2020-2021学年湖北省襄阳市五校高二上学期期中考试数学试题 word版

1 2020—2021 学年上学期高二期中考试 数学试题 时间：120 分钟 分值：150 分 命题老师： 一、单项选择题（ 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ） 1.已知点 A  0,2 ，B  3,3  ，则直线 AB 的倾斜角为（ ） A. 30 B. 45 C. 120 D. 135 2.已知直线 012:1  ayxl 与 01)12(:2  ayxal 平行，则 a 的值是（ ）． A．0 或 1 B. 0 或 4 1 C. 1 或 4 1 D． 4 1 3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥 （如图所示）有“仙境之桥”之称，它 的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的 高度为5m ，跨径为12m，则桥形对应 的抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) m A. 5 18 B． 25 6 C． 9 5 D． 26 5 4.已知双曲线的一条渐近线方程为 xy 2 ，且经过点 )2,2( ，则该双曲线的标准方程为 （ ） A． 2 2 14 x y  B． 2 2 14 y x  C． 2 2 14 yx   D. 2 2 14 xy   5.已知抛物线 yx 42  内一点 )1,1(P ，过点 P 的直线l 交抛物线于 BA, 两点，且点 P 为弦 AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A. 032  yx B. 012  yx C. 012  yx D. 02  yx 6.已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x 的左右焦点分别为 21, FF ，焦距为 c2 ，直线 宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 南漳一中 2 )(3 cxy  与椭圆 C 的一个交点为 M（ M 在第一象限）满足 2112 2 FMFFMF  ， 则该椭圆的离心率为（ ） A. 2 2 B. 12  C. 13  D. 2 3 7.我国东南沿海一台风中心从 A 地以每小时 10km 的速度向东北方向移动，离台风中心 15km 内的地区为危险地区，若城市 B 在 A 地正北 20km 处，则 B 城市处于危险区内的时间为 （ ）小时 A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8.已知 2 2 1 13 4 12 0,x y   2 22 8 0x y   ，记    2 2 1 2 1 2M x x y y    ，则 M 的最小值 为（ ） A． 5 32 B． 5 4 C. 5 12 D. 5 16 二、多项选择题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 ，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.关于双曲线 1C ： 123 22  yx 与双曲线 2C ： 132 22  xy ，下列说法正确的是（ ） A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等 10.下列说法中正确的是（ ） A.直线 012  yx 与直线 032  yx 垂直. B.直线 0332)1(  myxm 恒过定点 )3,3( . C.点 )0,1( 关于直线 02  yx 的对称点为 )1,2( D.圆 422  yx 上有且仅有 3 个点到直线 02  yx 的距离等于 1. 11.经过椭圆 ）（ 012 2 2 2  ba b y a x 右焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 QP, 两点， 若 QP、 两点在 y 轴右侧，则椭圆的离心率取值可以为（ ） A. 3 1 B. 2 3 C. 2 1 D. 3 3 3 12．在平面上有相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上且满足 PBPA  （其中 ,0 且 1 ），则点 P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设 )0,(),0,( aBaA  ，a 为正实 数，下列说法正确的是（ ） A.当 2 时，此阿波罗尼斯圆的半径 ar 3 4 ； B.当 2 1 时，以 AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切； C.当 10   时，点 B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧； D.当 1 时，点 A 在阿波罗尼斯圆外，点 B 在圆内. 三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分）． 13.两平行线 0342:012: 21  yxlyxl 与 之间的距离为_________. 14. 已知双曲线 15 22  y m x 的焦距为 8，则实数 m 的值为________． 15. 点 M 为抛物线 xy 82  上的一点且在 x 轴的上方， F 为抛物线的焦点，以 Fx 为始边， FM 为终边的角  60xFM ，则 FM ________． 16. 已知圆 C 的方程为 ,222  yx 点 P 是直线 052  yx 上的一个动点，过点 P 作圆 C 的两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则四边形 PACB 的面积的最小值为________；直线 AB 过 定点________． 四、解答题（共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题 10 分）已知点 A(4,1),B( 6,3),C(3,0) ． （1）求 ABC 中 AC 边上的高所在直线的方程； （2）求 ABC 的面积． 18.（本小题 12 分）在①圆经过 )4,3(C ，②圆心在直线 02  yx 上，③圆截 y 轴所得 弦长为 8;这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆 E 经过点 A( 1,2),B(6,3), 且____________; (1)求圆 E 的方程； (2)已知直线l 经过点  2,2 ，直线l 与圆 E 相交所得的弦长为8 ，求直线l 的方程. 4 19．（本小题 12 分）已知椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 2 3 ，且经过点 )2 3,1( ， 21, FF 是椭圆的左、右焦点， （1）求椭圆 C 的方程； （2）点 P 在椭圆上，且 221  PFPF ，求 21 PFPF  的值. 20.（本小题 12 分）已知平面内点 ),0,(),0,4( xBA  以 AB 为直径的圆过点 ),0( yC ； （1）求点 ),( yxP 的轨迹 E 的方程； （2）过点 )0,1(F 且倾斜角为锐角的直线l 交曲线 E 于 NM , 两点，且 NFMF 2 ，求 直线l 的方程. 21.（本小题 12 分）已知 F 是抛物线C : 2 2y px ( 0)p  的焦点，  1,M t 是抛物线上一 点，且 3| | 2MF  . (1)求抛物线 C 的方程； (2)已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于 BA, 两点，若直线 BFAF, 的倾斜角互补，则 直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 22. （本小题 12 分）已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x 过点 E )3 32,1( ， 21, AA 为椭圆 的左右顶点，且直线 EAEA 21 , 的斜率的乘积为 3 2 . (1) 求椭圆 C 的方程； (2)过右焦点 F 的直线l 与椭圆 C 交于 M,N 两点，直线l 的垂 直平分线交直线l 于点 P，交直线 2x 于点 Q，求 MN PQ 的 最小值. 5 2020—2021 学年上学期高二期中考试 数学试题参考答案 一．单项选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C B A C B C B D 二．多项选择题 题号 9 10 11 12 选项 AD BCD BD AD 三．填空题 13. 2 5 14. 11 15. 8 16. ,6 )5 4,5 2(  (第一空 2 分，第二空 3 分） 四．解答题 17.（1） 143 10  ACk ， …………………2 分 所以 AC 边上的高线的斜率 1k ， …………………3 分 又 )3,6(B ，由点斜式的方程可得 AC 边上的高所在的直线方程为 )6(3  xy ， 即 03  yx 。 …………………5 分 (2)在 ABC 中，AC 边所在的直线为 03  yx ， 2AC …………………7 分 点 B 到此直线的距离 26 2 336 d ， …………………9 分 62622 1 ABCS …………………10 分 18.选条件① 设圆的方程为 022  FEyDxyx ，依题意有       04325 03645 025 FED FED FED …………………3 分 解得 15,2,6  FED …………………5 分 所以圆的方程为 0152622  yxyx …………………6 分 宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 南漳一中 6 设圆心到直线的距离为 d ，则弦长 342582 222  dddrL …………………8 分 当直线的斜率不存在时， 35 d ，所以直线的斜率存在，设其方程为 022),2(2  kyky 即 …………………9 分 3 1 2213 2    k kkd …………………10 分 解得 8 15,0  kk 所以所求直线的方程为 0148152  yxy 或 …………………12 分 （其他方法按同等步骤给分). 19.（1）依题意有 14 31,2 3 22  baa c ………………2 分 解得 1,2  ba …………………4 分 则椭圆的方程为 14 2 2  yx …………………5 分 （2） 1,3 2 4 21 21 21       PFPF PFPF PFPF …………………8 分 在 21FPF 中，由余弦定理 3 1cos 21  PFF …………………10 分 1)3 1(1321  PFPF ………………12 分 20. （1）以 AB 为直径的圆过点 C， 即 0),(),4(0  yxyBCAC ………………3 分 整理得： xy 42  ，即点 ),( yxP 的轨迹方程为 xy 42  ； ………………5 分 （2）设直线l 的方程为 1 myx ， ),(),,( 2211 yxNyxM 与抛物线联立得:      xy myx 4 1 2 消去 x 得到 0442  myy myy 421  ① 7 421 yy ② ………………7 分 又 NFMF 2 ，转化得 21 2yy  ③ ………………9 分 由①②③ 及 0m 得 4 2m ………………11 分 所以直线l 的方程为 2222  xy ………………12 分 21.（1）根据抛物线的定义， 12 3 21  ppMF ………………2 分 抛物线的方程为 xy 22  ………………4 分 （2）设直线l 的方程为 mkxy  ，设 ),(),,( 2211 yxByxA ，直线l 与抛物线的方程联立得 0)22( 2 222 2       mxkmxk xy mkxy k myykyy k m kmxx 2,2 ,22 2121 2 2 21221   ………………6 分 又 0 2 1 2 1,0 2 2 1 1      x y x ykk BFAF 即 ………………7 分 0)(2 1)(2 ,0)(2 1 212121 211221   yyxxmxkx yyyxyx ………………9 分 即 01222 22 2  kk kmmk mk 整理得： mk 2 ， ………………10 分 所以直线的方程为 )12(  xmy ………………11 分 即直线经过定点 )0,2 1( 。 ………………12 分 8 22.（1）依题意有， 13 41 22  ba 3 2 1 3 32 1 3 32  aa ， ………………2 分 解得 2,3 22  ba ………………3 分 椭圆的方程为 123 22  yx ………………4 分 （2）有题意知直线l 的斜率不为 0，设其方程为 1 myx 设点 ),(),,( 2211 yxNyxM 联立方程 044)32( 1 123 22 22       myym myx yx ，得到 32 4,32 4 221221    myym myy ………………5 分 由弦长公式 21 2 21 2 4)(1 yyyymMN  ，整理得 32 134 2 2   m mMN ………………7 分 又 32 3,32 2 2 22 21   mxm myyy PP 32 94121 2 2 22   m mmxmPQ P ………………9 分 1 94 12 3 2 2   m m MN PQ ………………10 分 令 1,12  tmt ，上式 3 15)54(12 354 12 3 2  ttt t 当 2 1,4 52  mt 即 时， MN PQ 取得最小值 3 15 。 ………………12 分 (其他方法按同等步骤给分).