2020-2021学年河南鲁山县第一高级中学高二上学期10月月考数学试题 Word版

- 1 - 河南鲁山县第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期 10 月月考数学试题 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1.如图，棱长为 2 的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，若 ，则 的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 2.已知四棱锥 的所有顶点都在同一球面上，底面 是正方形且和球心 在 同一平面内，若此四棱锥的最大体积为 ，则球 的表面积等于（ ） A. B. C. D. 3.三棱锥 中， 平面 ， ， 的面积为 2，则三棱 锥 的外接球体积的最小值为( ) A. B. C. D. 4.在长方体 中， ， ， ，P，Q 分别为棱 ， 的中点. 则从点 出发，沿长方体表面到达点 Q 的最短路径的长度为（ ） A. B. C. D. 5.设球的半径为时间 t 的函数 R（t）．若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径（ ） A. 成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C C. 成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C - 2 - 6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形， 那么原平面图形的面积是（ ） A. 2+ B. C. D. 1+ 7.底面为正方形的四棱锥 S﹣ABCD，且 SD⊥平面 ABCD，SD= ，AB=1，线段 SB 上一 M 点 满足 = ，N 为线段 CD 的中点，P 为四棱锥 S﹣ABCD 表面上一点，且 DM⊥PN，则点 P 形成的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 2 8.如图，已知 是顶角为 的等腰三角形，且 ，点 是 的中点. 将 沿 折起，使得 ，则此时直线 与平面 所成角的正弦值为 （ ） A. B. C. D. 9.如图，正方体 的棱长为 1， 分别是棱 的中点，过 的 平面与棱 分别交于点 .设 ， ． - 3 - ①四边形 一定是菱形；② 平面 ；③四边形 的面积 在区间 上具有单调性；④四棱锥 的体积为定值. 以上结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ） A. B. C. D. 11.空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AC、BD 中点，若 ，EF⊥AB，则 EF 与 CD 所 成的角为( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 12.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共 16 分） 13.如下图，将圆柱的侧面沿母线 展开，得到一个长为 ，宽 为 4 的矩形，由点 A 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 ，线长的最小值为________（线粗忽略不计） - 4 - 14.如图，在棱长为 2 的正方体 中， 、 分别为棱 、 的 中点， 是线段 上的点，且 ，若 、 分别为线段 、 上的 动点，则 的最小值为________． 15.如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为线段 上一点， 是平 面 上一点，则 的最小值是________． 16.三棱锥 中， 平面 ABC， ， ， ，则该 三棱锥外接球的表面积为________． 三、解答题（共 6 题；共 70 分） - 5 - 17.已知梯形 中， ， ，G 是 的中点. ，E、F 分别是 、 上的动点，且 ，设 （ ），沿 将梯形 翻折，使平面 平面 ，如图. （1）当 时，求证： ； （2）若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大值； （3）当 取得最大值时，求二面角 的余弦值. 18.在底面是正方形的四棱锥 中, , ,点 在 上,且 . （Ⅰ）求证: 平面 ; （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，且 ， . - 6 - （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 20.如图，在三棱柱 中， ，平面 平面 . （1）求证： ； （2）若 ，求 . 21.如图所示 1，已知四边形 ABCD 满足 ， ，E 是 BC 的 中点.将 沿着 AE 翻折成 ，使平面 平面 AECD ， F 为 CD 的中点， 如图所示 2. - 7 - （1）求证： 平面 ； （2）求 AE 到平面 的距离. 22.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是边长为 2 的正三角 形， , . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）设 是棱 上的点，当 平面 时，求二面角 的余弦值. - 8 - 数学试题答案 一、单选题 1. A 2.【答案】B 3.【答案】 C 4.【答案】 B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】 A 9.【答案】B 10.【答案】 B 11.【答案】 A 12.【答案】B 二、填空题 13. 2 14. 15. 16. 三、解答题 17.（1）解：如图所示： 于 H，连接 ， 平面 平面 ， ，故 平面 ， 平面 ， 故 ，易知 为正方形，故 ， ， 故 平面 ， 平面 ，故 . （2）解： ， 故 . （3）解：如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系， - 9 - 则 ， ， ， ， 易知平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，得到 ，故 ， 观察知二面角 的平面角为钝角，故余弦值为 . 18. 解： （Ⅰ）正方形 ABCD 边长为 1,PA=1, ， 所以 ，即 ， - 10 - 根据直线和平面垂直的判定定理，有 平面 . （Ⅱ）如图，以 A 为坐标原点，直线 分别 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐 标系. 则 ， 由(1)知 为平面 ACD 的法向量, ， 设平面 ACE 的法向量为 ， 则 令 ,则 , 设二面角 的平面角为 ,则 = ， 又有图可知， 为锐角， 故所求二面角的余弦值为 19.解：（Ⅰ） 证明：（Ⅰ）因为平面 面 ，平面 平面 ， , 平面 ,所以 平面 又 平面 ，所以 - 11 - 又 ， ，所以 面 又 面 ，所以平面 平面 （Ⅱ）取 DC 的中点 O，连接 MO，由 DM＝MC 得 MO⊥DC。 又 MO⊥BC，所以 MO⊥平面 ABCD，如图建立空间直角坐标系 则 M（0，0，1），A（2，-1，0），B（2，1，0） , . 设 是平面 MAB 的一个法向量 则 即 可取 ， 是平面 MCD 的一个法向量 平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是 20.（1）证明：因为平面 AA1C1C⊥平面 ABC ， 交线为 AC ， 又 BC⊥AC ， 所以 BC⊥平面 AA1C1C ， 因为 C1C 平面 AA1C1C ， 从而有 BC⊥C1C ． 因为∠A1CC1＝90°，所以 A1C⊥C1C ， 又因为 BC∩A1C＝C ， 所以 C1C⊥平面 A1BC ， A1B 平面 A1BC ， 所以 CC1⊥A1B ． （2）解：如图，以 C 为坐标原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直 角坐标系 C-xyz ． - 12 - 由∠A1CC1＝90°，AC＝ AA1 得 A1C＝AA1 ． 不妨设 BC＝AC＝ AA1＝2， 则 B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)， 所以 ＝(0，－2，0)， ＝(－2，－1，1)， ＝(2，－2，0)， 设平面 A1BC1 的一个法向量为 ， 由 · ＝0， · ＝0，可取 ＝(1，0，2)． 设平面 ABC1 的一个法向量为 ， 由 · ＝0， · ＝0，可取 ＝(1，1，3)． cosá ， ñ＝ ＝ ， 又因为二面角 A1-BC1-A 为锐二面角， 所以二面角 A1-BC1-A 的余弦值为 21. （1）证明：如图，连接 ，取 的中点 ,连接 , 在四边形 ABCD 中，由 ， ，E 是 BC 的中点， 易得四边形 、四边形 均为平行四边形，可得 , 均为等边三角形， - 13 - 在等边 中，F 为 CD 的中点，可得 ,且 ,故 , 在等边 , 为 的中点，故 ,又平面 平面 AECD ， 平面 平面 ,且 平面 ，故可得： 平面 AECD ， 故： ,由 ， ， 平面 ， 平面 ， 故： 平面 （2）解：如图，连接 ,取 的中点 点，连接 , 由（1）得： 平面 AECD ， 故 , 且易得四边形 为平行四边形， ，由 ,可得 , 由 ,且 平面 , 平面 ,可得 平面 ， ,易得 ，且 点为 的中点， 故 ,又 ,且 平面 , 平面 , 故 平面 ，易得 AE 到平面 的距离即为点 G 到平面 的距离， 在 中， ，可得 , 即 AE 到平面 的距离为 . - 14 - 22.解：（I）取 中点 ，连接 ， ，因为 是边长为 2 的正三角形，所以 ， ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 . （Ⅱ）连接 交 于 ，连接 ， ∵ 平面 ，∴ ， 又 为 的中点，∴ 为 的中点. 以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 由 得 取 ，得 . 由图可知，平面 的一个法向量 ， ∴ ， ∴二面角 的余弦值为