2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版
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2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

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资料简介
1 湖北省部分重点中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。 2.所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 3.答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的 1.已知点 (-3,2)A , (0, 1)B  ,则直线 AB 的倾斜角为( ) A. 030 B. 045 C. 0135 D. 0120 2.某工厂为了对 40 个零件进行抽样调查,将其编号为 00,01,…,38,39.现要从中选出 5 个,利用下面 的随机数表,从第一行第 3 列开始,由左至右依次读取,则选出来的第 5 个零件编号是( ) 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A.36 B.16 C.11 D.14 3. ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且 3A  , 4c  , 2 6a  ,则角C =( ) A. 3 4  B. 4  C. 4  或 3 4  D. 3  或 2 3  4.已知 、 是平面,l m、 是直线,  且 =l  ,m  ,则“ m  ”是“ m l ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若圆 O1:x2+y2=5 与圆 O2:(x-m)2+y2=20 ( )m R 相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相 垂直,则线段 AB 的长度是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 6.已知直线 l: 2( 0, 0)x y a ba b     经过定点 (1,1)M ,则 3 2a b 的最小值是( ) A. 3 2 2 2  B.5 2 6 C. 5 62  D.3 7.某学校随机抽查了本校 20 个学生,调查他们平均每天进行体育锻炼的时间(单位:min),根据所得数第 7 题图 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 2 据的茎叶图,以 5 为组距将数据分为 8 组,分别是[0,5),[5,10),…,[35,40],作出频率分布直方 图如图所示,则原始的茎叶图可能是( ) A. B. C. D. 8.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD 上(点 P 异于 A、D 两点),线段 DD1 的中点为点 Q,若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形,则线段 AP 长度的取值范围为( ) A. 10 3      , B. 1 12      , C. 1[ ,1)3 D. 10 2      , 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选 对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分 9.下列说法正确的是( ) A.命题“ x R  , 2 1x   ”的否定是“ 0x R , 2 0 1x   ” B.命题“ 0 ( 3, )x    , 2 0 9x  ”的否定是“ ( 3, )x    , 2 9x  ” C.“ 0m  ”是“关于 x 的方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充分不必要条件 D.“ 5a  ”是命题“ 2, 0x R x ax a     ”为假命题的充分不必要条件 10.抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A,B,C,D 判断正确的是( ) A.A 与 B 是互斥事件但不是对立事件 B.A 与 C 是互斥事件也是对立事件 C.A 与 D 是互斥事件 D.C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 11.以下四个命题为真命题的是( ) A.过点 10,10 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 1 15 4 2y x   B.直线 xcosθ+ 3 y+2=0 的倾斜角的范围是 50, [ , )6 6         C.曲线 2 2 1 2 0C : x y x   与曲线 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     恰有一条公切线,则 4m  D.设 P 是直线 2 0x y   上的动点,过 P 点作圆 O: 2 2 1x y  的切线 PA , PB ,切点为 A , B ,则 经过 A , P ,O 三点的圆必过两个定点。 12.正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 2,侧面与底面所成二面角的大小为 60°,下列结论正确的是( ) A.直线 PA 与 BC 、 PA 与 CD 所成的角相等 B.侧棱与底面所成角的正切值为 6 3 3 C.该四棱锥的体积为 4 3 D.该四棱锥的外接球的表面积为 25 3  第 II 卷(非选择题) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知在最小二乘法原理下,具有相关关系的变量 x,y 之间的线性回归方程为 ˆ 0.7 10.3y x   ,且变 量 x,y 之间的相关数据如表所示,则 m 的值 为 . 14.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 1 2 ,甲获胜的概率是 1 5 ,则乙获胜的概率是 . 15.直线 : 1l y x  与圆 C: 2 2 4 3 0x y y    交于 A、B 两点,则 ABC 的面积是__________. 16.已知锐角三角形 ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c .且 2 sinb a B , 则cos sinB C 的取值范围为__________. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本题 10 分) (1)一条光线从点  6,4P 射出,与 x 轴相交于点  2,0Q ,经 x 轴反射后与 y 轴交于 点 H ,求反射光线QH 所在直线的方程. (2)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为 1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为 1,2,3,5, 6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件 A  “抽取的两个小球标号之和大于5”,事件 B  “抽 取的两个小球标号之积大于 8”,求事件“ A B ”发生的概率. 18.某科研课题组通过一款手机 APP 软件,调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周 跑量”),得到如下的频数分布表: 周跑量 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50)  55,50 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图; (2)根据以上图表数据,试求样本的中位数及众数(保留一 位小数); (3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 周跑量 小于 20 公里 20 公里到 40 不小于 40 公 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格(单 2500 4000 4500 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 4 表),根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元? 19.某公司决定利用一侧原有墙体,建造一间墙高为 3 米,底面积为 24 平方米,且背面靠墙的长方体形 状的储藏室.由于储藏室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:储藏室前面新建墙体的报价 为每平方米 400 元,左右两面新建墙体报价为每平方米 300 元,屋顶和地面以及其他报价共计 14400 元, 设屋子的左右两面墙的长度均为 x 米 1 5x  . (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与此储藏室的建造竞标,其给出的整体报价为  1800 1a x x  元 0a  ,若无论 左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求 a 的取值范围. 20.(本题 12 分)在 ABC 中,内角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , , 已知 cos cos 1 sin sin sin A C A C B   . (1)求角 B 的取值范围; (2)若 7sin 4B  ,且 3 2BA BC   ,求| |BA BC  的值. 21.(本题 12 分)已知 ABC△ 中, AB BC , 12BC  , 24AB  ,分别取边 AB , AC 的中点 D ,E , 将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE△ 的位置,设点 M 为棱 1A D 的中点,点 P 为 1A B 的中点,棱 BC 上的点 N 满足 3BN NC . (1)求证: //MN 平面 1A EC ; (2)试探究在 ADE 的折起过程中,是否存在一个位 置,使得三棱锥 N PCE 的体积为 18,若存在,求出 二面角 1A DE C  的大小,若不存在,请说明理由. 22.(本题 12 分)已知点 ( 2 3,0),A  圆 2 2: 1O x y  ,点Q 是圆O 上的动点,点 A 关于点Q 的对称点为 点 P ,设点 P 的轨迹为  ,以 P 为圆心作圆与 x 轴相切于点 N 且与  相交于 B C、 两点. (1)求点 P 的轨迹  的方程; (2)证明:直线 BC 平分线段 PN ; (3)设直线 BC 与 PN 的交点为 M ,直线 10 3: 3l x  , M 到l 的距离记为 d ,试探究 x 轴上是否存在 定点 E ,使得 | |ME d 为定值,若存在,求出定点坐标和该定值  ,若不存在,请说明理由. 5 湖北省部分重点中学联合考试 数学试题参考答案 一、选择题: 1.【答案】C 【解析】∵直线过点  -3,2A ,  0, 1B  ,∴ 2 1 -1-3 0ABk   ,设 AB 的倾斜角为 180  (0 ), tan -1  , 135   .故选 C. 2.【答案】C 【解析】从题中给的随机数表第一行第 3 列开始从左往右开始读取,重复的数字只读一次, 读到的小于 40 的编号分别为 36,33,26,16,11,故选:C. 3.【答案】B 【解析】由正弦定理, sin sin a c A C  ,所以 2sin 2C  ,又 a c ,则 A C , 所以 4C = ,故选 B. 4.【答案】C 【解析】充分性:因为 l  , m  ,所以 m l ,所以充分性满足; 必要性:因为  且 l   , m  , m l ,所以 m  ,所以必要性满足. 所以“ m  ”是“ m l ”的充要条件 故选 C 5.【答案】B 【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直,且过对方圆心 O2O1.则 在 Rt△O2AO1 中,|O1A|= 5 |O2A|= 20 ,斜边上的高为半弦,用等积法易得: 5 5 202 AB    ⇒ |AB|=4.故答案为:B 6.【答案】C 【解析】由题意知 1 1 2a b   , 1 1 1( ) 12 a b    ,且 a b, 是两个不同的正数,所以 1 1 13 2 ( )(3 2 )2a b a ba b     = 1 3 2 1 5(5 ) (5 2 6) 62 2 2 a b b a       ,当且仅当 3 2a b b a 时,等号成 立,故 3 2a b 的最小值是 5 62  .故选:C 7.【答案】B 【解析】从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间[0,5),[5,10) 内各有 0.01 20 5 1   个,答案 A 被 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 6 排除;在区间[10,15) 内有 0.04 20 5 4   个;在区间[15,20) 内有 0.02 20 5 2   个;在区间[20,25) 内 有 0.04 20 5 4   个;在区间[25,30),[30,35) 内各有 0.03 20 5 3   个,答案 C 被排除;在区间[35,40) 内有 0.02 20 5 2   个,答案 D 被排除;依据这些数据信息可推知,应选答案 B. 8.【答案】D 【解析】如图所示:设平面当 BPQ 与直线 1CC 交于点 E , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1(棱长为 1)中,因为平面 1 1 / /ADD A 平面 1 1BCC B , 平面 BPQ I 平面 1 1ADD A PQ ,平面 BPQ I 平面 1 1BCC B BE ,所以 / /BE PQ ,所以 PDQ BCE  ,所以 PD BC DQ CE  ,所以 1 2 BCPD DQCE CE    ,若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形,则需点 E 在线段 1CC 之间,当 P 在 A 点时,E 为 1CC 的中点,因为点 P 在线段 AD 上(点 P 异于 A、D 两点),则 1 12 CE  ,所以1 2 2CE  , 所以 1 1 12 2CE   ,即 1 12 PD  ,所以 10 2AP  ,故选:D 二、选择题: 9.【答案】 BD 【解析】A.命题“ x R , 2 1x   ”的否定是“ 0x R  , 2 0 1x   ”,故错误; B.命题“ 0 ( 3, )x    , 2 0 9x  ”的否定是“ ( 3, )x    , 2 9x  ”,故正确; C. 关于 x 的方程 2 2 0x x m   有一正一负根 4 4 0 00 m mm      ,所以“ 0m  ”是“关于 x 的 方程 2 2 0x x m   有一正一负根”的充要条件,故错误 D.命题“ 2, 0x R x ax a     ”的否定“ 0x R  , 2 0 0 0x ax a   ”为真命题,所以 2 4 0 0 4a a a a    或 ,故 5a  是命题“ 2, 0x R x ax a     ”为假命题的充分不必要条件. 故正确;故选:B D. 10.【答案】ABD 【解析】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B, “向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D, 在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确; 在 B 中, A 与 C 是互斥事件也是对立事件,故 B 正确; 7 在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误; 在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D 正确.故选:ABD. 11.【答案】B D 【解析】对于 A ,设  10 10y k x   ,所以横截距为 10 10k   ,纵截距为10 10k  ,所以  10 10 4 10 10kk     ,解得 1 4k   或 1k   ,所以直线方程为 y x  或 1 15 4 2y x   . A 错误; 对于 B ,由题知 k=- 3 3 cosθ,故 k∈ 3 3,3 3      ,当 k∈ 30, 3       时,直线倾斜角α∈ 0, 6      ,当 k∈ 3 ,03      时,直线倾斜角α∈ 5 ,6      ,故直线的倾斜角的范围是 0, 6      ∪ 5 ,6      . B 正确; 对于 C ,曲线 2 2 1 2 0C : x y x   化为标准式得, 2 2( 1) 1x y   ,曲线 2 2 2 4 8 0C : x y x y m     化为标准式得, 2 2( 2) ( 4) 20 0x y m      所以,圆心距为 5,因为有一条公切线,所以两圆内切,即 20 1 5m   ,解得 16m   ,C 错误; 对于 D ,设点 ( , 2)P m m  ,根据切线的性质,可得 AO PA ,经过 , ,A P O 的三点的圆,即为以 PO 为 直径的圆,则圆的方程为    2 0x x m y y m     ,整理得 2 2( 2 ) ( ) 0x y y x y m     ,令 2 2 2 0 0 x y y x y        ,解得 0 0 x y    或 1 1 x y     , 即经过 A,P,O 三点的圆必经过定点 (0,0),(1, 1) .D 正确,故选 BD 12.【答案】A D 【解析】连结 AC , BD ,交于点O ,连结 PO ,取 AD 中点 E ,连结 OE 、 PE ,如下图所示: 对于 A,因为 //BC AD ,所以直线 PA 与 BC 所成角为 PAD , 因为 //CD AB ,所以 PA 与CD 所成的角为 PAB , ∵ PA PB PD  , AB AD ,∴ PAD PAB   , ∴直线 PA 与 BC 、 PA 与 CD 所成的角相等,故 A 正确; 对于 B,∵ PO  平面 ABCD ,∴ PAO 是侧棱与底面所成角, ∵ A 正四棱锥 P ABCD 中,底面边长为 2,侧面与底面所成二面角的大小为 60°, ∴ 2 21 1 2 2 22 2AO AC    , 60PEO   , 1OE  , 2PE  , 2 22 1 3PO    , ∴侧棱与底面所成角的正切值为 3 6tan 22 PAO   ,故 B 错误; 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 8 对于 C,该四棱锥的体积为 1 1 4 32 2 3=3 3 3ABCDV S PO      正方形 ,故 C 错误; 对于 D,由题意可知正四凌锥 P ABCD 中外接球的球心在 PO 上, 设外接球的球心为 M ,连接 MC ,设该四棱锥的外接球半径为 R , 在 Rt MOCV 中, , 3 , 2MC R OM R OC    , 由勾股定理,可得    2 22 3 2R R   ,解得 5 2 3 R  , ∴该四棱锥的外接球的表面积为 2 254 3S R   ,故 D 正确.故选:A D. 三、填空题: 13.【答案】5 【解析】由表中数据可知, 6 8 10 12 94x     , 6 3 2 11 4 4 m my      , 根据样本中心点必在线性回归方程上,有 11 0.7 9 10.34 m     ,解得 5m  ,故填 5 14.【答案】 3 10 【解析】因为甲、乙两人下成和棋的概率是 1 2 ,甲获胜的概率是 1 5 ,所以乙获胜的概率 1 1 31 5 2 10    . 15.【答案】 1 2 【解析】圆C: 2 2( 2) 1x y   , (0,2)C 到直线 l 的距离 | 0 2 1| 2 22 d    , 22| | 2 1 ( ) 22AB    , 1 1 2 1| | 22 2 2 2ABCS AB d       16.【答案】 3 3,2 2       【解析】依题意 2 sinb a B ,由正弦定理得sin 2sin sinB A B ,所以 1sin 2A  , 3cos 2A  由于三角形 ABC 是锐角三角形,所以 6A  .由 2 3 20 2 A B B B              ,所以 5cos sin cos sin 6B C B B       1 3 3 3cos cos sin cos sin2 2 2 2B B B B B     3sin 3B      由于 2 5 3 3 6B     ,所以 1 3sin ,3 2 2B             ,所以 3 33sin ,3 2 2B             .故填 3 3,2 2       四、解答题: 9 17.【答案】(1) 2y x   ;(2) 11 20 【解析】(1)作点  6,4P 关于轴的对称点的坐标  1 6, 4P  , 则反射光线所在的直线过点 1P 和Q ,所以 1 4 0 16 2PQk     , 所以反射光线 QH 的方程为  2y x   ,即 2y x   . ··················· 5 分 (2)由题意,从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球,共包含 20 个基本事件; “抽取的两个小球标号之和大于 5”包含的基本事件有: 1,5 , 1,6 , 2,5 , 2,6 , 3,3 , 3,5 ,  3,6 , 4,2 , 4,3 , 4,5 , 4,6 ,共11个基本事件; ·················· 7 分 “抽取的两个小球标号之积大于 8”包含的基本事件有: 2,5 , 2,6 , 3,3 , 3,5 , 3,6 , 4,3 ,  4,5 , 4,6 ,共8 个基本事件; ·················· 8 分 即事件 B 是事件 A 的子事件;所以事件 A B 包含的基本事件个数为11个, 所以事件 A B 发生的概率为 11 20 . ··················· 10 分 18.【答案】(1)图见解析;(2)中位数约为 29.2,众数为32.5;(3)3720(元). 【解析】(1)补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下: ··················· 4 分 (2)由频率分布直方图得样本的众数为 30 35 32.52   , ··················· 5 分 由频率分布直方图得 10,25 的频率为 (0.02 0.024 0.026) 5 0.35    ,  25,30 的频率为 0.036 5 0.18  ,设样本的中位数为 x ,则  0.35 25 0.036 0.5x    ,解得 29.2x  ,∴样本的中位数约为 29.2. ··················· 8 分 (3)依题意知休闲跑者共有: (5 0.02 5 0.024) 1000 220     人, 核心跑者共有 (5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.030) 1000 680         人, 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 10 精英跑者共有1000 220 680 100   人,∴估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费 1 (220 2500 680 4000 100 4500) 37201000       (元). ··················· 12 分 19.【答案】(1)当左右两侧墙的长度为 4 米时,甲工程队的报价最低为 28800 元;(2) 0 12a  . 【解析】(1)甲工程队的总造价为 y 元, 则  24 163 300 2 400 14400 1800 14400 1 5y x x xx x                    ,···················3 分 16 161800 14400 1800 2 14400 28800x xx x            .当且仅当 16x x  ,即 4x  时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为 4 米时,甲工程队的报价最低为 28800 元. ···················5 分 (2)由题意可得,  1800 1161800 14400 a xx x x       对任意的  1,5x  恒成立. 即    24 1x a x x x   ,从而  24 1 x ax   恒成立, ··································9 分 令  1 2,6x t   ,    2 24 3 9 96 2 6 121 x ty t tx t t t            ,故 min 12y  . 所以 0 12a  . ··································12 分 20.【答案】(1) (0, ]3  ;(2) . 【解析】(1)因为 ··················· 2 分 所以 ,由正弦定理可得, ···················4 分 因为 ,所以 ,即 ········6 分 (2)因为 ,且 2b ac ,所以 B 不是最大角,所以 . 所以 ,得 ,因而 . ··················8 分 由余弦定理得 ,所以 . ···················10 分 所以 即 · ·····12 分 21.【答案】(1)见解析;(2)30 150 或 . 【解析】(1)证明:取 1A E 中点 F ,连接 MF ,CF ∵ M 为棱 1A D 的中点,∴ //MF DE 且 1 2MF DE ,而 ABC 中, 11 D , E 为边 AB , AC 的中点,则 //DE BC ,且 1 2DE BC ,∴ //MF BC ,即 //MF NC 且 1 4MF BC NC  ,∴四边形 MFCN 为平行四边形,∴ //MN FC ∵ MN  平面 1A EC , FC  平面 1A EC ∴ //MN 平面 1A EC ···················5 分 (2)在 ABC 中, // , ,DE BC AB BC DE AB   ;所以在立体图中, 1 ,DE A D DE BD  , 1A D BD D , 1A DB 是二面角 1A DE C  的平面角, ··················7 分 且 1DE A DB 平面 , DE BCED 平面 , DB BCDE 1平面A 平面 在面 1A DB 内作 PO BD 于O ,则 PO BCED 平面 ,∴ PO 为三棱锥 P NCE 的高. ·······9 分 1 1 3 12 182 2NCES NC BD      , 1 1 18 183 3E PNC P NCE NCEV V PO S PO        ,∴ 3PO  , 所以 1A 到 BD 的距离=6,当 1A DB 为锐角时, 1 6 1sin 12 2A DB   , 1 30A DB   ······11 分 符合要求的 ADE 的位置存在且二面角 1A DE C  的大小为 30 或150 ······12 分 22.【答案】(1) 2 2( 2 3) 4x y   ,(2)见详解,(3) (3 3,0)E ,定值 3 2   【 解 析 】( 1 ) 设 ( , )P x y , 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 2 3( , )2 2 x yQ  , 由 于 点 Q 在 圆 O 上 , 2 22 3( ) ( ) 12 2 x y   ,即 2 2( 2 3) 4x y   为  的方程.·······························2 分 (2)设 0 0( , )P x y ,圆 P 的方程为 2 2 2 0 0 0( ) ( )x x y y y    ,联立方程组 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 2 3) 4 ( ) ( ) x y x x y y y         , 得直线 BC 的方程为 2 0 0 0(2 3 ) 4 02 xx x y y     , ··············5 分 由 于 PN x 轴 , 所 以 PN 的 中 点 坐 标 为 0 0( , )2 yx , 将 其 代 入 BC 的 方 程 左 边 得 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1(2 3 ) 4 2 3 4 [( 2 3) ] 2 02 2 2 2 2 y x x yx x y x x y                即 PN 的 中 点 在直线 BC 上,所以 BC 平分 PN . ··································7 分 (3)由(2)可知点 0 0( )2 yM x ,设存在定点 ( ,0)E t 满足要求, 2 2 2 2 20 0 0 10 3| | ( ) , | |4 3 yME x t d x     , 设 | |ME d  为 常 数 , 则 2 2 2 20 0 0 0 20 3 100( ) [ ]4 3 3 yx t x x     , 2 2 0 04 ( 2 3)y x   , 湖北省部分重点中学联合考试数学试题 第!语法错误,)页,共 12页 12 2 2 2 2 2 0 0 80 3 400(3 4 ) [4 3 8 ] 4 8 03 3x t x t           对 0x 恒成立, ···········10 分 2 2 2 2 3 4 0 80 38 4 3 03 4004 8 03 t t                 ,解得 33 3, 2t   , 故存在定点 (3 3,0),E 定值 3 2   满足要求。 ··································12 分

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