2020-2021学年河南鲁山县第一高级中学高二上学期9月月考数学（文）试题 Word版

- 1 - 河南鲁山县第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考数学（文）试题 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 { | 2 1}A x x   ， 2{ | lg(2 )}B x y x x   ，则 ( )RC A B  （ ） A [1,2) B. (1,2) C． (2,3) D． (0,1] 2．已知命题 :p “关于 x 的方程 2 4 0x x a   无实根”，若 p 为真命题的充分不必要条件为 3 1a m  ，则实数 m 的取值范围是（ ） A．[1, ) B． (1, ) C． ( ,1) D． ( ,1] 3．给出以下几个结论： ①命题 :p x R  ， 21 1x  ，则 0:p x R   ， 2 01 1x  ②命题“若 ( 1) 1 0xx e   ，则 0x  ”的逆否命题为：“若 0x  ，则 ( 1) 1 0xx e   ” ③“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件 ④若 0 2x   ，则 4sin sinx x  的最小值为 4 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 4．函数   ln | | |sin |f x x x  （ ,x    且 0x  ）的大致图像是（ ） A． B． C． D． 5．已知点 P 为不等式 3 0 2 0 0 x y x y y          所表示的可行域内任意一点，点  1, 3A  ，O 为坐标 原点，则 OA OP OP    的最大值为（ ）A． 3 B．1 C．2 D． 1 2 6．已知 a b c  ， 2 0a b c   ，则 c a 的取值范围是（ ） - 2 - A． 3 1c a     B． 11 3 c a     C． 2 1c a     D． 11 2 c a     7．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一条渐近线被圆  2 22 4x y   所截得 的弦长为 2，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 8．若直线 3 0kx y k   与不等式组 4 0 2 2 0 x y x x y          表示的平面区域有公共点，则实数 k 的取 值范围是（ ） A． 10, 2      B． 30, 2      C． 3 ,2    D． ,1 9．已知区间 ( , )a b 是关于 x 的一元二次不等式 2 2 1 0mx x   的解集，则3 2a b 的最小值 是（ ） A． 3 2 2 2  B．5 2 6 C． 5 62  D．3 10．已知实数 a，b 满足不等式  22 1 1a b   ，则点  1, 1A  与点  1, 1B   在直线 1 0ax by   的两侧的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 4 3 11．已知 aR ，若实数 x 、 y 满足 2 3lny x x   ，则    2 22a x a y    的最小值为 （ ） A．3 2 B． 2 2 C．8 D．18 12．边长为 2 的两个等边 ,ABD CBD  所在的平面互相垂直，则四面体 ABCD 的外接球的 表面积为（ ） A． 6 B． 6 C．16 D． 20 3  二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知函数 ( 0)xy a b b   的图像经过点 (1,3)P ，则 4 1 1a b  的最小值为 . 14．观察下列等式: - 3 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 1 2 3 6 1 2 3 4 10             … 照此规律, 第 n 个等式可为 . 15．已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边， sin cos 6b A a B      ， 2a c  ， 则边 b 的最小值为______. 16．关于 x 的方程 2 3 1 0xx x e b    恰好有 3 个实数根，则实数b 的取值范围是 __________. 三、解答题（共 70 分） 17．（本小题 10 分）已知集合  2 3 4 0A x x x    ，  2 24 5 0B x x mx m    . （1）若集合  5 1B x x    ，求此时实数 m 的值； （2）已知命题 :p x A ，命题 :q x B ，若 p 是 q的充分条件，求实数 m 的取值范围. 18．（本小题 12 分）已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时 间长，如表： 时间长（小时） [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)  20,25 女生人数 4 11 3 2 0 男生人数 3 17 6 3 1 （1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长； （2）时间长为[0,5) 的 7 名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率； （3）若时间长为[0,10) 被认定“不依赖手机”， 10,25 被认定“依赖手机”，根据以上数据 完成 2 2 列联表： 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 男生 - 4 - 总计 能否在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？ 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    ） 19．（本大题 12 分）在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 ,O EC  底面 , ,ABCD G F 分别为 ,EO EB 中点，且 2AB CE . （1）求证：CG 平面 BDE ； （2）若 1AB  ，求三棱锥 F ACE 的体积. 20．（本小题 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 2cos : 3 sin x C y     ( 为参数)，以 原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程 πcos( )4     ，点 π( 2, )4M 在直线l 上，直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点． （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程；（2）求 OAB 的面积． 21．（本小题 12 分）已知函数    2 0, 0f x x a x b a b      . （1）当 1a b  时，解不等式   2f x x  ； - 5 - （2）若函数  f x 的值域为 2, ，求 2 24 2 a b b a  的最小值. 22．（本小题 12 分）已知函数    21 02 xf x axe ax ax a    . （1）求函数  f x 的单调区间； （2）当 0a  时，函数  f x 在  ,0 上的最小值为  g a ，若不等式    lng a ta a   有 解，求实数t 的取值范围。 - 6 - 数学（文科）试卷答案 1-5．ABBDB 6-10．ACBCA 11-12．CD 13． 9 2 14． ， 15．1 16． 50, e      17．（1）    2 24 5 0 5 1B x x mx m x x        ， 所以，方程 2 24 5 0x mx m   的两根分别为 5 和1， 由韦达定理得 2 5 1 4 5 1 5 m m         ，解得 1m  ； （2）    2 3 4 0 1 4A x x x x x        ，由于 p 是 q的充分条件，则 A B . 当 0m  时，  2 0B x x    ，此时 A B 不成立； 当 0m  时，    2 24 5 0 5B x x mx m x m x m        ， A B ，则有 5 1 4 m m      ，解得 4m≥ ； 当 0m  时，    2 24 5 0 5B x x mx m x m x m        ， A B ，则有 1 5 4 m m     ，解得 1m   . 综上所述，实数 m 的取值范围是    , 1 4,   . 18．（1）  1 2.5 7 7.5 28 12.5 9 17.5 5 22.5 1 950           ， 所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时． （2）时间长为 0,5 的有 7 人，记为 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 、G ，其中女生记为 A 、 B 、 C 、D ，从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有： ,A B ， ,A C ， ,A D ， ,A E ，  ,A F ， ,A G ， ,B C ， ,B D ， ,B E ， ,B F ， ,B G ， ,C D ， ,C E ， ,C F ，  ,C G ， ,D E ， ,D F ， ,D G ， ,E F ， ,E G ， ,F G 共 21 个． 设事件 M 表示恰有一位女生符合要求的事件有： ,A E ， ,A F ， ,A G ， ,B E ， ,B F ，  ,B G ， ,C E ， ,C F ， ,C G ， ,D E ， ,D F ， ,D G 共 12 个． - 7 - 所以恰有一个女生的概率为   12 4 21 7P M   ． （3） 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 15 5 20 男生 20 10 30 总计 35 15 50  2 2 50 15 10 5 20 0.397 2.07215 35 20 30K        ， 不能在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系． 19．(1)∵    EC  底面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，∴    EC BD ， ∵    BD AC ，且 AC CE C  ，∴    BD  平面 ACE ， ∵    CG  平面 ACE ，∴    CG BD ， 在正方形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点O ，且 2AB CE ，∴ 1    2CO AC CE  ， 在 OCE 中，G 是 EO 中点，∴CG EO ， ∵    EO BD E  ，∴    CG  平面 BDE ； （2）∵    1AB  ，∴ 2    2EC  ，∵   F 是 EB 中点，且 EC  底面 ABCD ， ∴ 1 1 1 1 1 1 2 2    1 12 2 2 3 6 2 2 24F ACE B ACE E ABC ABCV V V S CE              . 20.（1）将曲线 2cos : 3 sin x C y     ，消去参数 得，曲线C 的普通方程为 2 2 14 3 x y  ， ∵点 2, 4M      在直线 cos 4        上，∴ π π2 cos( ) 24 4     ， ∴ cos( ) 24     ，展开得 2 ( cos sin ) 22      ， 又 cosx   ， siny   ，∴直线l 的直角坐标方程为 2 0x y   ， - 8 - 显然l 过点 (1,1) ，倾斜角为 3 4  ，∴直线 l 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数）． （2）由（1），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 2 21 2 1 2(1 ) (1 ) 14 2 3 2t t    ，整理得 27 2 2 10 0t t   ，显然   ， 设 ,A B 对应的参数为 1t ， 2t ，则由韦达定理得 1 2 2 2 7t t   ， 1 2 10 7t t   ， 由参数t 的几何意义得 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 10 12 2| | | | ( ) 4 ( ) 47 7 7AB t t t t t t          ， 又原点 (0,0)O 到直线l 的距离为 | 0 0 2 | 2 2 d    ， 因此， OAB 的面积为 1 1 12 2 12| | 22 2 7 7S AB d     ． 21，（1）根据题意得原不等式为 1 2 2x x x     . 当 2x ≤ 时，则有1 2 2x x x     ，解得 3x   ，此时 3x   ； 当 2 1x   时，则有1 2 2x x x     ，解得 1x   ，此时 1 1x   ； 当 1x  时，则有 1 2 2x x x     ，解得 1 3x  ，此时 1x  . 综上所述，不等式   2f x x  的解集为 3x x   或 1x   ； （2）   2 2 2f x x a x b x a x b a b          ，当且仅当   2 0x a x b   时等 号成立， 0a  ， 0b  ，函数  y f x 的值域为 2, ，即 2 2a b  .   2 2 2 2 2 24 4 42 2 2 22 2 2 a b a b a ba b b ab a b a b a                             2 22 2 4 2 2 2 2 2a b a b       ， 当且仅当 2 1a b  时取等号，因此， 2 24 2 a b b a  的最小值为 2 . 22．（1）由   21 2 xf x axe ax ax   ， - 9 - 得         ' 1 1 1 1x xf x a x e x a x e         ， ①当 0a  时， 令   0f x  ，得   1 1 0xx e   ， 所以 1 0 1 0x x e      ，或 1 0 1 0x x e      ，即 1 1x x e     或 1 1x x e     ， 解得 0x  或 1x   ． 令   0f x  ，得   1 1 0xx e   ， 解得 1 0x   ． 所以函数  f x 的单调递增区间为  , 1  ，  0, ；单调递减区间为  1,0 ． ②当 0a  时， 令   0f x  ，得   1 1 0xx e   ，由①可知 1 0x   ； 令   0f x  ，得   1 1 0xx e   ，由①可知 1x   或 0x  ． 所以函数  f x 的单调递增区间为  1,0 ；单调递减区间为 , 1  ， 0, ． 综上可得， 当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 , 1  ， 0, ；单调递减区间为 1,0 ． 当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 1,0 ；单调递减区间为 , 1  ， 0, ． （2）由（1）可知若 0a  ，则当  ,0x  时，函数  f x 在 , 1  上单调递减，在 1,0 上单调递增， 所以     1 1 1 11 2 2g a f ae a a ae             ， 所以不等式    lng a ta a   有解等价于  1 1 ln2 a ta ae        有解， 即  ln1 1 2 at e a    有解 ( 0)a  ， 设    ln ( 0)xx xx    ，则     2 1 ln' xx x    ， 所以当  ,x e   时，  ' 0x  ，  x 单调递减， 当  ,0x e  时，  ' 0x  ，  x 单调递增， 所以  x 的极小值也是最小值，且最小值为    ln 1ee e e      ， - 10 - 从而 1 1 1 1 2 2 2t e e e      ， 所以实数 t 的取值范围为 1 2 ,2 e     ．