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数学学科（文科）答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
CCABA BABBA DA
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 14. 15. 16. 7
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 已知 p： ，q： ．
若 p 是真命题，求对应 x 的取值范围；
若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围．
【答案】解： ： 是真命题，
， ，
解得 ，
的取值范围是 ．---------------------------------------4 分
由 知：P： ，
q： ，-------------------------5 分
p 是 q 的必要不充分条件
当 时，q： ，故满足 ，即 ，-------------------7 分
当 时，q： ，满足条件；--------------------------------------------9 分
当 时，q： ，故满足 ，即 ．------------------11 分
综上所述 a 的取值范围是 ．-----------------------------------12 分
18. (12 分)已知函数 的定义域为 R．
求 a 的取值范围．
若函数的最小值为 ，解关于 x 的不等式 ．
2
解： 函数 的定义域为 R，
恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意；…………2 分
当 时，根据二次函数 的图象与性质，
知不等式 恒成立时， ，
即 ，
解得 ；…………5 分
综上，a 的取值范围是 ；…………6分
函数 y 的最小值为 ，
， ；
；
当 时，不满足条件；…………8分
当 时， 的最小值是 ， ；…………10分
不等式 可化为 ，
解得 ；
不等式的解集是 …………12 分
3
19. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ．
求 tanC 的值；
若 的面积为 3，求 b 的值．
【答案】解： ，
由余弦定理可得： ，
，
又 ．
．
可得 ，
，即 ．
．
，
．
．----------------------------------------------------------6 分
或由 ， ．
可得： ，
，
4
，
，
，
， ， ． ．
，
解得 ．
．---------------------------------------------------12 分
20. 设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 n 项和．已知 ，且 ，
， 构成等差数列．
求数列 的通项公式．
令 求数列 的前 n 项和 ．
【答案】解： 由已知得 ，可得 --2 分
解得 ， -----------4 分
故数列 的通项为 ；--------------------------------------6 分
由 得 ， ，又 ，-----8 分
是等差数列，
-----11 分
5
故 ----------------------------------12 分
21. 有一展馆形状是边长为 2 的等边三角形 ABC，DE 把展馆分成上下两部分面积比为
如图所示，其中 D 在 AB 上，E 在 AC 上
若 D 是 AB 中点，求 AE 的值；
设 ．
求用 x 表示 y 的函数关系式；
若 DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？
【答案】解： 依题意得，
，
若 D 是 AB 中点，则 -------------------------------------------------4 分
(i)由 得
由余弦定理得 ，
-------------------------------------------8 分
(ii)如果 是消防水管，
6
，----------------------------------10 分
当且仅当 ，即 ，等号成立．
此时 ，------------------------------------------------------11 分
故 且消防水管路线最短为 ；
22. 已知数列 中， ， ．
求 的通项公式 ；
数列 满足 ，数列 的前 n 项和为 ，若不等式
对一切 恒成立，求 的取值范围．
【答案】解： 由 ，得 ，
，--------------------------------------2 分
所以数列 是以 3 为公比，以 为首项的等比数列，
从而 ， ；----------------------------4 分
，
，
，
7
两式相减得 ，
，-------------------------------------------6 分
．
若 n 为偶数，则 ，
， ，--------------------8 分
若 n 为奇数，则 ， ，
，即 ，-------------------------------------10 分
．--------------------------------------------12 分
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