2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

1 湖北省部分重点中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。 2．所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的 1．已知点 (-3,2)A ， (0, 1)B  ，则直线 AB 的倾斜角为（ ） A． 030 B． 045 C． 0135 D． 0120 2.某工厂为了对 40 个零件进行抽样调查，将其编号为 00，01，…，38，39.现要从中选出 5 个，利用下面 的随机数表，从第一行第 3 列开始，由左至右依次读取，则选出来的第 5 个零件编号是（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A．36 B．16 C．11 D．14 3． ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 3A  , 4c  ， 2 6a  ，则角C =( ) A． 3 4  B． 4  C． 4  或 3 4  D． 3  或 2 3  4．已知 、 是平面,l m、 是直线,  且 =l  ，m  ，则“ m  ”是“ m l ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若圆 O1：x2＋y2＝5 与圆 O2：(x－m)2＋y2＝20 ( )m R 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相 垂直，则线段 AB 的长度是( ) A．2 B．4 C．5 D．10 6．已知直线 l： 2( 0, 0)x y a ba b     经过定点 (1,1)M ，则 3 2a b 的最小值是（ ） A． 3 2 2 2  B．5 2 6 C． 5 62  D．3 7．某学校随机抽查了本校 20 个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数第 7 题图 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 2 据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方 图如图所示，则原始的茎叶图可能是( ) A． B． C． D． 8．棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD 上(点 P 异于 A、D 两点)，线段 DD1 的中点为点 Q，若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP 长度的取值范围为（ ） A． 10 3      ， B． 1 12      ， C． 1[ ,1)3 D． 10 2      ， 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9．下列说法正确的是（ ） A．命题“ x R  ， 2 1x   ”的否定是“ 0x R ， 2 0 1x   ” B．命题“ 0 ( 3, )x    ， 2 0 9x  ”的否定是“ ( 3, )x    ， 2 9x  ” C．“ 0m  ”是“关于 x 的方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充分不必要条件 D．“ 5a  ”是命题“ 2, 0x R x ax a     ”为假命题的充分不必要条件 10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的是（ ） A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件 B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件 C．A 与 D 是互斥事件 D．C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 11．以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点 10,10 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 1 15 4 2y x   B．直线 xcosθ＋ 3 y＋2＝0 的倾斜角的范围是 50, [ , )6 6         C．曲线 2 2 1 2 0C : x y x   与曲线 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     恰有一条公切线，则 4m  D．设 P 是直线 2 0x y   上的动点，过 P 点作圆 O: 2 2 1x y  的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，则 经过 A ， P ，O 三点的圆必过两个定点。 12．正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 2，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，下列结论正确的是（ ） A．直线 PA 与 BC 、 PA 与 CD 所成的角相等 B．侧棱与底面所成角的正切值为 6 3 3 C．该四棱锥的体积为 4 3 D．该四棱锥的外接球的表面积为 25 3  第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量 x，y 之间的线性回归方程为 ˆ 0.7 10.3y x   ，且变 量 x，y 之间的相关数据如表所示，则 m 的值 为 ． 14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，甲获胜的概率是 1 5 ，则乙获胜的概率是 ． 15．直线 : 1l y x  与圆 C： 2 2 4 3 0x y y    交于 A、B 两点，则 ABC 的面积是__________. 16．已知锐角三角形 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .且 2 sinb a B ， 则cos sinB C 的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．(本题 10 分) （1）一条光线从点  6,4P 射出，与 x 轴相交于点  2,0Q ，经 x 轴反射后与 y 轴交于 点 H ，求反射光线QH 所在直线的方程． （2）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为 1，2，3，5， 6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 A  “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 B  “抽 取的两个小球标号之积大于 8”，求事件“ A B ”发生的概率． 18．某科研课题组通过一款手机 APP 软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周 跑量”），得到如下的频数分布表： 周跑量 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50)  55,50 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； （2）根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一 位小数）； （3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 周跑量 小于 20 公里 20 公里到 40 不小于 40 公 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单 2500 4000 4500 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 4 表),根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？ 19．某公司决定利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面积为 24 平方米，且背面靠墙的长方体形 状的储藏室.由于储藏室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：储藏室前面新建墙体的报价 为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 300 元，屋顶和地面以及其他报价共计 14400 元， 设屋子的左右两面墙的长度均为 x 米 1 5x  . （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与此储藏室的建造竞标，其给出的整体报价为  1800 1a x x  元 0a  ，若无论 左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围. 20．(本题 12 分)在 ABC 中,内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， , 已知 cos cos 1 sin sin sin A C A C B   . （1）求角 B 的取值范围； （2）若 7sin 4B  ，且 3 2BA BC   ，求| |BA BC  的值． 21．(本题 12 分)已知 ABC△ 中， AB BC ， 12BC  ， 24AB  ，分别取边 AB ， AC 的中点 D ，E ， 将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE△ 的位置，设点 M 为棱 1A D 的中点，点 P 为 1A B 的中点，棱 BC 上的点 N 满足 3BN NC . （1）求证： //MN 平面 1A EC ； （2）试探究在 ADE 的折起过程中，是否存在一个位 置，使得三棱锥 N PCE 的体积为 18，若存在，求出 二面角 1A DE C  的大小，若不存在，请说明理由. 22．(本题 12 分)已知点 ( 2 3,0),A  圆 2 2: 1O x y  ，点Q 是圆O 上的动点，点 A 关于点Q 的对称点为 点 P ，设点 P 的轨迹为  ，以 P 为圆心作圆与 x 轴相切于点 N 且与  相交于 B C、 两点． （1）求点 P 的轨迹  的方程； （2）证明：直线 BC 平分线段 PN ； （3）设直线 BC 与 PN 的交点为 M ，直线 10 3: 3l x  ， M 到l 的距离记为 d ，试探究 x 轴上是否存在 定点 E ，使得 | |ME d 为定值，若存在，求出定点坐标和该定值  ，若不存在，请说明理由． 5 湖北省部分重点中学联合考试 数学试题参考答案 一、选择题： 1.【答案】C 【解析】∵直线过点  -3,2A ，  0, 1B  ，∴ 2 1 -1-3 0ABk   ，设 AB 的倾斜角为 180  （0 ）, tan -1  , 135   ．故选 C． 2.【答案】C 【解析】从题中给的随机数表第一行第 3 列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次， 读到的小于 40 的编号分别为 36，33，26，16，11，故选：C. 3.【答案】B 【解析】由正弦定理， sin sin a c A C  ，所以 2sin 2C  ，又 a c ，则 A C ， 所以 4C = ，故选 B． 4.【答案】C 【解析】充分性：因为 l  ， m  ，所以 m l ，所以充分性满足； 必要性：因为  且 l   ， m  ， m l ，所以 m  ，所以必要性满足. 所以“ m  ”是“ m l ”的充要条件 故选 C 5.【答案】B 【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1．则 在 Rt△O2AO1 中，|O1A|= 5 |O2A|= 20 ，斜边上的高为半弦，用等积法易得： 5 5 202 AB    ⇒ |AB|=4．故答案为：B 6.【答案】C 【解析】由题意知 1 1 2a b   ， 1 1 1( ) 12 a b    ，且 a b， 是两个不同的正数，所以 1 1 13 2 ( )(3 2 )2a b a ba b     = 1 3 2 1 5(5 ) (5 2 6) 62 2 2 a b b a       ，当且仅当 3 2a b b a 时，等号成 立，故 3 2a b 的最小值是 5 62  .故选：C 7.【答案】B 【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间[0,5),[5,10) 内各有 0.01 20 5 1   个，答案 A 被 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 6 排除；在区间[10,15) 内有 0.04 20 5 4   个；在区间[15,20) 内有 0.02 20 5 2   个；在区间[20,25) 内 有 0.04 20 5 4   个；在区间[25,30),[30,35) 内各有 0.03 20 5 3   个，答案 C 被排除；在区间[35,40) 内有 0.02 20 5 2   个，答案 D 被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案 B． 8.【答案】D 【解析】如图所示：设平面当 BPQ 与直线 1CC 交于点 E ， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1(棱长为 1)中，因为平面 1 1 / /ADD A 平面 1 1BCC B ， 平面 BPQ I 平面 1 1ADD A PQ ，平面 BPQ I 平面 1 1BCC B BE ，所以 / /BE PQ ，所以 PDQ BCE  ，所以 PD BC DQ CE  ，所以 1 2 BCPD DQCE CE    ，若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则需点 E 在线段 1CC 之间，当 P 在 A 点时，E 为 1CC 的中点，因为点 P 在线段 AD 上(点 P 异于 A、D 两点)，则 1 12 CE  ，所以1 2 2CE  ， 所以 1 1 12 2CE   ，即 1 12 PD  ，所以 10 2AP  ，故选：D 二、选择题： 9.【答案】 BD 【解析】A.命题“ x R ， 2 1x   ”的否定是“ 0x R  ， 2 0 1x   ”，故错误； B.命题“ 0 ( 3, )x    ， 2 0 9x  ”的否定是“ ( 3, )x    ， 2 9x  ”，故正确； C. 关于 x 的方程 2 2 0x x m   有一正一负根 4 4 0 00 m mm      ，所以“ 0m  ”是“关于 x 的 方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充要条件，故错误 D.命题“ 2, 0x R x ax a     ”的否定“ 0x R  ， 2 0 0 0x ax a   ”为真命题，所以 2 4 0 0 4a a a a    或 ，故 5a  是命题“ 2, 0x R x ax a     ”为假命题的充分不必要条件. 故正确；故选：B D. 10.【答案】ABD 【解析】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B, “向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D, 在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确； 在 B 中, A 与 C 是互斥事件也是对立事件,故 B 正确； 7 在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误； 在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D 正确.故选：ABD. 11.【答案】B D 【解析】对于 A ，设  10 10y k x   ，所以横截距为 10 10k   ，纵截距为10 10k  ，所以  10 10 4 10 10kk     ，解得 1 4k   或 1k   ，所以直线方程为 y x  或 1 15 4 2y x   . A 错误； 对于 B ，由题知 k＝－ 3 3 cosθ，故 k∈ 3 3,3 3      ，当 k∈ 30, 3       时，直线倾斜角α∈ 0, 6      ，当 k∈ 3 ,03      时，直线倾斜角α∈ 5 ,6      ，故直线的倾斜角的范围是 0, 6      ∪ 5 ,6      . B 正确； 对于 C ，曲线 2 2 1 2 0C : x y x   化为标准式得， 2 2( 1) 1x y   ，曲线 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     化为标准式得， 2 2( 2) ( 4) 20 0x y m      所以，圆心距为 5，因为有一条公切线，所以两圆内切，即 20 1 5m   ，解得 16m   ，C 错误； 对于 D ，设点 ( , 2)P m m  ，根据切线的性质，可得 AO PA ，经过 , ,A P O 的三点的圆，即为以 PO 为 直径的圆，则圆的方程为    2 0x x m y y m     ，整理得 2 2( 2 ) ( ) 0x y y x y m     ，令 2 2 2 0 0 x y y x y        ，解得 0 0 x y    或 1 1 x y     ， 即经过 A，P，O 三点的圆必经过定点 (0,0),(1, 1) .D 正确，故选 BD 12.【答案】A D 【解析】连结 AC ， BD ，交于点O ，连结 PO ，取 AD 中点 E ，连结 OE 、 PE ，如下图所示： 对于 A，因为 //BC AD ，所以直线 PA 与 BC 所成角为 PAD ， 因为 //CD AB ，所以 PA 与CD 所成的角为 PAB ， ∵ PA PB PD  ， AB AD ，∴ PAD PAB   ， ∴直线 PA 与 BC 、 PA 与 CD 所成的角相等，故 A 正确； 对于 B，∵ PO  平面 ABCD ，∴ PAO 是侧棱与底面所成角， ∵ A 正四棱锥 P ABCD 中，底面边长为 2，侧面与底面所成二面角的大小为 60°， ∴ 2 21 1 2 2 22 2AO AC    ， 60PEO   ， 1OE  ， 2PE  ， 2 22 1 3PO    ， ∴侧棱与底面所成角的正切值为 3 6tan 22 PAO   ，故 B 错误； 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 8 对于 C，该四棱锥的体积为 1 1 4 32 2 3=3 3 3ABCDV S PO      正方形 ，故 C 错误； 对于 D，由题意可知正四凌锥 P ABCD 中外接球的球心在 PO 上， 设外接球的球心为 M ，连接 MC ，设该四棱锥的外接球半径为 R ， 在 Rt MOCV 中， , 3 , 2MC R OM R OC    , 由勾股定理，可得    2 22 3 2R R   ，解得 5 2 3 R  ， ∴该四棱锥的外接球的表面积为 2 254 3S R   ，故 D 正确.故选：A D. 三、填空题： 13.【答案】5 【解析】由表中数据可知， 6 8 10 12 94x     ， 6 3 2 11 4 4 m my      ， 根据样本中心点必在线性回归方程上，有 11 0.7 9 10.34 m     ，解得 5m  ，故填 5 14.【答案】 3 10 【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是 1 2 ，甲获胜的概率是 1 5 ，所以乙获胜的概率 1 1 31 5 2 10    ． 15.【答案】 1 2 【解析】圆C： 2 2( 2) 1x y   , (0,2)C 到直线 l 的距离 | 0 2 1| 2 22 d    , 22| | 2 1 ( ) 22AB    , 1 1 2 1| | 22 2 2 2ABCS AB d       16.【答案】 3 3,2 2       【解析】依题意 2 sinb a B ，由正弦定理得sin 2sin sinB A B ，所以 1sin 2A  ， 3cos 2A  由于三角形 ABC 是锐角三角形，所以 6A  .由 2 3 20 2 A B B B              ,所以 5cos sin cos sin 6B C B B       1 3 3 3cos cos sin cos sin2 2 2 2B B B B B     3sin 3B      由于 2 5 3 3 6B     ，所以 1 3sin ,3 2 2B             ，所以 3 33sin ,3 2 2B             .故填 3 3,2 2       四、解答题： 9 17.【答案】（1） 2y x   ；（2） 11 20 【解析】（1）作点  6,4P 关于轴的对称点的坐标  1 6, 4P  ， 则反射光线所在的直线过点 1P 和Q ，所以 1 4 0 16 2PQk     ， 所以反射光线 QH 的方程为  2y x   ，即 2y x   . ··················· 5 分 （2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件； “抽取的两个小球标号之和大于 5”包含的基本事件有： 1,5 ， 1,6 ， 2,5 ， 2,6 ， 3,3 ， 3,5 ，  3,6 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,5 ， 4,6 ，共11个基本事件； ·················· 7 分 “抽取的两个小球标号之积大于 8”包含的基本事件有： 2,5 ， 2,6 ， 3,3 ， 3,5 ， 3,6 ， 4,3 ，  4,5 ， 4,6 ，共8 个基本事件； ·················· 8 分 即事件 B 是事件 A 的子事件；所以事件 A B 包含的基本事件个数为11个， 所以事件 A B 发生的概率为 11 20 ． ··················· 10 分 18.【答案】（1）图见解析；（2）中位数约为 29.2，众数为32.5；（3）3720（元）. 【解析】（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： ··················· 4 分 （2）由频率分布直方图得样本的众数为 30 35 32.52   ， ··················· 5 分 由频率分布直方图得 10,25 的频率为 (0.02 0.024 0.026) 5 0.35    ，  25,30 的频率为 0.036 5 0.18  ，设样本的中位数为 x ，则  0.35 25 0.036 0.5x    ，解得 29.2x  ，∴样本的中位数约为 29.2. ··················· 8 分 （3）依题意知休闲跑者共有： (5 0.02 5 0.024) 1000 220     人， 核心跑者共有 (5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.030) 1000 680         人， 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 10 精英跑者共有1000 220 680 100   人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费 1 (220 2500 680 4000 100 4500) 37201000       （元）. ··················· 12 分 19.【答案】（1）当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 28800 元；（2） 0 12a  . 【解析】（1）甲工程队的总造价为 y 元， 则  24 163 300 2 400 14400 1800 14400 1 5y x x xx x                    ，···················3 分 16 161800 14400 1800 2 14400 28800x xx x            .当且仅当 16x x  ，即 4x  时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 28800 元. ···················5 分 （2）由题意可得，  1800 1161800 14400 a xx x x       对任意的  1,5x  恒成立. 即    24 1x a x x x   ，从而  24 1 x ax   恒成立， ··································9 分 令  1 2,6x t   ，    2 24 3 9 96 2 6 121 x ty t tx t t t            ，故 min 12y  . 所以 0 12a  . ··································12 分 20.【答案】（1） (0, ]3  ；（2） . 【解析】（1）因为 ··················· 2 分 所以 ,由正弦定理可得， ···················4 分 因为 ，所以 ，即 ········6 分 （2）因为 ，且 2b ac ，所以 B 不是最大角，所以 ． 所以 ，得 ，因而 ． ··················8 分 由余弦定理得 ，所以 ． ···················10 分 所以 即 · ·····12 分 21.【答案】(1)见解析;(2)30 150 或 . 【解析】（1）证明：取 1A E 中点 F ，连接 MF ，CF ∵ M 为棱 1A D 的中点，∴ //MF DE 且 1 2MF DE ，而 ABC 中， 11 D ， E 为边 AB ， AC 的中点，则 //DE BC ，且 1 2DE BC ，∴ //MF BC ，即 //MF NC 且 1 4MF BC NC  ，∴四边形 MFCN 为平行四边形，∴ //MN FC ∵ MN  平面 1A EC ， FC  平面 1A EC ∴ //MN 平面 1A EC ···················5 分 （2）在 ABC 中， // , ,DE BC AB BC DE AB   ；所以在立体图中， 1 ,DE A D DE BD  , 1A D BD D , 1A DB 是二面角 1A DE C  的平面角， ··················7 分 且 1DE A DB 平面 , DE BCED 平面 , DB BCDE 1平面A 平面 在面 1A DB 内作 PO BD 于O ,则 PO BCED 平面 ,∴ PO 为三棱锥 P NCE 的高. ·······9 分 1 1 3 12 182 2NCES NC BD      ， 1 1 18 183 3E PNC P NCE NCEV V PO S PO        ，∴ 3PO  ， 所以 1A 到 BD 的距离=6，当 1A DB 为锐角时， 1 6 1sin 12 2A DB   , 1 30A DB   ······11 分 符合要求的 ADE 的位置存在且二面角 1A DE C  的大小为 30 或150 ······12 分 22.【答案】（1） 2 2( 2 3) 4x y   ，（2）见详解，（3） (3 3,0)E ，定值 3 2   【 解 析 】（ 1 ） 设 ( , )P x y ， 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 2 3( , )2 2 x yQ  ， 由 于 点 Q 在 圆 O 上 ， 2 22 3( ) ( ) 12 2 x y   ，即 2 2( 2 3) 4x y   为  的方程．·······························2 分 （2）设 0 0( , )P x y ，圆 P 的方程为 2 2 2 0 0 0( ) ( )x x y y y    ，联立方程组 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 2 3) 4 ( ) ( ) x y x x y y y         ， 得直线 BC 的方程为 2 0 0 0(2 3 ) 4 02 xx x y y     ， ··············5 分 由 于 PN x 轴 ， 所 以 PN 的 中 点 坐 标 为 0 0( , )2 yx ， 将 其 代 入 BC 的 方 程 左 边 得 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1(2 3 ) 4 2 3 4 [( 2 3) ] 2 02 2 2 2 2 y x x yx x y x x y                即 PN 的 中 点 在直线 BC 上，所以 BC 平分 PN ． ··································7 分 （3）由（2）可知点 0 0( )2 yM x ，设存在定点 ( ,0)E t 满足要求， 2 2 2 2 20 0 0 10 3| | ( ) , | |4 3 yME x t d x     ， 设 | |ME d  为 常 数 ， 则 2 2 2 20 0 0 0 20 3 100( ) [ ]4 3 3 yx t x x     ， 2 2 0 04 ( 2 3)y x   ， 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误，)页，共 12页 12 2 2 2 2 2 0 0 80 3 400(3 4 ) [4 3 8 ] 4 8 03 3x t x t           对 0x 恒成立， ···········10 分 2 2 2 2 3 4 0 80 38 4 3 03 4004 8 03 t t                 ，解得 33 3, 2t   ， 故存在定点 (3 3,0),E 定值 3 2   满足要求。 ··································12 分