2020-2021学年河南鲁山县第一高级中学高二上学期9月月考数学（理）试题 （解析版）

- 1 - 河南鲁山县第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考数学（理）试题 一、选择题（共 12 小题）. 1．设集合 A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，则 A∩B＝（ ） A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．已知角 α 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P （ ），则 sin α 的值是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数在定义域上是增函数的是（ ） A．y＝ B．y＝log x C．y＝（ ）x D．y＝x3 4．已知向量 ＝（2，3）， ＝（m，4），若 共线，则实数 m＝（ ） A．﹣6 B． C． D．6 5．首项为 2，公比为 3 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则（ ） A．3an＝2Sn﹣2 B．3an＝2Sn+2 C．an＝2Sn﹣2 D．an＝3Sn﹣4 6．下列命题中，错误的是（ ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 7．已知 tan α ，tan β 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两实根，则 tan（ α + β ）＝（ ） A． B． C． D． 8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） - 2 - A． π B． C． D． 9．已知函数 f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则 m＝f（log23），n＝f（log25），r＝f （1）的大小关系正确的是（ ） A．m＞n＞r B．n＞m＞r C．m＞r＞n D．r＞m＞n 10．关于函数 f（x）＝sin（2x+ ）（x ∈ R），给出下列命题： （1）函数 f（x）在（ ， ）上是增函数； （2）函数 f（x）的图象关于点（ ，0）（k ∈ Z）对称； （3）为得到函数 g（x）＝sin2x 的图象，只要把函数 f（x）的图象上所有的点向右平行移 动 个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．如图，边长为 1 的等边△ABC 中，AD 为边 BC 上的高，P 为线段 AD 上的动点，则 的取值范围是（ ） A.[﹣ ，0] B．[0， ] C．[﹣ ，+∞] D．[﹣ ，0] 12．下列四个说法中，错误的是（ ） ① 若 a，b 均为正数，则 ； ② 若 x ∈ （0， ），则 sinx+ 的最小值为 2； ③ 若 a＞b＞1，则 ； ④ a＞b＞0，则 a+ ＞b+ ． - 3 - A． ①②③ B． ①③ C． ②③ D． ②④二、填空题（共 4 小题）. 13．已知 sin（ ﹣ α ）＝ ，则 cos2 α ＝ ． 14．等比数列{an}中，a1＝1，q＝﹣3，则 a5＝ （用数字作答） 15．若关于 x 的不等式 2 2 3 0ax x   的解集为 3 1x x   ，则实数 a ______. 16．若三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA＝2，SB＝3，SA＝4，则此三棱锥的外接 球的表面积是 ． 三、解答题：共 70 分． 17．设平面向量 ＝（1，﹣2）， ＝（3，4）． （Ⅰ）求|3 ﹣ |的值； （Ⅱ）若 ＝（2，3）且（ +t ）⊥ ，求实数 t 的值． 18．已知函数 f（x）＝2sin2x+2 sinxcosx． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若 x ∈ [0， ]，求函数 f（x）的值域． 19．在正项等比数列{an}中，a4＝16，且 a2，a3 的等差中项为 a1+a2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn＝log2a2n﹣1，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求数列{ }的前 n 项和 Tn． - 4 - 20．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosC＝acosB+bcosA． （Ⅰ）求角 C； （Ⅱ）若△ABC 的面积为 ，且 a+b＝5，求 c． 21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝ ，BC＝ AD，Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点． （Ⅰ）设平面 PBQ∩平面 PCD＝直线 l，求证：l∥BQ； （Ⅱ）若平面 PAD⊥底面 ABCD，PA＝PD＝2，BC＝1，CD＝ ，三棱锥 P﹣MBQ 的体 积为 ，求 的值． - 5 - 22．已知函数      2 2 4f x x a x a R     . （1）解关于 x 的不等式   4 2f x a  ； （2）若对任意的  0,4x ，   1 0f x a   恒成立，求实数 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1．设集合 A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}，则 A∩B＝（ ） A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 解：∵集合 A＝{x|x＜3}，B＝{1，2，3，4}， ∴A∩B＝{1，2}． 故选：C． 2．已知角 α 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P （ ），则 sin α 的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sin α 的值． 解：角 α 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P （ ）， 则 sin α ＝ ， 故选：D． 3．下列函数在定义域上是增函数的是（ ） A．y＝ B．y＝log x C．y＝（ ）x D．y＝x3 【分析】判断每个选项函数在其定义域上的单调性即可． 解： 在定义域上没有单调性， 和 在定义域上都是减函数，y＝x3 在定义域 R 上是增函数． - 6 - 故选：D． 4．已知向量 ＝（2，3）， ＝（m，4），若 共线，则实数 m＝（ ） A．﹣6 B． C． D．6 【分析】利用向量平行的性质直接求解． 解：∵向量 ＝（2，3）， ＝（m，4）， 共线， ∴ ， 解得实数 m＝ ． 故选：C． 5．首项为 2，公比为 3 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则（ ） A．3an＝2Sn﹣2 B．3an＝2Sn+2 C．an＝2Sn﹣2 D．an＝3Sn﹣4 【分析】根据等比数列的前 n 项和公式进行计算． 解：因为 a1＝2，q＝3， 所以 Sn＝ ＝ ， 所以 3an＝2Sn+2， 故选：B． 6．下列命题中，错误的是（ ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 【分析】平行于同一条直线的两个平面平行或相交； 由面面平行的判定定理，可得结论； 由面面平行的性质定理，可得结论； 利用反证法，可得结论． 解：平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即 A 不正确； 由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即 B 正确； 由面面平行的性质定理，可得一个平面与两个平行平面相交，交线平行，即 C 正确； - 7 - 利用反证法，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即 D 正确． 故选：A． 7．已知 tan α ，tan β 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两实根，则 tan（ α + β ）＝（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果． 解：tan α ，tan β 是一元二次方程 x2+2x﹣5＝0 的两实根， 则：tan α +tan β ＝﹣2，tan α •tan β ＝﹣5， 故 ＝ ． 故选：D． 8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A． π B． C． D． 【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积 公式，可得答案． 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥， 其底面面积 S＝ ＝ ， 高 h＝1， 故半圆锥的体积 V＝ ＝ ， 故选：D． 9．已知函数 f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则 m＝f（log23），n＝f（log25），r＝f （1）的大小关系正确的是（ ） A．m＞n＞r B．n＞m＞r C．m＞r＞n D．r＞m＞n - 8 - 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得 f（﹣x）＝f（x），即（﹣x﹣1）（﹣ax+1）＝ （x﹣1）（ax+1），变形分析可得 a 的值，结合二次函数的性质可得 f（x）在区间（0，+ ∞）上为增函数，据此分析可得答案． 解：根据题意，函数 f（x）＝（x﹣1）（ax+1）为偶函数，则 f（﹣x）＝f（x）， 即（﹣x﹣1）（﹣ax+1）＝（x﹣1）（ax+1）， 变形可得：（a﹣1）x＝0，则有 a＝1， 则 f（x）＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，为开口向上的二次函数，在区间（0，+∞）上为增 函数， 又由 log25＞log23＞1，则有 n＞m＞r， 故选：B． 10．关于函数 f（x）＝sin（2x+ ）（x ∈ R），给出下列命题： （1）函数 f（x）在（ ， ）上是增函数； （2）函数 f（x）的图象关于点（ ，0）（k ∈ Z）对称； （3）为得到函数 g（x）＝sin2x 的图象，只要把函数 f（x）的图象上所有的点向右平行移 动 个单位长度．其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】（1），由 x ∈ （ ， ）时，可得 2x+ ，由 y＝sinx 的 单调性即可判断； （2），由 2x+ ＝k π 可得 x＝ ，k ∈ Z，即可判断； （3），根据函数 f（x）的图象平行移动规则即可判断． 解：对于（1），x ∈ （ ， ）时，2x+ ，y＝sinx 在（﹣ ， ）上不是增函数，故错； 对于（2），由 2x+ ＝k π 可得 x＝ ，k ∈ Z，可得函数 f（x）的图象关于点（ ， 0）（k ∈ Z）对称，故正确； 对于（3），函数 f（x）的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度可得 sin[2（x﹣ ） + ]＝sin2x，故正确； - 9 - 故选：C． 11．如图，边长为 1 的等边△ABC 中，AD 为边 BC 上的高，P 为线段 AD 上的动点，则 的取值范围是（ ） A．[﹣ ，0] B．[0， ] C．[﹣ ，+∞] D．[﹣ ，0] 【分析】可设 ，且 ，它们的夹角为 60°，然后设 ＝ λ ， λ∈ [0，1]，然后结合向量的加减法运算，将 表示为关于 λ 的函数的形式， 问题即可解决． 解：由已知设 ，则 ，且＜ ＞＝60°， 由等边三角形的性质可知： ，故可设 ， 所以 ＝（ ） ， 所以 ＝ ＝ ， λ∈ [0，1]． 易知 时，原式取最小值 ； λ ＝0 或 1 时，原式取最大值 0． 故则 的取值范围是 ． 故选：A． 12．下列四个说法中，错误的是（ ） ① 若 a，b 均为正数，则 ； ② 若 x ∈ （0， ），则 sinx+ 的最小值为 2； ③ 若 a＞b＞1，则 ； ④ a＞b＞0，则 a+ ＞b+ ． A． ①②③ B． ①③ C． ②③ D． ②④【分析】利用不等式的性质以及基本不等式判断选项的正误即可． - 10 - 解： ① 若 a，b 均为正数，则 ；满足基本不等式的性质，所以 ① 正确． ② 若 x ∈ （0， ]，则 sinx+ ≥2，当且仅当 x＝ 时，表达式取得最小值为 2；导数 条件缺少 x＝ ，所以 ② 不正确； ③ ∵a＞b＞1，∴ ＞1， ＞ 即 ＞ ，1﹣ ＞1﹣ ，即 ． 所以 ；不正确；所以 ③ 不正确； ④ a＞b＞0，可知 ，所以 a+ ＞b+ ．所以 ④ 正确； 故选：C． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题纸上． 13．已知 sin（ ﹣ α ）＝ ，则 cos2 α ＝ ﹣ ． 【分析】由已知利用诱导公式可求 cos α ＝ ，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解． 解：∵sin（ ﹣ α ）＝cos α ＝ ， ∴cos2 α ＝2cos2 α ﹣1＝2×（ ）2﹣1＝﹣ ． 故答案为：﹣ ． 14．等比数列{an}中，a1＝1，q＝﹣3，则 a5＝ 81 （用数字作答）． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 解：∵a1＝1，q＝﹣3， ∴a5＝（﹣3）4＝81． 故答案为：81． 15. －1 16．若三棱锥 S﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA＝2，SB＝3，SA＝4，则此三棱锥的外接 球的表面积是 29 π ． 【分析】将此三棱锥放在长方体中，由长方体的对角线等于其外接球的直径可得外接球的 半径，再由球的表面积公式可得球的表面积． 解：由题意可得将该三棱锥放在长方体中，且长方体的长宽高分别为 SA＝2，SB＝3，SA ＝4， 设外接球的半径为 R， - 11 - 再由长方体的对角线等于其外接球的直径可得（2R）2＝22+32+42＝29， 所以 4R2＝29，所以外接球的表面积 S＝4 π R2＝29 π ， 故答案为：29 π ． 16 ． 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn ﹣ Sn+1 ＝ SnSn+1 （ n ∈ N* ） ， 且 a1 ＝ 1 ， 则 an ＝ ． 【分析】利用已知条件推出 是等差数列，然后求解通项公式，即可求解 an． 解：数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn+1＝SnSn+1（n ∈ N*）， 可得 ＝1，所以 是等差数列，首项为 1，公差为 1，所以 ＝n， Sn＝ ， an＝ ＝ ，n≥2，（n ∈ N*）， 所以 an＝ ， 故答案为： ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设平面向量 ＝（1，﹣2）， ＝（3，4）． （Ⅰ）求|3 ﹣ |的值； （Ⅱ）若 ＝（2，3）且（ +t ）⊥ ，求实数 t 的值． 【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得 3 ﹣ 的坐标，可得它的 模． （Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得 t 的值． 解：（Ⅰ）∵向量 ＝（1，﹣2）， ＝（3，4）， ∴3 ﹣ ＝（ 0，﹣10），∴|3 ﹣ |＝ ＝10． （Ⅱ）若 ＝（2，3）且（ +t ）⊥ ， ∵ +t ＝（1+3t，﹣2+4t），∴（ +t ）• ＝2（1+3t）+3（﹣2+4t）＝18t﹣4＝0， - 12 - ∴实数 t＝ ． 18．已知函数 f（x）＝2sin2x+2 sinxcosx． （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若 x ∈ [0， ]，求函数 f（x）的值域． 【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求 得 f（x）的最小正周期． （Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，即可求解． 解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin2x+2 sinxcosx＝1﹣cos2x+ sin2x＝2sin（2x﹣ ）+1， ∴函数 f（x）的最小正周期 T＝ ＝ π ． （Ⅱ）∵x ∈ [0， ]， ∴2x﹣ ∈ [﹣ ， ]， ∴sin（2x﹣ ） ∈ [﹣ ，1]， ∴f（x）＝2sin（2x﹣ ）+1 ∈ [0，3]，即函数 f（x）的值域为[0，3]． 19．在正项等比数列{an}中，a4＝16，且 a2，a3 的等差中项为 a1+a2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn＝log2a2n﹣1，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求数列{ }的前 n 项和 Tn． 【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{an}的公比为 q（q＞0），由已知列关于首项与公比的方程 组，求得首项与公比，则通项公式可求； （Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入 bn＝log2a2n﹣1，可得数列{bn}是等差数列，求得 Sn，再由 裂项相消法求数列{ }的前 n 项和 Tn． 解：（Ⅰ）设正项等比数列{an}的公比为 q（q＞0）， 由题意可得 ，解得 ． ∴数列{an}的通项公式为 ； （Ⅱ）由 bn＝log2a2n﹣1＝log222n﹣1＝2n﹣1． 可得 b1＝1，又 bn+1﹣bn＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2， - 13 - ∴数列{bn}是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则 ． ∴ ． 则 ＝ ． 20．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosC＝acosB+bcosA． （Ⅰ）求角 C； （Ⅱ）若△ABC 的面积为 ，且 a+b＝5，求 c． 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有 2sinCcosC＝sinAcosB+sinBcosA， 再结合正弦的两角和公式与 A+B+C＝ π ，可知 2sinCcosC＝sinC，从而解得 cosC＝ ，再 结合 C 的范围即可得解； （Ⅱ）由 知， ，解出 ab 的值后，利用平方和公式求 出 a2+b2，最后根据余弦定理 c2＝a2+b2﹣2abcosC 即可得解． 解：（Ⅰ）由正弦定理知， ＝ ＝ ， 因为 2ccosC＝acosB+bcosA，所以 2sinCcosC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC． 因为 sinC≠0，所以 cosC＝ ， 因为 C ∈ （0， π ），所以 C＝ ． （Ⅱ）由 知， ，所以 ab＝6， 又 a+b＝5，所以 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13， 由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝13﹣2×6× ＝7， 所以 c＝ ． 21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝ ，BC＝ AD，Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点． （Ⅰ）设平面 PBQ∩平面 PCD＝直线 l，求证：l∥BQ； （Ⅱ）若平面 PAD⊥底面 ABCD，PA＝PD＝2，BC＝1，CD＝ ，三棱锥 P﹣MBQ 的体 积为 ，求 的值． - 14 - 【分析】（Ⅰ）推导出四边形 BCDQ 为平行四边形，CD∥BQ，从而直线 BQ∥平面 PCD， 由此能证明 l∥BQ． （Ⅱ）推导出 BC⊥QB，PQ⊥AD，PQ⊥BC，从而 BC⊥平面 PBQ，进而平面 BCP⊥平面 PQB，过 M 作⊥PB 于 E，则 ME⊥平面 PBQ，点 M 到平面 PQB 的距离 h＝ME，由三棱 锥 P﹣MBQ 的体积为 ，求出 h＝ ，由此能求出 ． 解：（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，BC＝ AD，Q 为 AD 的中点， ∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ， ∵BQ ⊄ 平面 PCD，CD ⊂ 平面 PCD， ∴直线 BQ∥平面 PCD， ∵BQ ⊂ 平面 PBQ，且平面 PBQ∩平面 PCD＝直线 l， ∴l∥BQ． （Ⅱ）解：∵∠ADC＝90°，四这形 BCDQ 为平行四边形，∴BC⊥QB， ∵PA＝PD＝2，Q 为 AD 的中点，∴PQ⊥AD， ∵平面 PAD⊥底面 ABCD，且平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，PQ ⊂ 平面 PAD， ∴PQ⊥平面 PAD，∴PQ⊥BC， ∴BC⊥平面 PBQ， ∵BC ⊂ 平面 MQB，∴平面 BCP⊥平面 PQB， 过 M 作 ME⊥PB 于 E，则 ME⊥平面 PBQ， ∴点 M 到平面 PQB 的距离 h＝ME， ∵三棱锥 P﹣MBQ 的体积为 ， ∴VP﹣MBQ＝VM﹣BPQ＝ ， - 15 - 解得 h＝ ， ∵BC∥ME，∴M 为 PC 的中点， ∴ ＝ ． 22．解：（1）∵   4 2f x a  ， ∴  2 2 2 0x a x a    ， 即  2 0x a x   ； 当 2a  时，不等式解集为 2x a x  ； 当 2a  时，不等式解集为 2x x  ； 当 2a  时，不等式解集为 2x x a  . 综上所述，当 2a  时，不等式解集为 2x a x  ； 当 2a  时，不等式解集为 2x x  ； 当 2a  时，不等式解集为 2x x a  . （2）∵对任意的  0,4x ，   1 0f x a   恒成立， ∴  2 2 5 0x a x a     恒成立， 即  1 2 5a x x x    恒成立. 当 1x  时，不等式为 0 4 恒成立； 当  1,4x 时， 2 2 5 411 1 x xa xx x       ， ∵1 4x  ，∴ 0 1 3x   ， - 16 - ∴ 41 41x x    ，当且仅当 41 1x x    时，即 1 2x   ， 3x  时取“=”. ∴ 4a  . 当  0,1x 时， 2 2 5 4 41 11 1 1 x xa x xx x x                . ∵ 0 1x  ，∴ 0 1 1x   . 令 1t x  ，则  0,1t  ， ∵函数 4y t t       在 0,1 上单调递增， ∴当 1 1t x   ，即 0x  时，函数 4y t t       取到最大值－5， ∴ 5a   . 综上所述， a 的取值范围是 5,4 .