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2020-2021 学年湖南省永州市第一中学高二上学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．命题“若α= 4
，则 tanα=1”的逆否命题是( )
A．若α≠ 4
，则 tanα≠1 B．若α= 4
，则 tanα≠1
C．若 tanα≠1，则α≠ 4
D．若 tanα≠1，则α= 4
【答案】C
【解析】因为“若 p ，则 q”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若α= 4
，则 tanα=1”
的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠ 4
”.
【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析
问题的能力.
2．命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是
A．所有不能被 2 整除的数都是偶数
B．所有能被 2 整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被 2 整除的数是偶数
D．存在一个能被 2 整除的数不是偶数
【答案】D
【解析】试题分析：命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被 2
整除的数不是偶数”．故选 D．
【考点】命题的否定．
3．如果集合 ( , ) | ,U x y x y R R ， 2{ | }0A x y x y m （ ， ） ，
{ | 0}B x y x y n （ ， ） ，那么点 (2,3) UP A C B 的条件是（）.
A． 1 5m n ， B． 1 5m n ， C． 1 5m n ， D． 1 5m n ，
【答案】A
【解析】先求得 UC B ，由此求得 UA C B 满足的不等式组，将 P 点坐标代入上述不等
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式组，解不等式组求得 ,m n 的取值范围.
【详解】
依题意 , | 0UC B x y x y n ，所以 UA C B 满足的不等式组为
2 0
0
x y m
x y n
，由于 UP A C B ，故 4 3 0
2 3 0
m
n
，解得 1m ， 5n .
故选:A
【点睛】
本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关
系，属于基础题.
4．已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0, 0a b ）的离心率为 5
2
，则C 的渐近线方程
为（ ）
A． 1
4y x B． 1
3y x C． 1
2y x D． y x
【答案】C
【解析】根据离心率求出 ,a b 关系，求出 b
a
即可得出结果.
【详解】
由题知， 5
2
c
a
，即 5
4 =
2
2
c
a
=
2 2
2
a b
a
，
∴
2
2
b
a
= 1
4
，∴ b
a = 1
2
，
∴C 的渐近线方程为 1
2y x .
故选：C.
【点睛】
本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析
能力和计算能力，属于基础题.
5．如果不等式 1x a 成立的充分不必要条件是 1 3
2 2x ，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． 1 3
2 2a B． 1 3
2 2a C． 3
2a 或 1
2a D． 3
2a 或 1
2a
【答案】B
【解析】解不等式 1x a ，得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间的包含关
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系的对应关系，可得不等式组，则有
11 2
31 2
a
a
，（注：等号不同时成立），解可得答案
【详解】
解不等式 1x a ，得其解集， 1 1a x a ，由于
不等式 1x a 成立的充分不必要条件是 1 3
2 2x
则有
11 2
31 2
a
a
，（注：等号不同时成立）；
解得 1 3
2 2a
故选 B.
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，属于简单题
6．已知椭圆G ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的右焦点为 3,0F ，过点 F 的直线交椭圆
于 A ， B 两点.若 AB 的中点坐标为 1, 1 ，则G 的方程为（ ）
A．
2 2
145 36
x y B．
2 2
136 27
x y C．
2 2
127 18
x y D．
2 2
118 9
x y
【答案】D
【解析】先设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，代入椭圆方程，两式作差整理，得到
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
y y y yb
a x x x x
，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到 2 22a b ，根据
2 2 2a b c 且 3c ，即可求出结果.
【详解】
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
，
两式相减并化简得
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
y y y yb
a x x x x
，
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又过点 F 的直线交椭圆于 A ， B 两点， AB 的中点坐标为 1, 1 ，
所以 1 2
1 2
2
2
x x
y y
， 1 2
1 2
0 1
3 1AB
y y kx x
，
即 2 2
2 2
2 2
0 11 1 1 21 3 1 2 2
b b a ba a
，
由于 2 2 2a b c 且 3c ，由此可解得 2 18a ， 2 9b ，
故椭圆 E 的方程为
2 2
118 9
x y .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.
7．已知抛物线 C : 2 8y x 与点 2,2M ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于
A , B 两点，若 0MA MB ，则 k （ ）
A． 1
2 B． 2
2
C． 2 D． 2
【答案】D
【解析】可设直线 AB 的方程为 ( 2)y k x ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联立直线方程和抛
物线方程消去 y 后可得
2
1 2 2
4( 2)kx x k
， 1 2 4x x ，用 1 2,x x 表示 0MA MB ，再利
用前者化简可得所求的 k 的值.
【详解】
由题意知抛物线 C 的焦点坐标为 2,0 ，则直线 AB 的方程为 ( 2)y k x ，
将其代入 2 8y x ，得 2 2 2 24( 2) 4 0k x k x k .
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
2
1 2 2
4( 2)kx x k
， 1 2 4x x .
因为 0MA MB ，所以 1 1 2 2( 2, 2) ( 2, 2) 0x y x y .
整理得到 1 2 1 2( 2)( 2) ( 2)( 2) 0x x y y ，
即 1 2 1 2 1 2 1 22( ) 4 2( ) 4 0x x x x y y y y .
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因为 1 1 1 22 , 2y k x y k x ，
所以 • 0MA MB 等价于
2
1 2 1 2 1 2 1 22( ) 4 2 2 2 ( 04) 4x x x x k x x k x x
整理得到： 2 2
2 1
2
1 2+1 (+ 2 2 2 ) 4 8 8 0k x x x kk k x k ，
所以 2
22 2
2
4( 2)4 +1 + 4 82 4 02 2 kk k kkk k ，
整理得到： 2 4 4 0k k ，故 2k .
故选：D.
【点睛】
直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关
于 x 或 y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐
标的关系式，该关系中含有 1 2 1 2,x x x x 或 1 2 1 2,y y y y ，最后利用韦达定理把关系式转
化为关于参数的方程，从而可求参数的值.
8．已知椭圆
2 2
: 116 12
x yC ，圆 2 2: 3 2 0A x y x y ，P ，Q 分別为椭圆C 和
圆 A 上的点， ( 2,0)F ，则| | | |PQ PF 的最小值为 ( )
A． 3 24 2
B．8 3 2 C． 4 2 D．8 2
【答案】D
【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知圆 A 过椭圆右
焦点，利用椭圆定义转化，数形结合求解| | | |PQ PF 的最小值．
【详解】
解：由圆 2 2: 3 2 0A x y x y ，得 2 23 1 1( ) ( )2 2 2x y ．
作出椭圆C 与圆 A 的图象如图，
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( 2,0)F 为椭圆
2 2
: 116 12
x yC 的左焦点，设椭圆的右焦点为 (2,0)F ，
则| | | | | | 2 4 | | 8 (| | | |)PQ PF PQ PF PF PQ ，
圆 A 过点 F ，要使| | | |PQ PF 最小，则| | | |PF PQ 需要取最大值为圆的直径 2 ．
| | | |PQ PF 的最小值为8 2 ．
故选： D ．
【点睛】
本题考查圆与椭圆的综合题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，训练
了椭圆定义的应用，属于中档题．
二、多选题
9．关于双曲线
2 2
1 : 19 16
x yC 与双曲线
2 2
2 : 19 16
y xC ，下列说法正确的是（ ）.
A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等
【答案】CD
【解析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.
【详解】
双曲线 1C 的渐近线为： 4
3y x ，双曲线 2C 的渐近线方程为： 3
4y x= ± ，故 A 错误；
双曲线 1C 的顶点坐标为 ( 3,0)± ，双曲线 2C 的顶点坐标为 ( 4,0) ，故 B 错误；
双曲线 1C 的离心率
2
1 2
16 51 1 9 3
c be a a
，双曲线 2C 的离心率
2
2 2
9 51 1 16 4
c be a a
， 1 2e e ，故 C 正确；
双曲线 1C 的焦距 2c=10，双曲线 2C 的焦距 2c=10，故 D 正确.
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故选：CD．
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
10．已知 p ， q都是 r 的充分条件， s 是 r 的必要条件， q是 s 的必要条件，则（ ）
A． p 是 q的既不充分也不必要条件
B． p 是 s 的充分条件
C． r 是 q的必要不充分条件
D． s 是 q的充要条件
【答案】BD
【解析】由已知可得 p r s q ； q r s ，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：由已知得： p r s q ； q r s ．
p 是 q的充分条件； p 是 s 的充分条件； r 是 q的充要条件； s 是 q的充要条件．
正确的是 B、D．
故选：BD．
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对
称轴的方向射出.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，一束平行于 x 轴的光线 1l 从点
3,1M 射入，经过抛物线上的点 1 1,P x y 反射后，再经抛物线上另一点 2 2,Q x y 反
射后，沿直线 2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）
A． 1 2 1x x B． 4
3PQk
C． 25
4PQ D． 1l 与 2l 之间的距离为 4
【答案】ABC
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线 PQ 经过点 F ，于是根据二级结论
2
1 2 4
px x
可判断选项 A；
点 P 与 M 均在直线 1l 上，于是可求出点 P 的坐标，再结合
2
1 2 4
px x 可得点Q 的坐标，
然后利用斜率公式即可判断选项 B；
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根据抛物线的定义可知， 1 2PQ x x p ，可判断选项 C；
由于 1l 与 2l 平行，所以 1l 与 2l 之间的距离 1 2d y y ，可判断选项 D．
【详解】
如图所示，
由抛物线的光学性质可知，直线 PQ 过焦点 (1,0)F ，
2
1 2 14
px x ，即选项 A 正确；
由题意可得，点 P 的坐标为 (1 ,14 ) ，点Q 的坐标为 (4, 4) ，
4 1 4
1 34 4
PQk
，即选项 B 正确；
由抛物线的定义可知， 1 2
1 254 24 4PQ x x p ，即选项 C 正确；
1l 与 2l 平行，
1l 与 2l 之间的距离 1 2 5d y y ，即选项 D 错误；
故选：ABC
【点睛】
本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的
能力和作图分析问题的能力，属于中档题．
12．已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 1e ，椭
圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF 曲线 2C 和椭圆 1C 有相同焦点，且双曲线 2C 的
离心率为 2e ， P 为曲线 1C 与 2C 的一个公共点，若 1 2 3F PF ，则（ ）
A． 2
1
2e
e
B． 1 2
3
2e e C． 2 2
1 2
5
2e e D． 2 2
2 1 1e e
【答案】BD
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【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为：
2 2
2 2
1 1
1x y
a b
， 1 1, 0a b 半焦距为 c .根
据椭圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF
.可得 1 2 ,2F MF b c ，可得 1e ，设
1PF m ， 2PF n .利用定义可得： 12 , 2m n a m n a .可得
2 2( ) ( )
4
m n m nmn .在 1 2PF F 中，由余弦定理可得：
2 2 2 24 2 cos ( ) 33c m n mn m n mn ，代入化简利用离心率计算公式即可得
出.
【详解】
解：如图所示，设双曲线的标准方程为：
2 2
1 12 2
1 1
1 , 0x y a ba b
，半焦距为 c .
∵椭圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF
.
∴ 1 2 2F MF ，
∴b c ，∴ 2 22a c .
∴ 1
2
2
ce a
.
不妨设点 P 在第一象限，设 1PF m ， 2PF n .
∴ 2m n a ， 12m n a .
∴
2 2
2 2
1
( ) ( )
4
m n m nmn a a .
在 1 2PF F 中，由余弦定理可得：
2 2 2 2 2 2 2
14 2 cos ( ) 3 4 33c m n mn m n mn a a a
∴ 2 2 2
14 3c a a .
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两边同除以 2c ，得 2 2
1 2
1 34 e e
，解得： 2
3
2
e .
∴ 1 2
2 3 3
2 22
e e , 2 2
2 1 1e e .
故选：BD.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理
能力与计算能力，属于难题.
三、填空题
13．已知椭圆方程为 2 23 2 1x y ，则该椭圆的长轴长为______.
【答案】 2
【解析】先把椭圆的方程化为标准方程得 a 的值，即得解.
【详解】
由题得椭圆的方程为
2 2
2 1 21 , , 2 21 1 2 2
3 2
x y a a a ， .
所以椭圆的长轴长为 2 .
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．已知 : 5, : 2p a b q a 或 3b ，则 p 是 q 的_______条件（用“充要､充分不必
要､必要不充分､既不充分又不必要”条件填空）.
【答案】充分不必要
【解析】判断原命题的等价命题的真假，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】
命题若 5a b ，则 2a 或 3b 的逆否命题为：若 2a 且 3b ，则 5a b ，
显然由 2a 且 3b ，一定能推出 5a b ，但由 5a b 不一定能推出 2a 且
3b ，
所以 2a 且 3b 是 5a b 的充分不必要条件，因此 p 是 q 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】
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本题考查了充分不必要条件的判断，考查了等价命题的应用，属于基础题.
15．抛物线 2 2 0y px p 的焦点为 F，准线 L 与 x 轴交于点 M，若 N 为 L 上一点，
当 MNF 为等腰三角形， 2 2N F 时，则 p _______.
【答案】2
【解析】根据抛物线的方程求出焦点 F 的坐标和准线 L 的方程及 M 的坐标，根据 N 为
L 上一点且 MNF 为等腰三角形得到 MNF 为等腰直角三角形，根据勾股定理求出
MF 的长度即为 p 的值.
【详解】
解：根据抛物线方程得到焦点 ,02
pF
,
准线 L 的方程为
2
px ,
所以 ,02
pM ,则 MF p ,
又因为 MNF 为等腰三角形,
N 为 L 上一点得到 MNF 为等腰直角三角形,
即 MF MN ,
又斜边 2 2N F ,根据勾股定理求出 2MF ,
则 2p .
故答案为: 2
【点睛】
本题要求学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题.
16．如图所示，已知 A､B､C 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
上的三点，BC 过椭圆的
中心 O，且 , 2AC BC BC AC .则椭圆的离心率为_______.
【答案】 6
3
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【解析】由 B、C 关于原点的对称性，所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，由此可得 C 点
的横坐标，由 AC⊥BC 可求出 C 点的纵坐标，再由点 C 在椭圆上可求得 a、b、c 的一
个关系式，结合椭圆中 a2＝b2+c2，即可求出离心率．
【详解】
由|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，所以 C 点的横坐标为
2
a ，设 C（
2
a ，y），
由 AC⊥BC，则
2
2
4
ay ，又因为点 C 在椭圆上，代入椭圆方程得：
2
2 3a
b
，
所以
2 2
2
2 2
21 3
c be a a
，所以 e 6
3
，
故答案为： 6
3
．
【点睛】
本题考查椭圆的离心率的求解，求得点 C 坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．
四、解答题
17．已知 2: 8 20 0p x x , 2 2: 2 1 0 0q x x a a ,若 p 是 q 的充分而不必要．．．．．．
条件．．，求实数 a 的取值范围.
【答案】 0 3a
【解析】根据 p 是 q 的充分而不必要条件可得 p 对应的集合是 q对应的集合的真子集，
据此可求实数 a 的取值范围.
【详解】
不等式 2 8 20 0x x 的解集为 10 2{ | }A x x x 或 ，
因为 0a ，故不等式 2 22 1 0x x a 的解集为 1 1{ | }B x x a x a 或 ，
依题意， p q 且 q ¿ p ，故 A B ，
故
0
1 10
1 2
a
a
a
且等号不同时成立，解得： 0 3a ,
∴正实数 a 的取值范围是 0 3a .
【点睛】
（1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集；
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（3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含．
18．已知 DABC 的两个顶点 ,A B 的坐标分别是 5,0 5,0 ， ，且 ,AC BC 所在直线的
斜率之积等于 0m m ．
（Ⅰ）求点 C 的轨迹方程；
（Ⅱ）讨论点 C 的轨迹的形状．
【答案】(Ⅰ)
2 2
1( 5)25 25
x y xm
;(Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)设 ( , )C x y ，根据条件 ( 0)AC BCk k m m ，代入坐标整理即得 C 点的轨
迹方程;
(Ⅱ)根据上一问的结果
2 2
1( 5)25 25
x y xm
，分 0, 1, 1, 1 0m m m m
讨论 25 与 25m 的关系，得到轨迹的形状.
【详解】
解：(Ⅰ)设 ( , )C x y ，则由题知
5 5
y y mx x
，
即
2 2
1( 5)25 25
x y xm
为点C 的轨迹方程.
(Ⅱ)当 0m 时，点C 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线；
当 1m 时，点C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆；
当 1m 时，点C 的轨迹为圆心为(0,0)，半径为 5 的圆；
当 1 0m 时，点C 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆.
19．已知命题 :p 函数 2 2 4 32 2y x a a x a a 在[ 2, ) 上单调递增. :q 关于 x
的不等式 2 1 0ax ax 解集为 R，若 p q 假， p q 真，求实数 a 的取值范围.
【答案】 , 1 0,( 2 [4,] )
【解析】由二次函数的性质，求得命题 : 1p a 或 2a ，根据不等式式
2 1 0ax ax 的解集为 R ，求得命题 : 0 4q a ，再由 p q 假， p q 真，得到
命题 p 与 q 一真一假，分类讨论，即可求解.
【详解】
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由题意，函数 22 2 4 3 2 22 2y x a a x a a x a a a 在[ 2, ) 上单调
递增，可得其对称轴方程满足 2 2x a a ，即 2 2 0a a ，
解得 1a 或 2a ，故命题 : 1p a 或 2a ，
由不等式 2 1 0ax ax 的解集为 R ，
当 0a 时，不等式为1 0 的解集为 R ，符合题意；
当 0a 时，要使得 2 1 0ax ax 的解集为 R ，则满足 2
0
4 0
a
a a
，解得
0 4a ，故命题 : 0 4q a ，
因为 p q 假， p q 真，可得命题 p 与 q 一真一假，
当 p 真 q假时，可得 1 2
0 4
a a
a a
或
或 ，解得 1a 或 4a ；
当 p 假 q真时，可得 1 2
0 4
a
a
，解得 0 2a ，
综上可得，实数 a 的取值范围是 , 1 0,( 2 [4,] ) .
【点睛】
本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中正确求解命
题 p 和 q，结合复合命题的真值表，分类讨论列出不等式组是解答的关键，着重考查推
理与运算能力.
20．已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．
(1)若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离．
【答案】（1）8（2） 9
2
【解析】（1）由 y2＝6x，得准线方程、焦点 3 ,02F
，直线 l 的方程为
30 tan 60 2y x
，与抛物线方程联立可得 x2－5x＋ ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，则 x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段 AB 的长；
（2） 1 2 9AB p x x ，即可求线段 AB 的中点 M 到准线的距离．
【详解】
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(1)因为直线 l 的倾斜角为 60°，所以其斜率 k＝tan 60°＝ ．
又 F ，所以直线 l 的方程为 y＝ ．
联立 消去 y 得 x2－5x＋ ＝0．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3．又准线方程是 x＝－ ，
所以 M 到准线的距离为 3＋ ＝ ．
【点睛】
本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属
于中档题.
21．如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的点 2,1A 作斜率分别为 1k ，
2k 的直线，分别交抛物线 E 于 B ，C 两点.
（1）求抛物线 E 的标准方程和准线方程；
（2）若 1 2 1 2k k k k ，证明：直线 BC 恒过定点.
【答案】（1）抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ，准线方程为 1y ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设出抛物线的标准方程，将 A 点坐标代入，进而可求出抛物线 E 的标准
方程；利用准线的计算方法，即可求出准线方程；
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（2）求出直线 AB 和直线 AC 的方程，分别与抛物线方程联立，求出 B 点和C 点坐标，
利用斜率公式求出直线 BC 的斜率，利用点斜式方程写出直线 BC 的方程，并借助
1 2 1 2k k k k ，即可求得结果.
【详解】
（1）设抛物线 E 的标准方程为 2 2x py ， 0p ，
将 2,1A 代入得 4 2 1p ，解得 2p ，
所以抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ，准线方程为 1y .
（2）证明：因为直线 AB 过点 2,1A ，斜率为 1k ，
利用点斜式方程，可得直线 AB 的方程为 11 2y k x ，即 1 11 2y k x k ，
因为直线 AC 过点 2,1A ，斜率为 2k ，
利用点斜式方程，可得直线 AC 的方程为 21 2y k x ，即 2 21 2y k x k ，
联立
2
1 1
4
1 2
x y
y k x k
，消去 y 得 2
1 14 4 1 2 0x k x k ，.
解得 2x 或 14 2x k ，
因此点 2
1 14 2, 2 1B k k
同理可得 2
2 24 2, 2 1C k k .
于是直线 BC 的斜率
2 2
1 2
1 2
2 1 2 1
4 2 4 2
k kk k k
1 2 1 2
1 2
4 1
4
k k k k
k k
1 2 1k k ，又 1 2 1 2k k k k ，.
所以直线 BC 的方程为 2
2 1 2 22 1 1 4 2y k k k x k ，
即 1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 3y k k x k k k k x ，
故直线 BC 恒过定点 2, 3 .
【点睛】
本题考查利用抛物线上的点求抛物线的标准方程、抛物线的准线问题及抛物线中的直线
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过定点问题，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
22．已知 2,0P 为椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右顶点，点 M 在椭圆 C 的长轴上，
过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当点 M 与坐标原点 O 重合时，
直线 ,PA PB 的斜率之积为 1
4
．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若 2AM BM ，求 OAB 面积的最大值．
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）1．
【解析】（1）设 1 1 1 1, , ,A x y B x y ，表示出斜率，由题意 2a ，由此可求出答案；
（2）设直线 AB 的方程为： ( )0 ,( )2 2x ty m t m ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形的
面积，化简后结合基本不等式即可求出答案．
【详解】
解：（1）设 1 1 1 1, , ,A x y B x y ，则
2
1
2
1
1
4 4PA PB
yk k x
，
又
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，代入上式可得：
2
2
1
4
b
a
，
又 2a ，解得 1b ，
∴椭圆 C 的标准方程为：
2
2 14
x y ；
（2）设直线 AB 的方程为： ( )0 ,( )2 2x ty m t m ，
1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立 2 24 4
x ty m
x y
，化为： 2 2 24 2 4 0t y mty m ，
∴
2
1 2 1 22 2
2 4,4 4
mt my y y yt t
，
∵ 2AM MB ，∴ 1 22y y ，
∴ 1 2
2 1
5
2
y y
y y
，代入可得：
2
2
2
4 16
9 4
tm t
，
∴ OAB 的面积 1 2 2
1 3
2 2S m y y my ，
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∴
2 2 2
2 2 2
2 22 2 2 2
9 9 4 16 16 1694 4 9 4 4 9 4 9 4
t t tS m y t t t t
，
∴ 2
12 | | 12 149 4 9 | | | |
tS t t t
，当且仅当 2 4
9t 时取等号，
∴ OAB 面积的最大值为 1．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档
题．
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