取值范围是_____． 15．有如下命题： ①“ 0a b  ”是“ 1 1 a b  ”成立的充分不必要条件； ② ，则 a a t b b t   ； ③ 5 5 2 3 3 2a b a b a b   对一切正实数 ,a b 均成立； ④“ 1a b  ”是“ 0a b  ”成立的必要非充分条件. 其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号） 16．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ，过 x 轴上点 P 的直线与双曲线的右支交于 M ，N 两点（ M 在第一象限），直线 MO 交双曲线左支于点 Q （O 为坐标原点），连接 QN .若 120MPO   ， 150MNQ   ，则该双曲线的渐近线方程为____ . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．) 17．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 : 4sinC   ，曲线 2 : 4cosC   .      02 1， 4 （1）求曲线 1C 与 2C 的直角坐标方程；（2）若直线 3C 的极坐标方程为  3 R   ，设 3C 与 1C 和 2C 的交点分别为 M，N（M，N 不与 O 重合），求 MN . 18．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，且椭圆 C 的右顶点到直线 2 0x y   的距离为 3. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点  2,0P ，且斜率为 1 2 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，求 OAB 的面积(O 为 坐标原点). 19．已知双曲线 2 2: 14 xC y  ， P 是C 上的任意点. （1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点 A 的坐标为 5,0 ，求 PA 的最小值. 20．在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 1 3 x t y t      (t 为参数)，曲线 2C 的参数方 程为 2 1 2 x m y m      ( m 为参数). （1）求曲线 1C ， 2C 的普通方程； （2）已知点 (2,1)M ，若曲线 1C ， 2C 交于 A ， B 两点，求 | |MA MB‖ ‖的值. 21．设抛物线  2: 2 0C y px p  ，F 为 C 的焦点，点  ,0AA x 为 x 轴正半轴上的动点， 直线 l 过点 A 且与 C 交于 P，Q 两点，点  ,0BB x 为异于点 A 的动点.当点 A 与点 F 重合且 直线 l 垂直于 x 轴时， 4PQ  . （1）求 C 的方程； （2）若直线 l 不垂直于坐标轴，且 PBA QBA   ，求证： A Bx x 为定值. 22．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）经过 ( )1,0A ，  0,B b 两点.O 为坐标原点，且 5 AOB 的面积为 2 4 .过点  0,1P 且斜率为 k（ 0k  ）的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交 点 M，N，且直线 AM ， AN 分别与 y 轴交于点 S，T. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （Ⅲ）设 PS PO  ， PT PO  ，求   的取值范围. 6 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 利用极坐标的意义作出极坐标点 M，再做出点 M 关于 2   的对称点 N，则可得出其极坐 标. 【详解】 解：作出极坐标是 2, 6      的点 M ，如图， 它关于直线 2   的对称点是 N，其极坐标为 2, 6      或 72, 6     ． 故选：B． 【点睛】 考查极坐标的概念，以及对称点的求法.题目较易. 2．D 【解析】 【分析】 利用已知条件列出方程组，求出 ,a b ，即可得到椭圆方程. 【详解】 7 由题意可得： 2 2 2 12 7 4 ab c a a b c        ，解得 4, 3a b  ， 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆方程为： 2 2 116 9 x y  ， 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积， 属于简单题目. 3．C 【解析】 【分析】 写出原命题的逆否命题，可判断 A ，根据充要条件的定义，可判断 B ；根据方程 2 0x x m   有实根 11 4 4m m    … … ，即可判断 C．写出原命题的否命题，可判 断 D ． 【详解】 解：命题“若 2 3 4 0x x   ，则 4x  ”的逆否命题为“若 4x  ，则 2 3 4 0x x   ”， 故 A 正确； “ 2 3 4 0x x   ”  “ 4x  或 1x  ”，故“ 4x  ”是“ 2 3 4 0x x   ”的充 分不必要条件，故 B 正确； 对于 C ，命题“若 0m  ，则方程 2 0x x m   有实根”的逆命题为命题“若方程 2 0x x m   有实根，则 0m  ，方程 2 0x x m   有实根时， 11 4 4m m    … … ， 故 C 错误． 命题“若 2 2 0m n  ，则 0m  且 0n  ”的否命题是“若 2 2 0m n  ．则 0m  或 0n  ”，故正确； 故选：C． 【点睛】 8 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识 点，属于中档题． 4．C 【解析】 【分析】 直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可. 【详解】 A､B 两点的极坐标分别为 23 33 3             ， ， ， ， 化为直角坐标为 3 3 2 2      ， ､ 3 3 2 2       ， ， 故 2 23 3 3 3( ) ( ) 32 2 2 2AB      . 故选：C. 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】 由题意设出椭圆 2 2 14 yx   的某弦的两个端点分别为 P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为 M （x0，y0），把 P、Q 的坐标代入椭圆方程，作差得到 PQ 的斜率与 AB 中点坐标的关系得答 案． 【详解】 设椭圆 2 2 14 yx   的某弦的两个端点分别为 P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为 M（x0，y0）， 则 2 2 1 1 14 yx   ， 2 2 2 2 14 yx   ， 两式作差可得： 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 y yx x    ， 9 即  1 2 01 2 1 2 1 2 0 0 0 144 4 22x x xy y x x y y y y y           ， 由题意可知， 1 2  y0≤1， ∴k 0 2 y   （ 1 2  y0≤1），则 k∈[﹣4，﹣2]． 故选 B． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】 先将直线 sin( ) 66     化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点 A 的坐 标，利用点到直线的距离求解. 【详解】 由直线 sin( ) 66     ，有 3 1sin cos 62 2         ，即 3 2 6 0y x   . 又点 A 是曲线 2 2 13 x y  上任意一点，设  3 cos ,sinA   则点 A 到直线 3 2 6 0y x   的距离为： 3sin 3 cos 2 6 3 1 d      6 sin 2 64 3 6 2 2       当sin 14       时取得等号. 故选：C 【点睛】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档 题. 7．B 【解析】 10 【分析】 设出抛物线的准线方程，问题求| | | |MF MC 的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在 抛物线上找一点 M ，使 M 到C 点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可 以求解出来． 【详解】 解：设抛物线 2 4x y 的准线方程为 : 1l y   ，C 为圆 2 2( 1) ( 2) 1x y    的圆心，所以 C 的坐标为 ( 1,2) ，过 M 作l 的垂线，垂足为 E ，根据抛物线的定义可知| | | |MF ME ， 所以问题求| | | |MF MC 的最小值，就转化为求| | | |MF MC 的最小值，由平面几何的知识 可知，当C ， M ， E 在一条直线上时，此时 CE l ，| | | |ME MC 有最小值，最小值为 2 ( 1) 3CE     ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用 抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题． 8．D 【解析】 【分析】 根据题意，将曲线C 的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得 m 的值，将 直线的参数方程与曲线C 的方程联立，可得 2 2 2 0t t   ，由一元二次方程根与系数的关 系计算可得答案； 【详解】 11 解：根据题意，曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos 3 sin 12     ， 则其标准方程为 2 2 112 4 x y  ，其左焦点为 ( 2 2,0) ， 直线l 过点 ( 2 2,0) ，其参数方程为 2 2 ( 2 2 x m t t y t      为参数）， 则 2 2m   ， 将直线l 的参数方程 22 2 2 2 2 x t y t       与曲线C 的方程 2 2 112 4 x y  联立， 得 2 2 2 0t t   ， 则 1 2| | | | | | 2FA FB t t  ． 故选：D 【点睛】 本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直 线的普通方程，属于中档题． 9．B 【解析】 【分析】 确定 45GEF   ，在直角 GEF△ 中得到 2 02 2a c +ac > ，即 2 2 ，所以 2 2