2020-2021学年黑龙江省高二10月月考数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 17 页 2020-2021 学年黑龙江省高二 10 月月考数 学（文）试题 一、单选题 1．已知圆的方程为 2 2 4 1x y x   ，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ） A．(2，0)，5 B．(2，0)， 5 C．(2，0)， 3 D．(0，2)， 3 【答案】B 【解析】把圆方程配方成标准方程后可得． 【详解】 由题意圆的标准方程是 2 2( 2) 5x y   ，圆心坐标是 (2,0) ，半径是 5 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程． 2．已知两点分别为 (1,1), (2,3)A B ，则 AB 所在直线的斜率为（ ） A．2 B． 1 2 C． 1 2  D． 2 【答案】A 【解析】利用两点求斜率公式即可求解. 【详解】 由 (1,1), (2,3)A B ， 则 3 1 22 1ABk   . 故选：A 【点睛】 本题考查了两点求斜率，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3．已知椭圆 C： 2 2 2 4 x y a   1 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 2 2 3 【答案】C 第 2 页 共 17 页 【解析】由焦点坐标确定长半轴长是 a ，利用 , ,a b c 关系求得 a ，再计算离心率． 【详解】 椭圆 C： 2 2 2 4 x y a   1 的一个焦点为(2，0)， 可得 a2﹣4＝4，解得 a＝2 2 ， ∵c＝2，∴e 2 2 22 2 c a    ． 故选：C． 【点睛】 本题考查求椭圆的离心率，掌握 , ,a b c 的关系是解题基础． 4．已知双曲线 2 2 1x ya   的一条渐近线倾斜角为 5 6  ，则 a （ ） A． 3 B． 1 3  C． 3 D． 3 【答案】D 【解析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求 得结果. 【详解】 由双曲线方程可知： 0a  ，渐近线方程为： 1y x a    ，  一条渐近线的倾斜角为 5 6  ， 1 5 3tan 6 3a      ，解得： 3a   . 故选：D 【点睛】 本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的 关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于 a 的范围的要求. 5．若直线 (1 ) 3 0kx k y    和直线 ( 1) (2 3) 2 0k x k y     互相垂直，则 k  ( ) A． 3 或 1 B．3 或 1 C． 3 或 1 D． 1 或 3 【答案】C 【解析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 第 3 页 共 17 页 【详解】 因为直线 (1 ) 3 0kx k y    和直线 ( 1) (2 3) 2 0k x k y     互相垂直， 所以 ( 1) (1 )(2 3) 0k k k k     ， 解方程可得 1k  或 3k   ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点 命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关 系：在斜率存在的前提下，（1） 1 2 1 2||l l k k  （ 1 2 1 2 1 1|| 0l l A B A B   ）；（2） 1 2 1 2 1l l k k     （ 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B      ），这类问题尽管简单却容易出错， 特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 6．已知 P 是圆 O ： 2 2 1x y  上的动点，则点 P 到直线 l ： 2 2 0x y   的距离的 最小值为（ ） A．1 B． 2 C．2 D． 2 2 【答案】A 【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即 得所求. 【详解】 解：因为圆O ： 2 2 1x y  的圆心  0,0O 到直线l ： 2 2 0x y   的距离 2 2 0 0 2 2 2 1 1 d      ，且圆的半径等于1， 故圆上的点 P 到直线的最小距离为 2 1 1d r    故选： A 【点睛】 本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题. 7．设点 ( 2,3), (3,2)A B ，若直线 2 0ax y   与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范 围是（ ） A． 5 4, ,2 3             B． 4 5,3 2     第 4 页 共 17 页 C． 5 4,2 3     D． 4 5, ,3 2            【答案】B 【解析】求出直线 2 0ax y   经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条 件，由此解出答案． 【详解】 解：∵直线 2 0ax y   过定点 (0, 2)C  ，且 5 2ACk   ， 4 3BCk  ， 由图可知直线与线段 AB 没有交点时，斜率 a 满足 5 4 2 3a    ， 解得 4 5,3 2a      ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查斜率的计算公式的应用，考查数形结合思想，属于基础题． 8．已知椭圆 C 与双曲线 2 2 17 9 x y  的焦点相同，且椭圆 C 上任意一点到两焦点的距 离之和为 10，则椭圆 C 的离心率等于（ ） A． 3 5 B． 3 4 C． 4 5 D． 5 4 【答案】C 【解析】根据条件求出 ,a c 即可. 【详解】 因为椭圆 C 上任意一点到两焦点的距离之和为 10，所以 2 10a  ，即 5a  因为椭圆 C 与双曲线 2 2 17 9 x y  的焦点相同， 2 7 9 16c    ，即 4c  第 5 页 共 17 页 所以 4 5 ce a   故选：C 【点睛】 本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单. 9．圆 2 2 2 5 0x y x    与圆 2 2 2 4 4 0x y x y     的交点为 A，B，则线段 AB 的 垂直平分线的方程是（ ） A． 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 1 0x y   【答案】A 【解析】圆 2 2 2 5 0x y x    的圆心为 (1,0)M ，圆 2 2 2 4 0x y x y    的圆心为 ( 1,2)N  ，两圆的相交弦 AB 的垂直平分线即为直线 MN ，其方程为 0 2 0 1 1 1 y x     ， 即 1 0x y   ；故选 A. 【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关 系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经 过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量. 10．一动圆 P 过定点 ( 4,0)M  ，且与已知圆 2 2: ( 4) 16N x y   相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A． 2 2 1( 2)4 12 x y x  … B． 2 2 1( 2)4 12 x y x  „ C． 2 2 14 12 x y  D． 2 2 14 12 y x  【答案】C 【解析】分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得 4PN PM  ，结合双曲线的定 义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得 (4,0)N ，当两圆内切时，定圆 N 在动圆 P 的内部，有| | | | 4PN PM  ； 当两圆外切时有| | | | 4PN PM  ，故 4PN PM  ，由双曲线的定义知， 点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线，且 2 4, 4a c  ，所以 2 24, 12a b  ， 第 6 页 共 17 页 故圆心 P 的轨迹方程为 2 2 14 12 x y  . 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于 基础题. 11．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     在两条渐近线所构成的角中，设以实轴为角平分 线的角为 ，若 的取值范围是 2 3 2,      则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． (1, 2] B． 2,2   C． 2 3 , 23       D．[2, ) 【答案】B 【解析】根据题目条件得： 4 2 3     ，进而得到：1 3b a   ，进一步得到答案. 【详解】 ∵ 2 2 3    ， ∴，1 tan 32   ， ∴1 3b a   ， 2 21 3b a   ， 2 2 21 3c a a   ， ∴ 21 1 3e   ， ∴ 2 2e  ． 故选：B． 【点睛】 本题考查双曲线离心率的知识点，属于常见的基础题型. 12．已知点 F 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ， 0, 0a b  的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶 点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、B 两点，若 ABE△ 是锐角三角形，则 该双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） 第 7 页 共 17 页 A． 1,2 B． 2, 3 C． 3,3 D． 2, 5 【答案】A 【解析】求出通径长 22bAB a  ，由题意可得 4AEF BEF     ，直角三角形 AFE 中， 2 tan 1 b aAEF a c    ，解不等式即可. 【详解】 ∵直线 AB 过焦点  ,0F c 且垂直于 x 轴， 即通径长 22bAB a  ，显然 2bFA a  ， 即 2 , bA c a      ， 2 , bB c a      ，易知右顶点  ,0E a ， 而 ABE△ 是锐角三角形，故 2AEB   . 根据对称性即 4AEF BEF     ， 在直角三角形 AFE 中， 2 tan 1 b aAEF a c    2b a ca    ， 2 2 22 0 2 0c ac a e e        ，解得1 2e  . 故选：A. 【点睛】 本题主要目的考查的是考生应用双曲线相关知识解决问题的能力及解题过程中的逻辑 推理能力和运算求解能力和综合应用知识的能力，试题以通性通法为基础，为不同能力 水平的考生提供了研究空间，突出了选拔功能，属于基础题. 二、填空题 13．直线 2 3 0x y   关于点 (1,1) 对称的直线方程为____________. 【答案】 2 1 0x y   【解析】在对称的直线方程上任取一点  ,P x y ，根据点对称性可得  2 ,2x y  在直 线 2 3 0x y   上，代入即可求解. 【详解】 第 8 页 共 17 页 设直线 2 3 0x y   关于点 (1,1) 对称的直线方程为l ， 在l 上任取一点  ,P x y ， 则点 P 关于点 (1,1) 对称的点 P 的坐标为 2 ,2x y  ， 由题意可知点 P 在直线 2 3 0x y   上， 故   2 2 2 3 0x y     ，整理可得 2 1 0x y   . 故答案为： 2 1 0x y   【点睛】 本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     与 y 轴交点为 (0,1) ， P 在曲线C 上且 1 2 60F PF   ，则 1 2F PFS  ________ 【答案】 3 3 【解析】设 1 2| | ,| | ,PF m PF n  根据已知求出 4 3 mn 即得解. 【详解】 设 1 2| | ,| | ,PF m PF n  由题得 2 2 22 , 2 4m n a m n mn a      ， 由余弦定理得 2 2 2 2 212 42m n mn m n mn c       ， 两式相减得 2 2 2 43 4( ) 4 4, 3mn a c b mn      ， 所以 1 2 1 3sin 602 3F PFS mn   . 故答案为： 3 3 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．已知双曲线 2 2: 13 yC x   的左焦点为 1F ，顶点 (0,2 3)Q ，P 是双曲线C 右支上 第 9 页 共 17 页 的动点，则 1PF PQ 的最小值等于__________. 【答案】6 【解析】利用双曲线的性质，得到 1 2 2PF PF  ，代入所求式子，结合两点距离直 线最短原理，计算最小值，即可． 【详解】 结合题意，绘制图像： 根据双曲线的性质可知 1 2 2 2PF PF a   ，得到 1 2 2PF PF  ，所以 1 2 22 2PF PQ PF PQ QF      ，而    20,2 3 , 2,0Q F ，所以  22 2 2 2 3 4QF    ，所以最小值为 6. 【点睛】 本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等． 16．已知 P 为双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     上一点，O 为坐标原点， 1F ， 2F 为 曲线C 左右焦点.若 2OP OF ，且满足 2 1tan 3PF F  ，则双曲线的离心率为___. 【答案】 10 2 【解析】由 2OP OF 知O 为 1 2PF F△ 外接圆的圆心，即有 1 2 90F PF   ，运用勾 股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到. 【详解】 2OP OFQ ， 第 10 页 共 17 页 O 为 1 2PF F△ 外接圆的圆心， 1 2 90F PF   ， 又 2 1tan 3PF F  ， 1 23PF PF  ， 由双曲线定义可知 1 2 2PF PF a  ， 解得 1 23 ,PF a PF a  ， 由 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  即 2 2 2(3 ) 4a a c  即有 2 25 2c a 所以 10 2e  故答案为： 10 2 【点睛】 本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的 圆周角为直角是解题的关键，属于难题. 三、解答题 17．已知两直线 1 : 8 7 0l x y   和 2 : 2 1 0l x y   . （1）求 1l 与 2l 交点坐标； （2）求此交点关于直线 2 0x y  的点坐标. 【答案】（1） (1, 1) ；（2） 1 7,5 5     . 【解析】（1）联立两条直线的方程可得： 8 7 0 2 1 0 x y x y        ，解得 1x  ， 1y   ． （2）根据对称点连线垂直对称直线、对称点连线中点在对称直线上列方程组，解得结 果． 【详解】 解：（1）联立两条直线的方程可得： 第 11 页 共 17 页 8 7 0 2 1 0 x y x y        解得 1x  ， 1y   所以 1l 与 2l 交点坐标是 (1, 1) ． （2）设 (1, 1) 关于直线 2 0x y  的点坐标为 ( , )x y 11 1 1 2 1 51 2 2 3 0 71 12 0 52 2 y xy xx x yx y y ìì + = -× = - ïï ì = - +镲 - \ \眄 - + =+ -镲 î =- × =镲î î 即 (1, 1) 关于直线 2 0x y  的点坐标为 1 7,5 5     ． 【点睛】 解决此类问题的方法是联立两条直线的方程进行计算，列方程组解对称点坐标．属于基 础题． 18．已知圆心为 M 的圆经过点 (0,4), (2,0), (3,1)A B C 三个点. （1）求 ABC 的面积； （2）求圆 M 的方程. 【答案】（1）3；（2） 2 2( 1) ( 2) 5x y    . 【解析】（1）求出 AB ，写出直线 AB 方程，求出C 到直线 AB 的距离，可得面积； （2）设圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，代入三点为坐标，求出 , ,D E F ，得 圆一般方程，可配方得标准方程． 【详解】 （1）由已知 2 24 2 2 5AB    ， 直线 AB 方程为 12 4 x y  ，即 2 4 0x y   ，C 到直线 AB 的距离为 6 1 4 3 5 5 d    ， ∴ 1 1 32 5 32 2 5ABCS AB d    △ ； （2）设圆 M 的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 第 12 页 共 17 页 ∵圆过 (0,4), (2,0), (3,1)A B C 三个点.， ∴ 16 4 0 4 2 0 10 3 0 E F D F D E F             ，解得 2 4 0 D E F        ， ∴圆 M 方程为 2 2 2 4 0x y x y    ，即 2 2( 1) ( 2) 5x y    ． 【点睛】 本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方 程 2 2 0x y Dx Ey F     ，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明 AC BC ， 得圆心是 AB 中点，再求得半径即可得圆方程． 19．已知 P 是椭圆 2 2 12 x y  上的一动点. （1）定点 ( )1,0A ，求 PA 的最小值； （2）求 P 到直线 2 2 0x y   距离的最大值. 【答案】（1） 2 1 ；（2） 5 . 【解析】（1）设 ( , )P x y ，直接求出 PA ，然后由函数知识得最小值． （2）设 ( 2 cos ,sin )P   ，求出 P 点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最 大值． 【详解】 （1）设 ( , )P x y ， P 在椭圆上，∴ 2 2 1 2 xy   ， 2 2x   ． ∴ 2 2( 1)PA x y   2 2 21( 1) 1 ( 2)2 2 xx x      ， ∴ 2x  时， min 2 (2 2) 2 12PA     ； （2） P 在椭圆 2 2 12 x y  上，设 ( 2 cos ,sin )P   ， 则 P 到直线 2 2 0x y   距离为 2 2 cos sin 2 5 d     2 2 13 cos sin 23 3 3sin( ) 2 5 5             ，其中 第 13 页 共 17 页 2 2 1sin ,cos3 3    ， 取锐角． ∴当sin( ) 1   时， max 3 2 5 5 d   ． 【点睛】 本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐 标，求出距离，再由函数知识知识求解即可． 20．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，短轴的一个端点到右焦点的 距离为 2. （1）椭圆 C 的方程； （2）设直线 l： 1 2y x m  交椭圆 C 于 A，B 两点，且 5AB  ，求 m 的值. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2） 1m   . 【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知 2a  ，进而利用离心率的值计 算即得结论； （2）设  1 1,A x y ，  2 2, .B x y 联立直线与椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方 程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出. 【详解】 解：（1）由题意可得 2 2 2 22 3 2 a b c c a       ， 解得： 2a  ， 1b  ， 椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  ； （2）设  1 1,A x y ，  2 2, .B x y 联立 2 2 1 2 4 4 y x m x y       ， 第 14 页 共 17 页 得 2 22 2 2 0x mx m    ， 1 2 2x x m    ， 2 1 2 2 2x x m  ， 2 2 2 1 2 51 4 8 82AB k x x m m        25 2 5m    ， 解得 1m   . 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质､韦达定理､弦长公式，属于中档题. 21．设 1 2,F F 分别为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点，过 2F 的直线 l 与椭 圆C 相交于 ,A B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 , 1F 到直线 l 的距离为 2 3 . （1）求椭圆C 的焦距； （2）如果 2 22AF F B  ，求椭圆C 的方程. 【答案】（1）4；（2） 2 2 19 5 x y  . 【解析】（1）由题意可设直线 l 的方程为  3y x c  ，再利用点到直线的距离公式 即可求解. （2）由（1）可得  3 2y x  ，联立方程   2 2 2 2 3 2 1 y x x y a b      消 x ，求出两交点的纵坐 标，再由 2 22AF F B  得出两交点纵坐标的关系即可求解. 【详解】 （1）由题意可得：直线l 的方程为  3y x c  ，   1 ,0F c 到直线l 的距离为 2 3 ， 第 15 页 共 17 页  22 3 3 2 3 1 3 c c     ，解得 2c  ， 椭圆C 的焦距 2 4c  . （2）由（1）可得  3 2y x  ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 1 0y  ， 2 0y  ， 联立   2 2 2 2 3 2 1 y x x y a b      ，整理可得  2 2 2 2 43 4 3 3 0a b y b y b    ， 解得  2 1 2 2 3 2 2 3 b ay a b    ，  2 2 2 2 3 2 2 3 b ay a b    ， 因为 2 22AF F B  ，所以 1 22y y  ， 即    2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 223 3 b a b a a b a b      ，解得 3a  ， 又 2c  ，故 9 4 5b    ， 故椭圆C 的方程为 2 2 19 5 x y  . 【点睛】 本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解 能力，属于中档题. 22．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ， ( ,0)A a ， (0, )B b ， (0,0)O ， OAB 的面积为 3 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过右焦点 F 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆C 于 P ，Q 两点，连接 AP ， AQ 分 别交直线 3x  于，M ，N 两点，若直线 MF ，NF 的斜率分别为 1k ， 2k ，试问： 1 2k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 1 2k k 为定值 9 16  ，理由见解析 第 16 页 共 17 页 【解析】（1）结合椭圆离心率、 OAB 的面积、 2 2 2a b c  列方程组，解方程组求得 2 2,a b ，由此求得椭圆的标准方程. （2）当直线l 斜率不存在时，求得 ,P Q 两点的坐标，由此求得直线 ,AP AQ 的方程， 进而求得 ,M N 两点的坐标，由此求得 1k ， 2k ，求得 1 2 9 16k k   .当直线 l 斜率存在时， 设直线 l 方程为 ( 1)y k x  ，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线 ,AP AQ 的方程，进而求得 ,M N 两点的坐标，由此求得 1k ， 2k ，结合韦达定理计算 1 2 9 16k k   .由此证得 1 2k k 为定值 9 16  . 【详解】 （1）由题意得 2 2 2 1 2 1 32 c a ab a b c         ， 解得 2 2 4 3 a b     ， 所以椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （2）由（1）知 (1,0)F ， (2,0)A ， ①当直线l 斜率不存在时，直线 l 方程为 1x  ， 联立 2 2 1 14 3 x x y    ，得 1 3 2 x y    ， 不防设 31, 2P     ， 31, 2Q    ， 则直线 AP 方程为 3 2 ( 2)1 2y x  ， 令 3x  ，得 3 2y   ，则 33, 2M     ， 此时， 1 3 32 3 1 4k     ， 第 17 页 共 17 页 同理 2 3 4k  ， 所以 1 2 3 3 9 4 4 16k k      ， ②当直线l 斜率存在时，设直线 l 方程为 ( 1)y k x  ， 联立 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ，得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ， 则 2 1 2 2 8 3 4 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k   ， 直线 AP 方程为 1 1 ( 2)2 yy xx   ， 令 3x  ，得 1 1 2 yy x   ，则 1 1 3, 2 yM x      ， 同理 2 2 3, 2 yN x      ， 所以       1 11 1 1 1 1 12 3 1 2 2 2 2 y k xx yk x x      ，       2 22 2 2 2 2 12 3 1 2 2 2 2 y k xx yk x x      ， 所以             2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 2 2 2 2 4 2 4 k x x x xk x k xk k x x x x x x                   2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 8 1 4 12 8 3 43 4 3 4 9 164 12 8 4 4 12 16 12 164 2 43 4 3 4 k kk k k k kk k k k k k kgk k                         综上所述， 1 2k k 为定值 9 16  . 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系， 考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.