2020-2021学年湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟高二上学期期中考试数学试题 word版

3 湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟 2020-2021 学年高二上学期 期中考试数学试题 考试时间：11 月 24 日下午 15:00—17：00 试卷页数：共 6 页 全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知集合  2| , 2 0A x x N x x      ，则集合 A 的真子集．．．个数为 A．16 B．15 C．8 D．7 2．从装有除颜色外完全相同的 2 个黑球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A．至少有 1 个白球，都是黑球 B．至少有 1 个白球，至少有 1 个黑球 C．恰有 1 个白球，恰有 2 个白球 D．至少有 1 个白球，都是白球 3．对于常数 m n、 ， 0mn  是方程 2 2 1mx ny  的曲线是椭圆的 A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面与反面次数相等的概率为 A． 1 2 B． 3 8 C． 7 16 D． 5 16 5．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直 在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣， 通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量 仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有 的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年 5 月，中国珠峰高程测量 登山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图，在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇标高 12 米， 攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 60°，75°，则 A、B 的高度差为 A．  3 3 2 米 B．6 米 C． 6 3 米. D．12 米 6．已知直线l 过点 (3,3)P 且与点 ( 2,2)A  、 (4, 2)B  等距离，则直线l 的方程为 A．3 2 3 0x y   或 2 3 15 0x y   B． 2 3 3 0x y   或3 2 3 0x y   C． 2 3 3 0x y   或 2 3 15 0x y   D． 2 3 15 0x y   或 2 3 2 0x y   7．已知函数 2 2, 1( ) , 1 x xf x x x      ，若函数 1( ) ( ) 2g x f x mx m   的图象与 x 轴恰好有 3 个交点，则实 数 m 的取值范围为 A． 2 ,3     B． 2 ,43      C． 2 ,13      D．  1, 8．已知球O 与棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的各个面都相切，则平面 1ACD 截此球所得的截面 面积为 A． 3  B． 2 3  C． D． 4 3  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9.若函数  f x 对 , Ra b  ，同时满足：（1）当 0a b  时有     0f a f b  ；（2）当 0a b  时有     0f a f b  ，则称  f x 为  函数．下列函数中是  函数的为 A． 3( )f x x B． ( )f x x x C．   e +ex xf x  D．   0, 0 1 , 0 x f x xx    10.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA  底面 ABCD ，PA AB ，截面 BDE 与 直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是 A．E 为 PA 的中点 B． PB 与 CD 所成的角为 3  C． BD  平面 PAC D．三棱锥C BDE 与四棱锥 P ABCD 的体积之比等于1: 4 11．已知函数 ( ) sin(sin ) cos(cos )f x x x  ，下列关于该函数结论正确的是 A． ( )f x 的图象关于直线 x＝ 2  对称 B． ( )f x 的一个周期是 2 C． ( )f x 的最大值为 2 D． ( )f x 是区间(0， 2  )上的增函数 高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 4 12．已知正数 , ,x y z 满足 3 2 6x y z  ，下列结论正确的有 A． 6 2 3z y x  B． 1 1 1 x y z   C． 4x y z  D． 24xy z 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．某电子商务公司对 200 名网络购物者 2020 年上半年的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元） 都在区间[0.3, 0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物 者的人数为_______人． 14.函数 ( ) 2xf x e x a   ,若命题  : 1,1 , ( ) 0P x f x    是假命题,则实数 a的取值范围是_______． 15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点 ,A B 的距离之 比为定值  1   的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆, 在平面直角坐标系 xOy 中,    3,0 , 3,0A B ,点 P 满足 2PA PB  .则 PABV 的面积最大值为_______． 16.已知圆 2 2:( 7) 16C x y   ,过点 (5,0)M 作直线交圆C 于 ,A B 两点．若 (2,5)P ,则 PA PB uur uur 的最小 值为_______． 四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分 10 分) 在① 2 2 2b ac a c   ，② 3 cos sina B b A ，③ 3sin cos 2B B  ，这三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知 ABCV 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_________， 4A  ， 2b  ． （1）求角 B； （2）求 ABCV 的面积． 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． 18．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 的边长是 2 2 的正方形， PA PD ， PA PD ， F 为 PB 上的点，且 AF  平面 PBD . （1）证明： PD  平面 PAB ； （2）证明：平面 PAD  平面 ABCD ； （3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 19．(本小题满分 12 分) 已知向量 (cos4 ,sin2 )m x x ur ， 1( ,2) 2 sin(2 )4 n x   r ，函数 ( )f x m n ur r g ． （1）求函数 ( )f x 的定义域及其单调递增区间； （2）当 [ , ]4 3x   时，对任意t R ，不等式 2 2 ( )mt mt f x   恒成立，求实数 m 的取值范围． 20．(本小题满分 12 分)“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第 35 届菊花展 10 月 23 日至 11 月 16 日在点 军江南 URD 展出。重点展现我市花园城市建设成就，让市民有获得感、幸福感、成就感．在菊花造景、园 艺科技、品种展示上更具匠心、引人注目，并融入健康、生态、节能等理念，通过景意相融激发游客共鸣．期 间也吸引了不少优秀企业来宜投资宣传，从而促进宜昌经济快速发展．在此菊花展期间，某公司带来了一 种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放宜昌市场． 已知该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一台．．．．．需另投入 100 元，设该公司一年内生产该设备 x 万台，且全部售完，且每万台．．．的销售收入 ( )G x （万元）与年产量 x （万台）的函数关系式近似满足： 2 180 2 ,0 18 ( ) 2650 2700070 ,18 ( 25) x x G x x m mx x          （1）写出年利润 ( )W x (万元)关于年产量x （万台）的函数解析式．（年利润年销售收入总成本）； （2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大． 21.(本小题满分 12 分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增 加量 y （百斤）与使用某种液体肥料 x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图． 5 (1)依据数据的折线图，请计算相关系数 r （精确到 0．01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由； (2)过去 50 周的资料显示，该地周光照量 X （小时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周， 不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周．蔬菜大棚对光照要求较大， 某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量 X 限制， 并有如下关系： 周光照量 X （单位：小时） 30 50X  50 70X  70X  光照控制仪最多可运行台数 5 4 2 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制 仪周亏损 1000 元．若商家安装了 5 台光照控制仪，求商家在过去 50 周每周利润的平均值． 附：对于一组数据 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，……， ( , )n nx y ，其相关系数公式        n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( ))(( ， 回归直线 y bx a $ $ $的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1 1 22 2 1 1 ( )( ) , ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b a y b x x x x nx                    $ ，参考数据 55.03.0  ， 95.09.0  ． 22.(本小题满分 12 分)已知圆 2 2 1 : 2 15 0F x y x    和定点  2 1,0F ，其中点 1F 是该圆的圆心， P是圆 1F 上任意一点，线段 2PF 的垂直平分线交 1PF 于点 E，设动点 E的轨迹为C． （1）求动点 E的轨迹方程C ； （2）设曲线C与 x 轴交于 ,A B 两点，点 M 是曲线C上异于 ,A B 的任意一点，记直线 ,MA MB的斜率分 别为 MAk ， MBk ．证明： MA MBk kg 是定值； （3）设点 N 是曲线C上另一个异于 , ,M A B 的点，且直线 NB与 MA 的斜率满足 4 3NB MAk k ，试探究： 直线 MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由． 高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 6 2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考 数学试题参考答案 一、单项选择题： 1—5：DCBBC 6—8： ACA 二、多项选择题： 9.AB 10. ACD 11.ABD 12 .ABC 三、填空题: 13.120 14. 1 2 2a ee     15.12 16. 2 41 2 四、解答题： 17.解：若选择① 2 2 2b ac a c   ， （1）由余弦定理 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ， 因为 (0, )B  ，所以 3B  . ………………4 分 （2）由正弦定理 sin sin a b A B  得 2 sinsin 2 34 sin 33 2 b Aa B     ， ………………6 分 因为 ,4 3A B   ，所以 5 4 3 12C       ， 所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C                 ，………………8 分 所以 1 1 2 3 6 2 3 3sin 22 2 3 4 6ABCS ab C       △ . ………………10 分 若选择② 3 cos sina B b A . （1）由正弦定理得 3sin cos sin sinA B B A ， 因为sin 0A  ，所以 3 cos sin ,tan 3B B B  ， 因为 (0, )B  ，所以 3B  .； （2）（以下同①） 若选择③ 3sin cos 2B B  ， （1）由和角公式得 2sin 26B      ，所以sin 16B      . 因为 (0, )B  ，所以 7,6 6 6B        ， 所以 6 2B    ，所以 3B  ； （2）（以下同①） 18.证明：（1）∵ AF  平面 PBD , PD  平面 PBD , ∴ PD AF ,∵ PA PD PA AF A  ,∴ PD  平面 PAB ， ………………4 分 （2）由（1）知 PD  平面 PAB ∵ AB Ì平面 PAB ∴ PD AB . ∵ ABCD 是正方形,∴ AB AD ， ∵ PD AB , AD PD DI ,∴ AB  平面 PAD ， ∵ AB Ì平面 ABCD ,∴平面 PAD  平面 ABCD . ………………8 分 （3）取 AD 的中点 H ,连接 PH , BH ,∵ PA PD ,∴ PH AD , 7 ∵平面 PAD  平面 ABCD , PH  平面 PAD ， 平面 PAD I 平面 ABCD AD ,∴ PH  平面 ABCD ， ∴ BH 是 PB 在平面 ABCD 内的射影. ∴ PBH 就是 PB 与平面 ABCD 所成的角， ………………10 分 在等腰 Rt PAD 中,∵ 2 2AD  , H 是 AD 的中点,∴ 2PH  ， 在 Rt BAH 中,∵ 2AH  , 2 2AB  ， ∴ 10BH  ,∴ 2 2 2 3PB PH BH   ， ∴ 2 6sin 62 3 PHPBH PB     . ∴直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6 6 ………………12 分 19．解：（1） cos4( ) 2sin 2 2 sin(2 )4 xf x x x    …………………1 分 由 2 sin(2 ) 04x   得定义域 ,2 8 kx x x Z       ． …………………3 分 因为 2 2cos4 cos 2 sin 2( ) 2sin 2 2sin 2 cos2 sin 2sin 2 cos2 sin 2 cos2 x x xf x x x x xx x x x        2 sin(2 )4x   …………………5 分 由 2 2 22 4 2k x k        ， k Z ,解得 3 8 8k x k      ， k Z …………6 分 但 2 8 kx    ， k Z 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 3[ , )8 8k k    和 ( ,2 ]8 8k k    ， k Z ．……7 分 （此处没有考虑定义域扣 1 分） （2）由（1）得 ( ) 2 sin(2 )4f x x   ，因为 [ , ]4 3x   ，所以 3 112 [ , ]4 4 12x     ， 所以 max( ) 1f x  ， ………………8 分 则题目等价于 2 2 1mt mt   恒成立，即 2 1 0mt mt   恒成立 ……………9 分 当 0m  时，有1 0 恒成立 ……………10 分 当 0m  时，有 0m  且 2 4 0m m    ，得到  0,4m …………11 分 综上，  0,4m ． ……………12 分 20．解：（1） ( ) ( ) 100 50W x x G x x    ………………2 分 22 80 50,0 18 ( ) 2700030 2600,18 ( 25) x x x W x x x m mx              ………………4 分 （2）当 0 18x  时, 2 2( ) 2 80 50 2( 20) 750W x x x x        ,在 0,18 上单调递增 18x  时， ( )W x 取最大值 max( )W x  2 4 750 742    ………………6 分 当 18x  时, 27000( ) 2600 30W x x x    9002600 30( )x x    , (i) 25 30m  时， ( )W x 在 18,m 上单调递增，且 (25) 770 742W   高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 8 x m  时， max 900( ) ( ) 2600 30( )W x W m m m     ………………8 分 (ii) 30m  时，时， ( )W x 9002600 30 2 x x     800 max( ) 800( 30W x x   取“＝”） ………………10 分 综上所述 (i) 25 30m  时，当年产量为 m 万台时，该公司获得最大利润； (ii) 30m  时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润. ………………12 分 21. 解：（1）由已知数据可得 2 4 5 6 8 55x      ， 3 4 4 4 5 45y      …………1 分 因为 5 1 ( )( ) ( 3) ( 1) 0 0 0 3 1 6i i i x x y y              ， ………………2 分 ，52310)1()3()( 22222 5 1 2  i i xx 5 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 1) 0 0 0 1 2.i i y y          ……………………3 分 所以相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) 6 9 0.95102 5 2( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y               ． 因为 0.75r  ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ……………………4 分 因为 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x         $ 6 0.320   ， 2.5a y b x    $ ,所以回归直线方程 0.3 2.5y x  . ……6 分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去 50 周里： 70X  时，共有 10 周，只有 2 台光照控制仪 运行，周总利润 2 3000 3 1000 3000Y      元． ……………………8 分 当50 70X  时，共有 35 周，有 4 台光照控制仪运行，周总利润 4 3000 1 1000 11000Y      元． ……………………9 分 当 50X  时，共有 5 周， 5 台光照控制仪都运行，周总利润 5 3000 15000Y    元． …………10 分 所以过去 50 周每周利润的平均值 3000 10 11000 35 15000 5 980050Y       元，………………11 分 所以商家在过去 50 周每周利润的平均值为9800元． …………………12 分 22.解：（1）依题意可知圆 1F 的标准方程为 2 21 16x y   ，因为线段 2PF 的垂直平分线交 1PF 于点 E， 所以 2EP EF ，动点 E始终满足 1 2 1 24 2EF EF r F F     ， 故动点 E满足椭圆的定义,因此 2 4,2 2a c  ，解得 2, 3a b  ， ∴椭圆C的方程为 2 2 14 3 x y  ， ……………………4 分 （2）    2,0 , 2,0A B ），设  0 0,M x y ，则 2 02 0 0 0 2 2 0 0 0 0 3 34 2 2 2 4 4MA MB x y y yk k x x x x            …7 分 （3） 4 3NB MAk kQ ，由（2）中的结论 3 4MA MBk k   可知 3 3 4 4NB MBk k   ， 所以 1NB MBk k   ，即 NB MB ， 当直线 MN 的斜率存在时，可设 MN 的方程为    1 1 2 2, , , ,y kx b M x y N x y  ， 2 23 4 12 y kx b x y      ，可得 2 2 23 4 8 4 12 0k x kbx b     ， 则 1 2 2 2 1 2 2 0 8 3 4 4 12 3 4 kbx x k bx x k             （*）， …………………8 分 9            1 1 2 2 1 2 1 22, 2, 2 2BN BM x y x y x x kx b kx b              uuur uuur      2 2 1 2 1 21 2 4 0k x x kb x x b         ， 将（*）式代入可得 2 27 4 16 0b k kb   ， 即  2 2 7 0k b k b   ，亦即 2 0 2 7 0k b k b   或 …………………9 分 当 2b k 时，  2 2y kx k k x    ，此时直线 MN 恒过定点  2,0 （舍）； 当 2 7b k  时， 2 2 7 7y kx k k x       ，此时直线 MN 恒过定点 2 ,07      ； ……10 分 当直线 MN 的斜率不存在时，经检验，可知直线 MN 也恒过定点 2 ,07      ； ………11 分 综上所述，直线 MN 恒过定点 2 ,07      . …………………12 分