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2020-2021 学年黑龙江省高二 10 月
月考数学（理）试题
一、单选题
1．两直线3 3 0x y 与 6 1 0x my 平行，则 m （ ）
A． 4 B． 3 C． 5
2 D． 2
【答案】D
【解析】根据两直线平行，斜率相等即可求出 m 的值.
【详解】
由3 3 0x y 得 3 3y x ，所以3 3 0x y 的斜率为 3 ，
所以 0m ，
由 6 1 0x my 得 6 1y xm m
，所以 6 3m
，
解得： 2m ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了两直线平行，斜率相等，属于基础题.
2．若圆 2 2
1 : 2 2 1C x y ， 2 2
2 : 2 5 16C x y ，则 1C 和 2C 的位置
关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】D
【解析】求出两圆的圆心距 1 2C C ，比较 1 2C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进
行可判断出两圆的位置关系.
【详解】
可知，圆 1C 的圆心为 1 2,2C ，半径为 1 1r ，圆 2C 的圆心 2 2,5C ，半径为 2 4r ，
2 2
1 2 1 22 2 2 5 5C C r r ，
因此，圆 1C 与圆 2C 外切.
故选：D.
【点睛】
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本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
3．椭圆
2 2
125 9
x y 与
2 2
1(0 9)9 25
x y kk k
的关系是（ ）
A．有相同的长轴长和短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
【答案】B
【解析】利用椭圆的定义分别求出两个方程的 a ，b ，c 的值即可判断每个选项的正误.
【详解】
对于椭圆
2 2
125 9
x y ，
1 25, 3, 4, 4,0 , 4,0 ,a b c F F 焦距 2 8c ，
对于椭圆
2 2
19 25
x y
k k
25 , 9a k b k 顶点坐标与 k 有关，所以长轴长和短轴长与 k 有关，
1 125 9 4,2 8, 0, 4 , 0,4c k k c F F 焦距 2 8c
故两个椭圆由相等的焦距，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
4．如果实数 x y、 满足条件
1 0
{ 1 0
1 0
x y
y
x y
，那么 2x y 的最大值为（ ）
A． 2 B．1 C． 2 D． 3
【答案】B
【解析】【详解】
解：当直线 2x y z 过点 0, 1A 时， z 最大，故选 B
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5．点 (2,1)P 关于直线 + 1 0x y 的对称点坐标为（ ）
A． 3(0, )2
B． ( 1,0) C． (0, 1) D． 3( ,0)2
【答案】C
【解析】设 (2,1)P 关于直线 + 1 0x y 的对称点坐标为 1 0 0,P x y ，根据直线 1PP 与
+ 1 0x y 垂直，
(2,1)P 和 1 0 0,P x y 中点在直线 + 1 0x y 上，列方程组即可求解.
【详解】
设 (2,1)P 关于直线 + 1 0x y 的对称点坐标为 1 0 0,P x y ，
因为直线 1PP 与 + 1 0x y 垂直，
所以 0
0
1 1 12
y
x
，即 0 0 1y x ，
又因为 (2,1)P 和 1 0 0,P x y 中点在直线 + 1 0x y 上，
所以 0 02 1 1 02 2
x y ，即 0 0 1y x ，
所以 0 0x ， 0 1y ，所以点 (2,1)P 关于直线 + 1 0x y 的对称点坐标为 (0, 1) ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求点关于直线对称的点，属于中档题.
6．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1
2 , 2, 13ABC AB BC CC ，则异面直
线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为（ ）
A． 10
5
B． 1
5 C． 5
5 D． 10
5
【答案】A
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【解析】建立空间直角坐标系，求出 1AB
和 1
BC 坐标，利用向量夹角的坐标表示即可
求解
【详解】
如图：以垂直于 BC 的方向为 x 轴， BC 为 y 轴， 1BB 为 z 轴建立空间直角坐标系，
则 0,0 0B ， 1 0,1,1C ， 1 0,1,1BC ，
因为 120ABC ，则 cos120 1Ay AB ， sin120 3Ax AB ，
即 3, 1,0A ， 1 3,1,1AB
，
设异面直线 1AB 与 1BC 所成角为 ， 1 1
1 1
1 1 10cos 55 2
AB BC
AB BC
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于中档题.
7．若椭圆
2 2
116 4
x y 的弦 AB 被点 (1,1)M 平分，则 AB 所在直线方程为（ ）
A． 4 5 0x y B． 4 5 0x y
C． 4 5 0x y D． 4 5 0x y
【答案】B
【解析】采用点差法，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立方程即可求解
【详解】
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设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则满足
2 2
1 1
2 2
2 2
116 4
116 4
x y
x y
，
两式作差得 2 2 2 2
1 2 1 24x x y y ，
又 AB 被点 (1,1)M 平分，故
1 2
1 2
12
12
x x
y y
，
且直线 AB 的斜率存在，所以 1 2 2 1
1 2 2 1
1
4
x x y y
y y x x
，
化简得 2 1
2 1
1
4AB
y yk x x
，
则 AB 所在直线方程为 1 1 14y x ，
化简得 4 5 0x y
故选：B
【点睛】
本题考查由椭圆弦中点求对应直线方程，点差法是解决此类题型关键，对于小题，也可
熟记结论
2
2AB OMk k b
a
，属于中档题
8．一个动圆与圆 2 2
1 : ( 3) 1C x y 外切，与圆 2
2 : ( 3) 81C x y 内切，则这个动
圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．
2 2
125 16
y x B．
2 2
125 16
x y C．
2 2
116 9
y x D．
2 2
116 9
x y
【答案】A
【解析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的
距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.
【详解】
设动圆半径为 r ，圆心为 M ，根据题意可知， 2 (0,3C ）和 1(0, 3C ），
1| | 1+MC r ， 2| | 9MC r ， 1 2|C | 3 ( 3) 6C
1 2| |+| | 9 1+ 10 6MC MC r r ，故动圆圆心的轨迹为焦点在 y 轴上椭圆，
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且焦点坐标为 2 (0,3C ）和 1(0, 3C ），其中 2 10, 5a a , 1 22 | | 6, 3c C C c ，
所以 2 2 2= 25 9 16b a c ，
故椭圆轨迹方程为:
2 2
5 116 2
x y ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键.
9．过点 ( 1, 3)P 作圆 2 2: 1O x y 的两条切线，切点分别为 A 和 B ，则弦长| |AB
（ ）
A． 3 B． 2 C． 2 D． 4
【答案】A
【解析】可知 PO AB ，OA PA ，OB PB ，根据四边形OAPB 的面积建立等量
关系可求出| |AB .
【详解】
如图，可知 PO AB ，OA PA ，OB PB ，
1 3 2PO ， 3PA ，
所以四边形OAPB 的面积 1 122 2S PO AB OA PA ，
即 1 12 2 1 32 2AB ，解得 3AB .
故选：A.
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【点睛】
本题考查直线与圆相切的相关计算，属于基础题.
10．已知斜率为1的直线l 过椭圆
2 2
18 4
y x 的下焦点，交椭圆于 ,A B 两点，O 为坐
标原点，则 OAB 的面积是（ ）
A． 8 23 B．8 C． 4 D． 8
3
【答案】D
【解析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，然后求解△OAB 的面积.
【详解】
椭圆
2 2
18 4
y x 的下焦点坐标为 (0, 2) ,
∵斜率为 1 的直线过椭圆
2 2
18 4
y x 的下焦点，
可得直线方程为 2y x ，
代入椭圆方程可得 23 4 4 0x x ，
2x 或 2
3x ，
OAB△ 的面积： 1 1 2 82 2 22 2 3 3
，
故选：D
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，属于基础题.
11．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球表面积为 9 ， 2AB AD ，则点 B 到平面
1D AC 的距离等于（ ）
A． 3
2
B． 3
3
C． 6
3
D． 6
12
【答案】C
【解析】由长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球表面积为 9 ，求得 3
2R ，结合长方体
的性质，解得 1 1AA ,再根据 1 1D ABC B D ACV V ，即可求得点 B 到平面 1D AC 的距离.
【详解】
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如图所示，长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球表面积为 9 ，则 24 9R ，解得
3
2R ，
在长方体中，可得 2 2 2 2AB AD AA R ，即 2 2 22 2 3AA ，解得 1 1AA ,
又由三棱锥 1D ABC 的体积为
1 1
1 1 1 22 2 13 3 2 3D ABC ABCV S DD ,
在 1D AC 中， 1 1 5, 2 2D A DC AC ，可得 1 3D O ,
所以
1 1
1 1 2 2 3 62 2D ACS AC D O ,
设点 B 到平面 1D AC 的距离为 d ，则
1 1
1 6
3 3B D AC D ACV S d d
，
又因为 1 1D ABC B D ACV V ，即 6 2
3 3d ，解得 6
3d ，
即点 B 到平面 1D AC 的距离为 6
3
.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了求得表面积公式，长方体的结构特征，以及点到平面的距离的计算，其
中解答中合理利用“等体积法”求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查推理与计
算能力.
12．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
： 的右焦点为 (c,0)F ，上顶点为 (0, )A b ，
直线
2ax c
上存在一点 P 满足 FP AP FA AP ，则椭圆的离心率的取值范围为
（ ）
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A． 1[ ,1)2 B． 2[ ,1)2
C． 5 1[ ,1)2
D． 20, 2
【答案】C
【解析】取 AP 中点 Q，可转化 0FP FA AP 为 2 0FQ AP ，即| | | |FA FP ，
可求得| |FA a ，
2
| | aFP cc
，求解即得.
【详解】
取 AP 中点 Q，由 FP AP FA AP 得 0FP FA AP ，
故 2 0FQ AP FQ AP ，
故三角形 AFP 为等腰三角形，即| | | |FA FP ，
且 2 2| |FA b c a ，所以| |FP a ，
由于 P 在直线
2ax c
上，故
2
| | aFP cc
即
2 2
2
2 1 1 0a a aa c e ec c c
，
解得： 5 1
2e 或 5 1
2e ，又 0 1e
故 5 1 12 e ，
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于
中档题.
二、填空题
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13．已知点 ( , )M x y 是平面区域
1 0
2 4 0
0
0
x y
x y
x
y
内的动点，则 2 2( 1) ( 1)x y 的最大
值为_________.
【答案】13
【解析】作出不等式组表示的可行域，根据 2 2( 1) ( 1)x y 表示 ( , )M x y 到 1, 1 的
距离的平方即可求解.
【详解】
作出
1 0
2 4 0
0
0
x y
x y
x
y
表示的可行域，如下（阴影部分）：
联立 1 0
2 4 0
x y
x y
，解得 1
2
x
y
，即两直线的交点为 1,2A ，
2 2( 1) ( 1)x y 表示 ( , )M x y 到 1, 1 的距离的平方，
由图可知，点 1,2A 到点 1, 1 的距离最大，
最大值为 2 21 1 2 1 4 9 13 ，
所以 2 2( 1) ( 1)x y 的最大值为 13.
故答案为：13
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.
14．过 (2,2)P 作圆 2 2:( 1) 1C x y 的切线，则其切线方程为____________.
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【答案】 2x 或3 4 2 0x y+ =
【解析】当过点 (2,2) 的直线斜率不存在时，方程是 2x ，通过验证圆心到直线的距
离，得到 2x 符合题意；当过点 (2,2) 的直线斜率存在时，设直线方程为
(2 2)y k x ，根据圆心到直线的距离等于半径 1，建立关于 k 的方程，解之得 k ，
进而得到直线的方程，最后综合可得答案．
【详解】
圆 2 2:( 1) 1C x y 的圆心为 (1,0) ，半径为 1，
（1）当过点 (2,2) 的直线垂直于 x 轴时，
此时直线斜率不存在，方程是 2x ，
圆心 (1,0)O 到直线的距离为 1d r= = ，
直线 2x 符合题意；
（2）当过点 (2,2) 的直线不垂直于 x 轴时，
设直线方程为 (2 2)y k x ，即 2 2 0kx y k ．
直线是 2 2:( 1) 1C x y 的切线，
点 (1,0)O 到直线的距离为 2
| 2 2 | 1
1
k kd
k
，解之得 3
4k ，
此时直线方程为3 4 2 0x y+ = ．
切线方程为 2x 或3 4 2 0x y+ = ．
故答案为： 2x 或3 4 2 0x y+ = ．
【点睛】
借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直
线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15．已知椭圆
2
2 13
x y 上动点为 M ，则点 M 到直线 8 0l x y ： 的距离的最小
值为___________.
【答案】3 2
【解析】设 3 cos ,sinP ， 0,2 ，求出点 P 到直线 8 0l x y ： 的距离，
利用三角函数的性质既可以求出最小值.
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【详解】
设 3 cos ,sinP ， 0,2 ，
则点 P 到直线 8 0l x y ： 的距离
2sin 83 cos sin 8 sin 3 cos 8 3
2 2 2
d
，
所以当sin 13
时 min
2 8 3 2
2
d ，
故答案为：3 2
【点睛】
本题主要考查了椭圆上点到直线距离的最值，利用参数方程较简单，属于中档题.
16．已知椭圆
2 2
16 2
x yC ： 的左、右焦点分别为 1 2, ,F F 过 2F 的通径 AB（过焦点垂直
于长轴的弦叫做通径），则 1ABF 的内切圆方程为____________.
【答案】 2 24 4( )3 9x y
【解析】先求出 6a ， 2b ， 2c ，求出 1
5 6
3AF ， 2
6
3AF ，进而可
以求出 1ABF 的周长 L 和面积 S ，设 1ABF 的内切圆半径为 r ，由 1
2S r L 即可
求出 r ，利用 2F 坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.
【详解】
设 1ABF 的内切圆半径为 r ，由椭圆的方程知： 6a ， 2b ， 6 2 2c
则 1 2 4F F ，因为 AB 垂直于 x 轴，
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所以 2 2
1 2 16AF AF ， 1 2 2 2 6AF AF a ，
解得： 1
5 6
3AF ， 2
6
3AF ，
1ABF 的周长为 1 2
5 6 5 6 2 6 4 63 3 3L AF AF AB ，
其面积为： 1 2
1 1 2 6 4 642 2 3 3S AB F F ，
由内切圆的性质得： 1
2S r L ，即 4 6 1 4 63 2 r ，解得： 2
3r ，
圆心横坐标为： 2 42 3 3
，所以圆心坐标为 4 ,03
，
所以所求圆的方程为： 2 24 4( )3 9x y ，
故答案为： 2 24 4( )3 9x y
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.
三、解答题
17．已知直线 1 : 3 10 0l x y 与 2 : 2 8 0l x y 相交于点 A ，点O 为坐标原点， P 为
线段OA的中点.
（1）求点 P 的坐标；
（2）过点 P 作直线l 垂直于直线 1l ，求直线 l 的方程.
【答案】（1） 1 2， ；（2）3 5 0x y .
【解析】（1）通过联立方程组求出直线的交点坐标，利用中点坐标公式即可求解；
（2）直线l 垂直于直线 1l 可以求出直线 l 的斜率，再结合过点 P 即可求解
【详解】
（1）因为直线 1 3 10 0l x y ： 与 2 2 8 0l x y ： 相交于点 A ，
解方程组 3 10 0
2 8 0
x y
x y
，
，得 2
4
x
y
，
，所以 2 4A ， .
因为 0 0O ， ， P 为线段OA中点，故由中点坐标公式求得 1 2P ， .
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（2）当 1l l 时，直线 l 的斜率为 3 ，因为直线l 过 1 2P ， ，
所以直线 l 的方程： 2 3( 1)y x
故直线 l 的方程为：3 5 0x y .
【点睛】
本题只要考查了求两条直线的交点坐标，以及求直线的方程，涉及中点坐标公式，两直
线垂直斜率为 1 ，属于基础题.
18．在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 经过 (3,4), (3, 2), (0,1)P Q R 三点.
（1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线 0x y a 交于 ,A B 两点，且CA CB ，求 a 的值.
【答案】（1） 2 23 1 9x y ；（2） 1a 或 5 .
【解析】（1）因为圆C 的圆心在线段 PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为 ,1t ，
即可求出参数t ，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；
（2）依题意可得 ACB△ 为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离 3sin 45d ，从而
求出参数的值；
【详解】
解：（1）因为圆C 的圆心在线段 PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为 1t， ，
则有 2 2 223 1 4 1 1t t ，解得 3t .即圆心为 31，
则圆C 的半径为 223 1 1 3 .
所以圆C 的方程为 2 23 1 9x y .
（2）因为圆C 与直线 0x y a 交于 ,A B 两点，且 CA CB ，所以 ACB△ 为等腰
直角三角形，点C 到直线 AB 距离 | 3 1 |3sin 45
2
ad
解得 1 5a 或 .
【点睛】
本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.
19．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形， 90 , //DAB AD BC ，
AD 侧面 ,PAB PAB 是等边三角形， 2DA AB ， 1
2BC AD ，E 是线段 AB 的
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中点.
（1）求证： PE 平面 ABCD ；
（2）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3
5 .
【解析】（1）证明 AD PE ， PE AB ，利用线面垂直的判定定理即可证 PE 平
面 ABCD ；
（2）以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，写出点的坐标，求出 PC
坐标以及平面 PDE 的法向量 n x y z ， ， ，利用sin cos PC nPC n
PC n
， 即可
求解.
【详解】
解：（1）因为 AD 面 PAB ， PE 面 PAB ，所以 AD PE ，
又因为 PAB△ 是等边三角形， E 是线段 AB 的中点，所以 PE AB ，
因为 AD AB A ，所以 PE 平面 ABCD .
（2）以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，
则 0 0 0E ，， ， 1 10C ， ， ， 210D ，， ， 0 0 3P ，， ，
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21 0ED ，， ， 0 0 3EP ，， ， 1 1 3PC ， ， ，
设 n x y z ， ， 为平面 PDE 的法向量，
由 0
0
n ED
n EP
即
2 0
3 0
x y
z
，令 1x ，可得 1 2 0n ， ， ，
设 PC 与平面 PDE 所成的角为 ，
1 2 3sin cos 55 5
PC nPC n
PC n
， ，
所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 3
5 .
【点睛】
本题主要考查了证明线面垂直以及利用向量求线面角的正弦，属于中档题
20．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 1 , 2 ,AA AB AC BC AB 1AA 平
面 ABC ，点 ,M Q 分别是 1,BC CC 的中点，点 P 是棱 1 1A B 上的任一点.
（1）求证： AQ MP ；
（2）若平面 1 1ACC A 与平面 AMP 所成的锐角为 ，且 2cos 3
，试确定点 P 在棱
1 1A B 上的位置，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） P 为棱 1 1A B 的中点；答案见解析.
【解析】(1)由勾股定理得 AB AC ，以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， 1AA 所在直线
为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 AQ MP ；
（2）求出平面 ACCA|的一个法向量和平面 AMP 的一个法向量，利用向量法能求出
P 1 012
，， ，P 是棱 AB 的中点.
【详解】
（1）由已知得： 2 2 2AB AC BC ，所以 AB AC ，
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又 1AA ABC 平面 ，所以 1AA ， AB ， AC 两两垂直.
如图所示以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， 1AA 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角
坐标系，
设 1AB ，则 0 0 0A ，， ， 010C ，， ， 10 0B ，， ， 1 1 02 2M
，， ， 10 1 2Q
，， .
设 0 001 0 1P x x ，， . 101 2AQ
，， ， 0
1 1 12 2MP x
， ， ，
因为 0
1 1 10 1 1 02 2 2AQ MP x
，
所以 AQ MP
，故 AQ MP .
（2）由已知得， 1 1AB ACC A 平面 ，所以平面 1 1ACC A 的一个法向量为 1 1 0 0n
，， .
又 1 1 02 2AM
，， ， 0 01AP x
，， .
设平面 AMP 的一个法向量为 2n x y z
， ， ，则 2
2
0
0
AP n
AM n
，
即
0
1 1 02 2
0
x y
x x z
，
，
令 1x ，则 1y ， 0z x .
所以平面 AMP 的一个法向量为 2 01 1n x
， ， ,
又 1 2
1 2 2
01 2
1cos
1 2
n nn n
xn n
，
∣∣∣ ∣
，
因为平面 1 1ACC A 与平面 AMP 所成的锐二面角为 ，且 2cos 3
，
所以 2
0
1 2
31 2 x
，解得： 0
1
2x ，
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所以点 P 坐标为 1 012
，， ，
故 P 为棱 1 1A B 的中点.
【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点的位置关系的判断与求法，属于中档
题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
21．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点为 ,0F c ，离心率为 3
3
，点 M 在
椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆
2
2 2
4
bx y 截得的线段的长为 c ，
4 3
3FM .
（1）求直线 FM 的斜率；
（2）求椭圆的方程.
【答案】（1） 3
3
；（2）
2 2
13 2
x y .
【解析】（1）设直线 FM 的方程为 y k x c ，其中 0k ，计算出坐标原点O 到直
线 FM 的距离，利用勾股定理可得出关于 k 的等式，进而可求得 k 的值，即为直线 FM
的斜率；
（2）设点 0 0,M x y ， 0 0x ， 0 0y ，可得出
2 2
0 0
2 2 13 2
x y
c c
以及 0 0
3
3y x c ，
结合两点间的距离公式可求得 c 的值，可求得 a 、b 的值，由此可得出椭圆的方程.
【详解】
（1）由于点 M 在椭圆上且位于第一象限，椭圆的左焦点为 ,0F c ，
由题意可知，直线 FM 的斜率存在且为正数，
设直线 FM 的方程为 y k x c ，其中 0k ，O 到直线 FM 的距离为 21
kc
k
∣ ∣
，
因为直线 FM 被圆
2
2 2
4
bx y 截得的线段的长为 c ，所以
22
2
2 4 1
b c
k
kc
，
又 3
3
ce a
， 2 2 2a b c ， 2 23a c ， 2 22b c ，解得 3
3k ，
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因此，直线 FM 的斜率为 3
3
；
（2）设 0 0,M x y ， 0 0x ， 0 0y ，则
2 2
0 0
2 2 13 2
x y
c c
，
又因为 0 0
3
3y x c ，且 2 2
0 0 0
4 32 3FM x c y y ， 0
2 3
3y ，
所以，
0
2
0
2 2
0
2
2 13 3
0
x c
x
c c
x
，解得 0 1
1
x
c
，则 3a ， 2b ，
所以椭圆的方程为
2 2
13 2
x y .
【点睛】
本题考查直线斜率的求解，同时也考查了利用椭圆的焦半径长求椭圆的标准方程，考查
计算能力，属于中等题.
22．已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
，左、右焦点分别为 1 2,F F ，
以原点O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 2 0x y 相切.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设 Q 为椭圆C 上不在 x 轴上的一个动点，过点 2F 作 OQ 的平行线交椭圆C 与
,M N 两个不同的点，记 2QF M△ 的面积为 1S ， 2OF N△ 的面积为 2S ，令 1 2S S S ，
求 S 的最大值.
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ；（2） 2 .
【解析】（1）由离心率可得 2 22a b ，再根据条件求出 2b ，即可求出 a ，写出椭
圆方程；
（2）设 1 1M x y， ， 2 2N x y， ，直线 OQ x my： ，则直线 2MN x my ： ，联
立椭圆方程，根据弦长公式求出 2
2
4 1
2
m
MN m
，再求出点O 到直线 MN 的距离
2
2
1
d
m
，即可表达出 OMN 的面积，进而求出最大值.
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【详解】
（1）由题意知 2
2
ce a
，所以
2 2 2
2
2 2
1
2
c a be a a
，即 2 22a b ，
又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为 2 2 2x y b ，且与直线
2 0x y 相切，所以 22
2 2
1 1
b
， 2 22 4a b ，
故椭圆C 的标准方程为
2 2
14 2
x y .
（2）设 1 1M x y， ， 2 2N x y， ，直线OQ x my： ，
则直线 2MN x my ： ，
由 2 2
2
14 2
x my
x y
，得 2 22 2 2 2 0m y my ，
1 2 2
2 2
2
my y m
， 1 2 2
2
2y y m
.
2
2 21MN m y y ∣ ∣ 22
1 2 1 21 4m y y y y
2
2 2
2 2 21 42 2
mm m m
2
2
4 1
2
m
m
，
因为 MN OQ∥ ，所以 2QF M△ 的面积等于 2OF M△ 的面积， 1 2 OMNS S S S ，
因为点O 到直线 2MN x my ： 的距离
2
2
1
d
m
，
所以 2 2
2 22
4 11 1 2 2 2 1
2 2 2 21
m mS MN d m mm
∣ ∣
令 2 1m t ，则 2 2 1 1m t t ， 2
2 2 2 2
11
tS t t t
，
因为 1 12 2t tt t
，当且仅当 1t t
，即 1t 时，也即 0m 时取等号，
所以当 0m 时， S 取得最大值 2 .
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的三角形面积最值问题，属于较难题.
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