2020-2021学年黑龙江省高二10月月考数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 17 页 2020-2021 学年黑龙江省高二 10 月月考数 学（理）试题 一、单选题 1．已知圆的方程为 2 2 4 1x y x   ，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ） A．(2，0)，5 B．(2，0)， 5 C．(2，0)， 3 D．(0，2)， 3 【答案】B 【解析】把圆方程配方成标准方程后可得． 【详解】 由题意圆的标准方程是 2 2( 2) 5x y   ，圆心坐标是 (2,0) ，半径是 5 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程． 2．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线平行于直线 : 2 5 0l x y   ，则双 曲线的离心率为（ ） A． 1 2 B． 6 2 C． 3 2 D． 5 2 【答案】D 【解析】由渐近线平行于直线 : 2 5 0l x y   可得两直线斜率相等，即可求出离心率. 【详解】 因为一条渐近线平行于直线 : 2 5 0l x y   ，可知两直线斜率相等， 由题知双曲线的一条渐近线方程为 1 2y x  ，则 1 2 b a    ， 2 2 2 2 2 2 11 4 b c a ea a      ， 5 2e  . 故选：D． 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 3．已知点 P 是椭圆 E : 2 2 125 16 x y  上第一象限的一点， M ， N 分别是圆 第 2 页 共 17 页  2 23 4x y   和 2 23 1x y   上的点，则 PM PN 的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的几何意义，椭圆上的点到两 个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半 径即可求解. 【详解】 点 P 是椭圆 E : 2 2 125 16 x y  上第一象限的一点，则点 P 在两圆的外部， 由题可得两圆圆心坐标是 ( 3,0),(3,0) ，恰是椭圆的两个焦点，设 1 2( 3,0), (3,0)F F ， 1 2 10PF PF  ，两圆的半径为 2，1， 所以  1 2 1 2min 2 1 3 7PM PN PF PF PF PF         . 故选：B 【点睛】 此题考查椭圆的定义及几何性质，同时也考查了圆的几何性质，圆外一点到圆上距离的 最值问题. 4．双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 A． 2y x  B． 3y x  C． 2 2y x  D． 3 2y x  【答案】A 【解析】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线 方程，得结果. 详解： 2 2 2 2 2 23, 1 3 1 2, 2,c b c a be ea a a a            因为渐近线方程为 by xa   ，所以渐近线方程为 2y x  ，选 A. 第 3 页 共 17 页 点睛：已知双曲线方程 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    求渐近线方程： 2 2 2 2 0x y by xa b a      . 5．若直线 0x y  与圆   2 21 2x m y   相切，则 m  （ ） A．1 B． 1 C． 1 或 3 D． 3 或 1 【答案】D 【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解． 【详解】 由题意，圆心坐标为 ( ,1)m ，半径为 2 ， 因为直线 0x y  与圆   2 21 2x m y   相切， 所以，圆心到直线的距离等于半径， 所以 1 2 2 m  ，解得 1m  或 3m   ． 故选：D． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线． 6．已知线段 PQ 的中点为 (0,4)M ，若点 P 在直线 2 0x y   上运动，则点Q 的轨 迹方程是 A．. 6 0x y   B． 6 0x y   C． 2 0x y   D． 2 0x y   【答案】A 【解析】设出 Q（x，y），P 点坐标为（x1，y1），利用中点坐标公式把 P 点坐标用 Q 点 坐标表示，然后代入直线 x+y-2=0 整理后即可得到点 Q 的轨迹方程． 【详解】 设 Q（x，y），P 点坐标为（x1，y1）， ∵线段 PQ 的中点为 M（0，4）， ∴x1=-x，y1=8-y， ∵点 P 在直线 x+y-2=0 上运动， 第 4 页 共 17 页 ∴x1+y1-2=0， ∴-x+8-y-2=0，即 x+y-6=0， 故选 A． 【点睛】 本题考查轨迹方程，考查了代入法求曲线方程，是中档题． 7．若圆 2 2 2:( ) ( )C x a y a a    被直线 : 2 0  l x y 分成的两段弧之比是1:3 ， 则满足条件的圆C （ ） A．有 1 个 B．有 2 个 C．有 3 个 D．有 4 个 【答案】B 【解析】由题,可得 90ACB   ,则圆心到直线的距离为 2 a ,求解即可得到 a 的解得个 数,即为满足条件的圆C 的个数 【详解】 由题,设直线 : 2 0  l x y 与圆 2 2 2:( ) ( )C x a y a a    的交点为 A , B , 因为将圆分成的两段弧之比是1:3 ,则 90ACB   ,设圆心C 到直线的距离为 d , 因为圆心为 ,a a ,半径为 a , 则   2 1 1 2 2 a a ard       ,即 2a ,故 2a   故选 B 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查运算能力 8．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，准线为l ，点 A 在准线l 上，做 PA l ，与抛物 线交于点 P ，且 P 在第一象限，| | 4PF  ，则直线 PF 的倾斜角等于（ ） A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  【答案】B 【解析】由焦半径 PF 求出 P 点坐标，然后可求得直线斜率后得倾斜角． 【详解】 由已知抛物线的焦点为 (1,0)F ，准线方程为 1x   ， 设 ( , )P x y ，则 1 4PF PA x    ， 3x  ， 2 4 3y   ，∵ 0y  （ P 在第一象限）， 第 5 页 共 17 页 ∴ 2 3y  ，即 (3,2 3)P ，∴ 2 3 33 1PFk   ，倾斜角为 3  ． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查抛物线的焦半径公式，把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即 可得焦半径． 9．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点为 F ，点 A ， B 是椭圆C 上关于原点 O 对称的两个点，且| | | |AO AF ， 0FA FB   ，则椭圆C 的离心率为（ ） A． 3 1 B． 2 3 C． 2 2 D． 2 3 【答案】A 【解析】由 0FA FB   得 90AFB  ，将左焦点与 A、B 连接起来，由椭圆的对称 性可得四边形 1 2AF BF 为矩形，| | | |AO AF ，可得 a ， c 的关系，进而求出离心率. 【详解】 因为 0FA FB   ，所以 90AFB  ， 因为| | | |AO AF ，所以| | 2 | |AB AF ，故 30ABF  ， 设椭圆C 的左焦点为 1F ，根据椭圆的性质，四边形 1AF BF 为平行四边形， 且 90AFB  ，所以四边形 1AF BF 为矩形， 在直角三角形 1AF F 中， 1 30AF F   ， 1 3AF c ，| |AF c ， 根据椭圆的定义， 1 | | 2AF AF a  ，即 3 2c c a  ， 则椭圆C 的离心率 3 1ce a    . 故选：A. 【点睛】 本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题. 第 6 页 共 17 页 10．已知椭圆   2 2 2: 1 09 x yC bb    的右焦点为 F ，以C 上点 M 为圆心的圆与 x 轴相 切于点 F ，并与 y 轴交于 A ， B 两点.若 4FA FB   ，则C 的焦距为（ ） A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 4 【答案】C 【解析】首先得出圆的 M 的方程 2 2 2 222 03 bx y cx y c     ，令 0x  结合韦达定 理得到 1 2y y ，按照向量数量积的坐标运算代入得到关于 c 的方程解出即可. 【详解】 设 (c,0)F ，则 2 ( , )3 bM c ， 圆 M 的方程为 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )3 3 b bx c y    ， 即 2 2 2 222 03 bx y cx y c     ， 令 0x  ，得 2 2 22 03 by y c   ， 当   时， 2 1 2y y c . 设 1(0, )A y ， 2(0, )B y ， 则 1( , )FA c y  ， 2( , )FB c y  ，则 2 2 1 2 2 4FA FB c y y c      ， 所以 2 2c  ，解得 2c  ，所以焦距为 2 2 2c  ， 故选：C. 【点睛】 本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等基础知识，考查 数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性. 第 7 页 共 17 页 11．设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左焦点为 F ，直线 4 3 20 0x y   过点 F 且 与C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点，| | | |OP OF ，则C 的离心率为( ) A．5 B． 5 C． 5 3 D． 5 4 【答案】A 【解析】根据直线 4 3 20 0x y   过点 F 可先求得 5c  ,再画图分析可知 2PFF△ 为 直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】 因为直线 4 3 20 0x y   与 x 轴的交点为  5,0F  ,故半焦距为 5c  . 设双曲线C 的右焦点为  2 5,0F ,连接 2PF ,根据 OP OF 可得 2PFF△ 为直角三角 形, 如图,过O 作OA垂直于直线 4 3 20 0x y   ,垂足为 A ,则易知OA为 2PFF△ 的中位 线. 又O 到直线 4 3 20 0x y   的距离 2 2 20 4 4 3 d    ,所以 2 2 8PF d  , 2 2 2 2 6PF FF PF   , 故结合双曲线的定义可知 2 2 2PF PF a   ,所以 1a  . 故离心率 5c a  . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据 题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题. 12．已知斜率为 ( 0)k k  的直线l 过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点 F ，与抛物线C 第 8 页 共 17 页 交于 A ， B 两点，又直线 l 与圆 2 2 23 04x y py p    交于C ， D 两点.若 | | 4 | |AB CD ，则 k 的值为（ ） A． 3 B． 2 C． 2 D． 2 2 【答案】A 【解析】写出直线l 方程为 2 py kx  与抛物线方程联立方程组，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，方程组消元后求得 1 2x x ，由点 ,A B 在直线上求得 1 2y y （也 可消去 x ，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式 1 2AB y y p   表示出弦长 AB ，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是 p ，则 2CD p ，代入已知条件可求得 k ． 【详解】 抛物线的焦点为 (0, )2 pF ，直线l 方程为 2 py kx  ， 由 2 2 2 py kx x py      得 2 22 0x pkx p   ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 2x x pk  ， 又 1 1 2 py kx  ， 2 2 2 py kx  ，∴ 2 1 2 1 2( ) 2y y k x x p pk p      ， ∴ 2 1 2 2 2AB y y p pk p     ， 圆 2 2 23 04x y py p    的标准方程是 2 2 2( )2 px y p   ，圆心为 (0, )2 pF ，半径为 p ， ∴ 2CD p ， ∵| | 4 | |AB CD ，∴ 22 2 4 2pk p p   ，解得 3k   ，∵ 0k  ，∴ 3k  ． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查抛物线的焦点弦长公式，由直线方程与抛物线方程联立消元后求得 1 2y y ，由焦点是 (0, )2 p 的抛物线的焦点弦长为 1 2AB y y p   可表示出弦长． 二、填空题 13．设中心在原点的双曲线与椭圆 +y2=1 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 第 9 页 共 17 页 则该双曲线的方程是 ． 【答案】2x2﹣2y2=1 【解析】【详解】试题分析：椭圆 2 2 12 x y  中 1c  ，∵中心在原点的双曲线与椭圆 2 2 12 x y  有公共的焦点，∴双曲线中 1c  ，∵椭圆 2 2 12 x y  的离心率为 2 2 c a  ， 椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为 ， ∴双曲线中 2 2a  ， ， ，∴双曲线的方程为 . 【考点】1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质． 14．已知焦点为 F 的抛物线 2 4y x 上有一动点 P ，点 (2,2)A ，则| | | |PA PF 的最 小值是_______________. 【答案】3 【解析】作出准线 l ，过 P ，作 PM l ，垂足为 M ，利用 PF PM 转化为可求得 最小值． 【详解】 如图，设 l 是抛物线的准线，作 PM l 于 M ，则 PF PM ， ∴ PA PF PA PM   ， 由已知准线方程为 1x   ，显然当 , ,A P M 三点共线时， PA PF 取得最小值 2 ( 1) 3   ． 故答案为：3． 第 10 页 共 17 页 【点睛】 本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离． 15．如图，椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的上、下顶点分别为 2B ， 1B ，左、右顶点分 别为 1A ， 2A ，若线段 2 2A B 的垂直平分线恰好经过 1B ，则椭圆的离心率是__________. 【答案】 6 3 【解析】根据线段 2 2A B 的垂直平分线恰好经过 1B 可得 1 2 1 2B B B A ，即 2 22b a b  ， 即可求出椭圆的离心率. 【详解】 因为线段 2 2A B 的垂直平分线恰好经过 1B ，所以 1 2 1 2B B B A ，即 2 22b a b  ， 所以 2 2 24b a b  ，即 2 23b a ，又 2 2 2b a c  ， 所以 2 2 23( )a c a  ，即 2 22 3a c ，所以 6 3 c a  ，即 6 3e  . 故答案为： 6 3 【点睛】 本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题. 16．已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，右焦点 2F 与 抛物线 E ：  2 2 0y px p  的焦点重合.椭圆C 与抛物线 E 交于 A ，B 两点，A ， 2F ， B 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】 2 1 【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C 与抛物线 E 交于 A ，B 两点，A ， 2F ， 第 11 页 共 17 页 B 三点共线，则有 2 2 bAF pa  ， 1 2 2F F c p  ，再由 2 2 1 2 12 b AF a cF F   求解. 【详解】 因为椭圆C 与抛物线 E 交于 A ， B 两点， A ， 2F ， B 三点共线， 所以 2 2 bAF pa  ， 1 2 2F F c p  ， 2 2 1 2 12 b AF a cF F   ， 即 2 2b ac ， 所以 2 22 0c ac a   ， 所以 2 2 1 0e e   ， 解得 2 1e   . 故答案为： 2 1 【点睛】 本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 三、解答题 17．已知圆心为 M 的圆经过点 (0,4), (2,0), (3,1)A B C 三个点. （1）求 ABC 的面积； （2）求圆 M 的方程. 【答案】（1）3；（2） 2 2( 1) ( 2) 5x y    . 【解析】（1）求出 AB ，写出直线 AB 方程，求出C 到直线 AB 的距离，可得面积； （2）设圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，代入三点为坐标，求出 , ,D E F ，得 圆一般方程，可配方得标准方程． 【详解】 （1）由已知 2 24 2 2 5AB    ， 第 12 页 共 17 页 直线 AB 方程为 12 4 x y  ，即 2 4 0x y   ，C 到直线 AB 的距离为 6 1 4 3 5 5 d    ， ∴ 1 1 32 5 32 2 5ABCS AB d    △ ； （2）设圆 M 的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， ∵圆过 (0,4), (2,0), (3,1)A B C 三个点.， ∴ 16 4 0 4 2 0 10 3 0 E F D F D E F             ，解得 2 4 0 D E F        ， ∴圆 M 方程为 2 2 2 4 0x y x y    ，即 2 2( 1) ( 2) 5x y    ． 【点睛】 本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方 程 2 2 0x y Dx Ey F     ，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明 AC BC ， 得圆心是 AB 中点，再求得半径即可得圆方程． 18．已知 P 是椭圆 2 2 12 x y  上的一动点. （1）定点 ( )1,0A ，求 PA 的最小值； （2）求 P 到直线 2 2 0x y   距离的最大值. 【答案】（1） 2 1 ；（2） 5 . 【解析】（1）设 ( , )P x y ，直接求出 PA ，然后由函数知识得最小值． （2）设 ( 2 cos ,sin )P   ，求出 P 点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最 大值． 【详解】 （1）设 ( , )P x y ， P 在椭圆上，∴ 2 2 1 2 xy   ， 2 2x   ． ∴ 2 2( 1)PA x y   2 2 21( 1) 1 ( 2)2 2 xx x      ， ∴ 2x  时， min 2 (2 2) 2 12PA     ； 第 13 页 共 17 页 （2） P 在椭圆 2 2 12 x y  上，设 ( 2 cos ,sin )P   ， 则 P 到直线 2 2 0x y   距离为 2 2 cos sin 2 5 d     2 2 13 cos sin 23 3 3sin( ) 2 5 5             ，其中 2 2 1sin ,cos3 3    ， 取锐角． ∴当sin( ) 1   时， max 3 2 5 5 d   ． 【点睛】 本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐 标，求出距离，再由函数知识知识求解即可． 19．已知点  1,P m 是抛物线 C： 2 2y px 上的点，F 为抛物线的焦点，且 2PF  ， 过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B. （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 8AB  ，求直线 l 的斜率. 【答案】（1） 2 4y x ；（2）1 或 1 . 【解析】（1）由焦半径公式求得 p ，得抛物线方程； （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，直线方程为 ( 1)y k x  ，代入抛物线方程后由韦达定理得 1 2x x ，然后由焦点弦长公式可求得 k ． 【详解】 （1）由题意 1 22 pPF    ， 2p  ，∴抛物线方程为 2 4y x ； （2）由（1）知焦点为 (1,0)F ， 若直线 l 斜率不存在，则 AB 4 ，不合题意，因此设直线 l 方程为 ( 1)y k x  ， 由 2 ( 1) 4 y k x y x     得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 2 2 4kx x k   ， 第 14 页 共 17 页 2 1 2 2 2 42 2 8kAB x x k       ，解得 1k  或 1k   ． 【点睛】 本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键． 20．已知 F 为抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点，过  2,0P 的直线 l 交C 于 A ，B 两 点，  0 0,M x y 为 AB 的中点，且  02 1FA FB x   . （1）求抛物线 C 的方程； （2）若 AB 的中垂线与 C 的准线交于点 N ，且 4 3| | | |5AB MN ，求直线l 的斜率. 【答案】（1） 2 4y x ；（2） . 【解析】（1）先求出 2p  ，再求抛物线C 的方程即可； （2）先设直线 : 2l x my  ，再联立方程 2 2 4 x my y x     求出 1 2 1 2 4 8 y y m y y      ，接着用 m 表示出 AB 、 MN ，由已知建立方程求出 2 1m  ，最后求出直线 l 的斜率即可. 【详解】 解：（1）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由抛物线定义可知：  1 2 0 02 2 12 2 p pFA FB x x x p x         ∴ 2p  ，即抛物线C 的方程为 2 4y x . （2）设直线 : 2l x my  1 22 2 1 2 42 4 8 0 84 y y mx my y my y yy x              ∴   21 2 0 1 2 2 2 22 2 x x mx y y m      .      2 2 2 2 2 1 21 1 16 32 4 1 2AB m y y m m m m         .  2 2 2 01 1 1 2 3MN m x m m      . 由 4 3| | | |5AB MN 得：     2 2 2 24 34 1 2 1 2 35m m m m     ，解得 2 1m  或 2 23 12m   （舍） 第 15 页 共 17 页 所以直线 l 的斜率为 1 1m   . 【点睛】 本题考查利用抛物线的定义的几何意义求抛物线的方程、弦长公式、利用直线与抛物线 的位置求斜率，是中档题. 21．设椭圆 :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     左焦点为 F ，过点 F 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点，直线l 的倾斜角为 45，且 3AF FB uuur uur （1）求椭圆C 的离心率； （2）若 4 2| | 3AB  ，求椭圆C 的方程. 【答案】（1） 2 2 ；（2） 2 2 12 x y  . 【解析】（1）设直线方程为 y x c  ，联立 2 2 2 2 1 y x c x y a b     ，解得 1 2,y y ，根据 3AF FB uuur uur ， 由 1 23y y  求解. （2）根据 2 1 2 12 1 4 2| | 1 2 3AB y y y yk       ，结合（1）的数据代入求解. 【详解】 （1）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意得 1 20, 0y y  ， 直线方程为： y x c  ，联立 2 2 2 2 1 y x c x y a b     得 2 2 2 2 42 0a b y b cy b    ， 解得    2 2 1 22 2 2 2 2 2 , a c b c a b y ya b a b      ， 因为 3AF FB uuur uur ， 所以 1 23y y  ， 即    2 2 2 2 2 2 2 3 2a c b c a b a b a b      ， 所以 2 2 ce a   . 第 16 页 共 17 页 （2）因为 2 2 1 2 12 2 2 1 4 4 2| | 1 2 3 abAB y y y yk a b        ， 所以 2 2 23 2 2ab a b  ， 又 2 2 ce a   ，则 2 2b a ， 解得 2, 1a b  ， 所以椭圆C 的方程是 2 2 12 x y  . 【点睛】 本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运 算求解的能力，属于中档题. 22．已知 F 是椭圆： 2 2 1yx m   在 y 正半轴上的焦点，该椭圆的离心率 2 2e  ，直线 PQ 和 MN 过点 F 且与该椭圆分别交于 P Q M N、 、 、 四点. （1）求 m 的值； （2）若 PQ MN ，求四边形 PMQN 的面积的最大值和最小值. 【答案】（1）2；（2）最大值 2，最小值 16 9 【解析】（1）根据离心率的概念列出方程 1 2 2 m m   ，解出即可；（2）当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时，另一条直线必垂直于 y 轴，易得面积为 2，当 MN，PQ 都 不与坐标轴垂直时，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理与弦长公式相 结合可得 ,MN PQ ，所以 1 2PMQNS MN PQ 四边形 ，结合基本不等式可得 16 9S  ， 由此入手结合题设条件能够导出最大值及最小值． 【详解】 第 17 页 共 17 页 （1）∵ 1 2 2 m c em a     ，∴ 2m  （2）当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时，另一条直线必垂直于 y 轴． 不妨设 MN y 轴，则 PQ x 轴， ∵  0F ，1 ，∴MN 的方程为： 1y  ，PQ 的方程为： 0x  ， 分别代入椭圆 2 2 12 yx   中得： 2MN  ， 2 2PQ  ， 1 1 2 2 2 22 2PMQNS MN PQ     四边形 ， 当 MN，PQ 都不与坐标轴垂直时， 设 MN 的方程为  1 0y kx k   ， 代入椭圆 2 2 12 yx   中得： 2 22 2 1 0k x kx    ， ∴ 1 2 2 2 2 kx x k     ， 1 2 2 1 2x x k     ， ∴        2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 12 41 4 1 [( ) ]2 2 2 kkMN k x x x x k k k k              ，同理可得：  2 2 2 2 1 2 1 k PQ k    ，   4 2 2 4 2 4 2 2 2 1 2 4 2 1 162 2(1 ) 2(1 )2 2 5 2 2 5 2 92 1/ 5PMQN k k kS MN PQ k k k k k k               四边形 （当且仅当 2 2 1k k  即 1k   时，取等号）， 又 2 4 22(1 ) 22 5 2PMQN kS k k    四边形 ， ∴此时 16  29 PMQNS 四边形 ． 综上可知： 2maxPMQNS 四边形（ ） ， 16 9minPMQNS 四边形（ ） ． 【点睛】 本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细 解答，避免错误，属于难题.