2020-2021学年湖南省永州市第一中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

第 1 页 共 18 页 2020-2021 学年湖南省永州市第一中学高二上学期第一次月 考数学试题 一、单选题 1．命题“若α= 4  ，则 tanα=1”的逆否命题是( ) A．若α≠ 4  ，则 tanα≠1 B．若α= 4  ，则 tanα≠1 C．若 tanα≠1，则α≠ 4  D．若 tanα≠1，则α= 4  【答案】C 【解析】因为“若 p ，则 q”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若α= 4  ，则 tanα=1” 的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠ 4  ”. 【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析 问题的能力. 2．命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是 A．所有不能被 2 整除的数都是偶数 B．所有能被 2 整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D．存在一个能被 2 整除的数不是偶数 【答案】D 【解析】试题分析：命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被 2 整除的数不是偶数”．故选 D． 【考点】命题的否定． 3．如果集合  ( , ) | ,U x y x y  R R ， 2{ | }0A x y x y m   （ ， ） ， { | 0}B x y x y n   （ ， ） ，那么点 (2,3) UP A C B  的条件是（）. A． 1 5m n  ， B． 1 5m n  ， C． 1 5m n  ， D． 1 5m n  ， 【答案】A 【解析】先求得 UC B ，由此求得 UA C B 满足的不等式组，将 P 点坐标代入上述不等 第 2 页 共 18 页 式组，解不等式组求得 ,m n 的取值范围. 【详解】 依题意   , | 0UC B x y x y n    ，所以 UA C B 满足的不等式组为 2 0 0 x y m x y n        ，由于  UP A C B  ，故 4 3 0 2 3 0 m n        ，解得 1m   ， 5n  . 故选:A 【点睛】 本小题主要考查交集和补集的概念及运算，考查点与线性约束条件表示的区域的位置关 系，属于基础题. 4．已知双曲线 C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的离心率为 5 2 ，则C 的渐近线方程 为（ ） A． 1 4y x  B． 1 3y x  C． 1 2y x  D． y x  【答案】C 【解析】根据离心率求出 ,a b 关系，求出 b a 即可得出结果. 【详解】 由题知， 5 2 c a  ，即 5 4 = 2 2 c a = 2 2 2 a b a  ， ∴ 2 2 b a = 1 4 ，∴ b a = 1 2 ， ∴C 的渐近线方程为 1 2y x  . 故选：C. 【点睛】 本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析 能力和计算能力，属于基础题. 5．如果不等式 1x a  成立的充分不必要条件是 1 3 2 2x  ，则实数 a 的取值范围是 （ ） A． 1 3 2 2a  B． 1 3 2 2a  C． 3 2a  或 1 2a  D． 3 2a  或 1 2a  【答案】B 【解析】解不等式 1x a  ，得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间的包含关 第 3 页 共 18 页 系的对应关系，可得不等式组，则有 11 2 31 2 a a       ，（注：等号不同时成立），解可得答案 【详解】 解不等式 1x a  ，得其解集， 1 1a x a    ，由于 不等式 1x a  成立的充分不必要条件是 1 3 2 2x  则有 11 2 31 2 a a       ，（注：等号不同时成立）； 解得 1 3 2 2a  故选 B. 【点睛】 本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，属于简单题 6．已知椭圆G ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的右焦点为  3,0F ，过点 F 的直线交椭圆 于 A ， B 两点.若 AB 的中点坐标为 1, 1 ，则G 的方程为（ ） A． 2 2 145 36 x y  B． 2 2 136 27 x y  C． 2 2 127 18 x y  D． 2 2 118 9 x y  【答案】D 【解析】先设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，代入椭圆方程，两式作差整理，得到 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y yb a x x x x      ，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到 2 22a b ，根据 2 2 2a b c  且 3c  ，即可求出结果. 【详解】 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b       ， 两式相减并化简得 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y yb a x x x x      ， 第 4 页 共 18 页 又过点 F 的直线交椭圆于 A ， B 两点， AB 的中点坐标为 1, 1 ， 所以 1 2 1 2 2 2 x x y y       ，  1 2 1 2 0 1 3 1AB y y kx x      ， 即  2 2 2 2 2 2 0 11 1 1 21 3 1 2 2 b b a ba a           ， 由于 2 2 2a b c  且 3c  ，由此可解得 2 18a  ， 2 9b  ， 故椭圆 E 的方程为 2 2 118 9 x y  . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型. 7．已知抛物线 C : 2 8y x 与点  2,2M  ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A , B 两点，若 0MA MB   ，则 k  （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D． 2 【答案】D 【解析】可设直线 AB 的方程为 ( 2)y k x  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联立直线方程和抛 物线方程消去 y 后可得 2 1 2 2 4( 2)kx x k   ， 1 2 4x x  ，用 1 2,x x 表示 0MA MB   ，再利 用前者化简可得所求的 k 的值. 【详解】 由题意知抛物线 C 的焦点坐标为  2,0 ，则直线 AB 的方程为 ( 2)y k x  ， 将其代入 2 8y x ，得 2 2 2 24( 2) 4 0k x k x k    . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 2 4( 2)kx x k   ， 1 2 4x x  . 因为 0MA MB   ，所以 1 1 2 2( 2, 2) ( 2, 2) 0x y x y      . 整理得到 1 2 1 2( 2)( 2) ( 2)( 2) 0x x y y      ， 即 1 2 1 2 1 2 1 22( ) 4 2( ) 4 0x x x x y y y y        . 第 5 页 共 18 页 因为    1 1 1 22 , 2y k x y k x    ， 所以 • 0MA MB   等价于   2 1 2 1 2 1 2 1 22( ) 4 2 2 2 ( 04) 4x x x x k x x k x x           整理得到：   2 2 2 1 2 1 2+1 (+ 2 2 2 ) 4 8 8 0k x x x kk k x k     ， 所以     2 22 2 2 4( 2)4 +1 + 4 82 4 02 2 kk k kkk k      ， 整理得到： 2 4 4 0k k   ，故 2k  . 故选：D. 【点睛】 直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关 于 x 或 y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐 标的关系式，该关系中含有 1 2 1 2,x x x x 或 1 2 1 2,y y y y ，最后利用韦达定理把关系式转 化为关于参数的方程，从而可求参数的值. 8．已知椭圆 2 2 : 116 12 x yC   ，圆 2 2: 3 2 0A x y x y     ，P ，Q 分別为椭圆C 和 圆 A 上的点， ( 2,0)F  ，则| | | |PQ PF 的最小值为 ( ) A． 3 24 2  B．8 3 2 C． 4 2 D．8 2 【答案】D 【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，可知圆 A 过椭圆右 焦点，利用椭圆定义转化，数形结合求解| | | |PQ PF 的最小值． 【详解】 解：由圆 2 2: 3 2 0A x y x y     ，得 2 23 1 1( ) ( )2 2 2x y    ． 作出椭圆C 与圆 A 的图象如图， 第 6 页 共 18 页 ( 2,0)F  为椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的左焦点，设椭圆的右焦点为 (2,0)F ， 则| | | | | | 2 4 | | 8 (| | | |)PQ PF PQ PF PF PQ          ， 圆 A 过点 F ，要使| | | |PQ PF 最小，则| | | |PF PQ  需要取最大值为圆的直径 2 ． | | | |PQ PF  的最小值为8 2 ． 故选： D ． 【点睛】 本题考查圆与椭圆的综合题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，训练 了椭圆定义的应用，属于中档题． 二、多选题 9．关于双曲线 2 2 1 : 19 16 x yC   与双曲线 2 2 2 : 19 16 y xC    ，下列说法正确的是（ ）. A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 【答案】CD 【解析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可. 【详解】 双曲线 1C 的渐近线为： 4 3y x  ，双曲线 2C 的渐近线方程为： 3 4y x= ± ，故 A 错误； 双曲线 1C 的顶点坐标为 ( 3,0)± ，双曲线 2C 的顶点坐标为 ( 4,0) ，故 B 错误； 双曲线 1C 的离心率 2 1 2 16 51 1 9 3 c be a a       ，双曲线 2C 的离心率 2 2 2 9 51 1 16 4 c be a a       ， 1 2e e ，故 C 正确； 双曲线 1C 的焦距 2c=10，双曲线 2C 的焦距 2c=10，故 D 正确. 第 7 页 共 18 页 故选：CD． 【点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 10．已知 p ， q都是 r 的充分条件， s 是 r 的必要条件， q是 s 的必要条件，则（ ） A． p 是 q的既不充分也不必要条件 B． p 是 s 的充分条件 C． r 是 q的必要不充分条件 D． s 是 q的充要条件 【答案】BD 【解析】由已知可得 p r s q   ； q r s  ，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】 解：由已知得： p r s q   ； q r s  ． p 是 q的充分条件； p 是 s 的充分条件； r 是 q的充要条件； s 是 q的充要条件． 正确的是 B、D． 故选：BD． 【点睛】 本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题． 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对 称轴的方向射出.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，一束平行于 x 轴的光线 1l 从点  3,1M 射入，经过抛物线上的点  1 1,P x y 反射后，再经抛物线上另一点  2 2,Q x y 反 射后，沿直线 2l 射出，则下列结论中正确的是（ ） A． 1 2 1x x B． 4 3PQk   C． 25 4PQ  D． 1l 与 2l 之间的距离为 4 【答案】ABC 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线 PQ 经过点 F ，于是根据二级结论 2 1 2 4 px x  可判断选项 A； 点 P 与 M 均在直线 1l 上，于是可求出点 P 的坐标，再结合 2 1 2 4 px x  可得点Q 的坐标， 然后利用斜率公式即可判断选项 B； 第 8 页 共 18 页 根据抛物线的定义可知， 1 2PQ x x p   ，可判断选项 C； 由于 1l 与 2l 平行，所以 1l 与 2l 之间的距离 1 2d y y  ，可判断选项 D． 【详解】 如图所示， 由抛物线的光学性质可知，直线 PQ 过焦点 (1,0)F ， 2 1 2 14 px x   ，即选项 A 正确； 由题意可得，点 P 的坐标为 (1 ,14 ) ，点Q 的坐标为 (4, 4) ，  4 1 4 1 34 4 PQk      ，即选项 B 正确； 由抛物线的定义可知， 1 2 1 254 24 4PQ x x p       ，即选项 C 正确； 1l 与 2l 平行， 1l 与 2l 之间的距离 1 2 5d y y   ，即选项 D 错误； 故选：ABC 【点睛】 本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的 能力和作图分析问题的能力，属于中档题． 12．已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 1e ，椭 圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF   曲线 2C 和椭圆 1C 有相同焦点，且双曲线 2C 的 离心率为 2e ， P 为曲线 1C 与 2C 的一个公共点，若 1 2 3F PF   ，则（ ） A． 2 1 2e e  B． 1 2 3 2e e  C． 2 2 1 2 5 2e e  D． 2 2 2 1 1e e  【答案】BD 第 9 页 共 18 页 【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为： 2 2 2 2 1 1 1x y a b   ，  1 1, 0a b  半焦距为 c .根 据椭圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF   .可得 1 2 ,2F MF b c   ，可得 1e ，设 1PF m ， 2PF n .利用定义可得： 12 , 2m n a m n a    .可得 2 2( ) ( ) 4 m n m nmn    .在 1 2PF F 中，由余弦定理可得： 2 2 2 24 2 cos ( ) 33c m n mn m n mn      ，代入化简利用离心率计算公式即可得 出. 【详解】 解：如图所示，设双曲线的标准方程为：   2 2 1 12 2 1 1 1 , 0x y a ba b    ，半焦距为 c . ∵椭圆 1C 的上顶点为 M ，且 1 2 0MF MF   . ∴ 1 2 2F MF   ， ∴b c ，∴ 2 22a c . ∴ 1 2 2 ce a   . 不妨设点 P 在第一象限，设 1PF m ， 2PF n . ∴ 2m n a  ， 12m n a  . ∴ 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 4 m n m nmn a a     . 在 1 2PF F 中，由余弦定理可得：  2 2 2 2 2 2 2 14 2 cos ( ) 3 4 33c m n mn m n mn a a a         ∴ 2 2 2 14 3c a a  . 第 10 页 共 18 页 两边同除以 2c ，得 2 2 1 2 1 34 e e   ，解得： 2 3 2 e  . ∴ 1 2 2 3 3 2 22 e e    , 2 2 2 1 1e e  . 故选：BD. 【点睛】 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理 能力与计算能力，属于难题. 三、填空题 13．已知椭圆方程为 2 23 2 1x y  ，则该椭圆的长轴长为______. 【答案】 2 【解析】先把椭圆的方程化为标准方程得 a 的值，即得解. 【详解】 由题得椭圆的方程为 2 2 2 1 21 , , 2 21 1 2 2 3 2 x y a a a       ， . 所以椭圆的长轴长为 2 . 【点睛】 本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．已知 : 5, : 2p a b q a   或 3b  ，则 p 是 q 的_______条件（用“充要､充分不必 要､必要不充分､既不充分又不必要”条件填空）. 【答案】充分不必要 【解析】判断原命题的等价命题的真假，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】 命题若 5a b  ，则 2a  或 3b  的逆否命题为：若 2a  且 3b  ，则 5a b  ， 显然由 2a  且 3b  ，一定能推出 5a b  ，但由 5a b  不一定能推出 2a  且 3b  ， 所以 2a  且 3b  是 5a b  的充分不必要条件，因此 p 是 q 的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【点睛】 第 11 页 共 18 页 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了等价命题的应用，属于基础题. 15．抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F，准线 L 与 x 轴交于点 M，若 N 为 L 上一点， 当 MNF 为等腰三角形， 2 2N F  时，则 p  _______. 【答案】2 【解析】根据抛物线的方程求出焦点 F 的坐标和准线 L 的方程及 M 的坐标，根据 N 为 L 上一点且 MNF 为等腰三角形得到 MNF 为等腰直角三角形，根据勾股定理求出 MF 的长度即为 p 的值. 【详解】 解：根据抛物线方程得到焦点 ,02 pF      , 准线 L 的方程为 2 px   , 所以 ,02 pM     ,则 MF p , 又因为 MNF 为等腰三角形, N 为 L 上一点得到 MNF 为等腰直角三角形, 即 MF MN , 又斜边 2 2N F  ,根据勾股定理求出 2MF  , 则 2p  . 故答案为: 2 【点睛】 本题要求学生掌握抛物线的简单性质，灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题. 16．如图所示，已知 A､B､C 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     上的三点，BC 过椭圆的 中心 O，且 , 2AC BC BC AC  .则椭圆的离心率为_______. 【答案】 6 3 第 12 页 共 18 页 【解析】由 B、C 关于原点的对称性，所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，由此可得 C 点 的横坐标，由 AC⊥BC 可求出 C 点的纵坐标，再由点 C 在椭圆上可求得 a、b、c 的一 个关系式，结合椭圆中 a2＝b2+c2，即可求出离心率． 【详解】 由|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|，所以 C 点的横坐标为 2 a ，设 C（ 2 a ，y）， 由 AC⊥BC，则 2 2 4 ay  ，又因为点 C 在椭圆上，代入椭圆方程得： 2 2 3a b  ， 所以 2 2 2 2 2 21 3 c be a a     ，所以 e 6 3  ， 故答案为： 6 3 ． 【点睛】 本题考查椭圆的离心率的求解，求得点 C 坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力． 四、解答题 17．已知 2: 8 20 0p x x   ,  2 2: 2 1 0 0q x x a a     ,若 p 是 q 的充分而不必要．．．．．． 条件．．，求实数 a 的取值范围. 【答案】 0 3a  【解析】根据 p 是 q 的充分而不必要条件可得 p 对应的集合是 q对应的集合的真子集， 据此可求实数 a 的取值范围. 【详解】 不等式 2 8 20 0x x   的解集为 10 2{ | }A x x x   或 ， 因为 0a  ，故不等式 2 22 1 0x x a    的解集为 1 1{ | }B x x a x a    或 ， 依题意， p q 且 q ¿ p ，故 A  B ， 故 0 1 10 1 2 a a a         且等号不同时成立，解得： 0 3a  , ∴正实数 a 的取值范围是 0 3a  . 【点睛】 （1）若 p 是 q的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集； （2） p 是 q的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q对应集合的真子集； 第 13 页 共 18 页 （3） p 是 q的充分必要条件，则 p 对应集合与 q对应集合相等； （4） p 是 q的既不充分又不必要条件， q对的集合与 p 对应集合互不包含． 18．已知 DABC 的两个顶点 ,A B 的坐标分别是    5,0 5,0 ， ，且 ,AC BC 所在直线的 斜率之积等于  0m m  ． （Ⅰ）求点 C 的轨迹方程； （Ⅱ）讨论点 C 的轨迹的形状． 【答案】(Ⅰ) 2 2 1( 5)25 25 x y xm     ;(Ⅱ)详见解析. 【解析】(Ⅰ)设 ( , )C x y ，根据条件 ( 0)AC BCk k m m   ，代入坐标整理即得 C 点的轨 迹方程; (Ⅱ)根据上一问的结果 2 2 1( 5)25 25 x y xm     ，分 0, 1, 1, 1 0m m m m        讨论 25 与 25m 的关系，得到轨迹的形状. 【详解】 解：(Ⅰ)设 ( , )C x y ，则由题知 5 5 y y mx x    ， 即 2 2 1( 5)25 25 x y xm     为点C 的轨迹方程. (Ⅱ)当 0m  时，点C 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线； 当 1m   时，点C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆； 当 1m   时，点C 的轨迹为圆心为(0,0)，半径为 5 的圆； 当 1 0m   时，点C 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆. 19．已知命题 :p 函数  2 2 4 32 2y x a a x a a     在[ 2, )  上单调递增. :q 关于 x 的不等式 2 1 0ax ax   解集为 R，若 p q 假， p q 真，求实数 a 的取值范围. 【答案】  , 1 0,( 2 [4,] )     【解析】由二次函数的性质，求得命题 : 1p a   或 2a  ，根据不等式式 2 1 0ax ax   的解集为 R ，求得命题 : 0 4q a  ，再由 p q 假， p q 真，得到 命题 p 与 q 一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】 第 14 页 共 18 页 由题意，函数     22 2 4 3 2 22 2y x a a x a a x a a a           在[ 2, )  上单调 递增，可得其对称轴方程满足  2 2x a a     ，即 2 2 0a a   ， 解得 1a   或 2a  ，故命题 : 1p a   或 2a  ， 由不等式 2 1 0ax ax   的解集为 R ， 当 0a  时，不等式为1 0 的解集为 R ，符合题意； 当 0a  时，要使得 2 1 0ax ax   的解集为 R ，则满足 2 0 4 0 a a a      ，解得 0 4a  ，故命题 : 0 4q a  ， 因为 p q 假， p q 真，可得命题 p 与 q 一真一假， 当 p 真 q假时，可得 1 2 0 4 a a a a       或 或 ，解得 1a   或 4a  ； 当 p 假 q真时，可得 1 2 0 4 a a       ，解得 0 2a  ， 综上可得，实数 a 的取值范围是  , 1 0,( 2 [4,] )     . 【点睛】 本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中正确求解命 题 p 和 q，结合复合命题的真值表，分类讨论列出不等式组是解答的关键，着重考查推 理与运算能力. 20．已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点． (1)若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离． 【答案】（1）8（2） 9 2 【解析】（1）由 y2＝6x，得准线方程、焦点 3 ,02F      ，直线 l 的方程为 30 tan 60 2y x       ，与抛物线方程联立可得 x2－5x＋ ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段 AB 的长； （2） 1 2 9AB p x x    ，即可求线段 AB 的中点 M 到准线的距离． 【详解】 第 15 页 共 18 页 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60°，所以其斜率 k＝tan 60°＝ ． 又 F ，所以直线 l 的方程为 y＝ ． 联立 消去 y 得 x2－5x＋ ＝0．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3．又准线方程是 x＝－ ， 所以 M 到准线的距离为 3＋ ＝ ． 【点睛】 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属 于中档题. 21．如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的点  2,1A 作斜率分别为 1k ， 2k 的直线，分别交抛物线 E 于 B ，C 两点. （1）求抛物线 E 的标准方程和准线方程； （2）若 1 2 1 2k k k k  ，证明：直线 BC 恒过定点. 【答案】（1）抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ，准线方程为 1y   ；（2）证明见解析. 【解析】（1）设出抛物线的标准方程，将 A 点坐标代入，进而可求出抛物线 E 的标准 方程；利用准线的计算方法，即可求出准线方程； 第 16 页 共 18 页 （2）求出直线 AB 和直线 AC 的方程，分别与抛物线方程联立，求出 B 点和C 点坐标， 利用斜率公式求出直线 BC 的斜率，利用点斜式方程写出直线 BC 的方程，并借助 1 2 1 2k k k k  ，即可求得结果. 【详解】 （1）设抛物线 E 的标准方程为 2 2x py ， 0p  ， 将  2,1A 代入得 4 2 1p  ，解得 2p  ， 所以抛物线 E 的标准方程为 2 4x y ，准线方程为 1y   . （2）证明：因为直线 AB 过点  2,1A ，斜率为 1k ， 利用点斜式方程，可得直线 AB 的方程为  11 2y k x   ，即 1 11 2y k x k   ， 因为直线 AC 过点  2,1A ，斜率为 2k ， 利用点斜式方程，可得直线 AC 的方程为  21 2y k x   ，即 2 21 2y k x k   ， 联立 2 1 1 4 1 2 x y y k x k       ，消去 y 得  2 1 14 4 1 2 0x k x k    ，. 解得 2x  或 14 2x k  ， 因此点   2 1 14 2, 2 1B k k  同理可得   2 2 24 2, 2 1C k k  . 于是直线 BC 的斜率         2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 2 4 2 k kk k k            1 2 1 2 1 2 4 1 4 k k k k k k     1 2 1k k   ，又 1 2 1 2k k k k  ，. 所以直线 BC 的方程为      2 2 1 2 22 1 1 4 2y k k k x k         ， 即     1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 3y k k x k k k k x        ， 故直线 BC 恒过定点  2, 3 . 【点睛】 本题考查利用抛物线上的点求抛物线的标准方程、抛物线的准线问题及抛物线中的直线 第 17 页 共 18 页 过定点问题，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 22．已知  2,0P 为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右顶点，点 M 在椭圆 C 的长轴上， 过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，当点 M 与坐标原点 O 重合时， 直线 ,PA PB 的斜率之积为 1 4  ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 2AM BM  ，求 OAB 面积的最大值． 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）1． 【解析】（1）设    1 1 1 1, , ,A x y B x y  ，表示出斜率，由题意 2a  ，由此可求出答案； （2）设直线 AB 的方程为： ( )0 ,( )2 2x ty m t m      ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形的 面积，化简后结合基本不等式即可求出答案． 【详解】 解：（1）设    1 1 1 1, , ,A x y B x y  ，则 2 1 2 1 1 4 4PA PB yk k x     ， 又 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ，代入上式可得： 2 2 1 4 b a    ， 又 2a  ，解得 1b  ， ∴椭圆 C 的标准方程为： 2 2 14 x y  ； （2）设直线 AB 的方程为： ( )0 ,( )2 2x ty m t m      ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立 2 24 4 x ty m x y      ，化为： 2 2 24 2 4 0t y mty m     ， ∴ 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 mt my y y yt t      ， ∵ 2AM MB  ，∴ 1 22y y  ， ∴ 1 2 2 1 5 2 y y y y    ，代入可得： 2 2 2 4 16 9 4 tm t   ， ∴ OAB 的面积  1 2 2 1 3 2 2S m y y my   ， 第 18 页 共 18 页 ∴      2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 9 9 4 16 16 1694 4 9 4 4 9 4 9 4 t t tS m y t t t t           ， ∴ 2 12 | | 12 149 4 9 | | | | tS t t t     ，当且仅当 2 4 9t  时取等号， ∴ OAB 面积的最大值为 1． 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档 题．