2020-2021学年河南省长葛市第一高级中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 长葛市第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学试卷 一、单选题（共 20 题；共 40 分） 1.在直角坐标系 中，若直线 ： （t 为参数）过椭圆 C： （ 为 参数）的左顶点，则 （ ） A. B. -5 C. -2 D. -4 2.存在函数 f （x）满足：对于任意的 x∈R 都有 f（x2+2x）=|x+a|，则 a=（ ） A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 4 3.设数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 n 项和，已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.根据如下样本数据： x 2 3 4 5 6 7 y3.42.5 ﹣0.2 0.5﹣2.0 ﹣3.0 得到的回归方程为 ，则（ ） A. a＞0，b＜0 B. a＞0，b＞0 B． C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0 5.函数 的导函数是（ ） A. B. C. D. 6.已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 是它们 的一个交点，则 的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随 的变化而变 化 7.点 P 在曲线 上移动时，过点 P 的切线的倾斜角的取值范围是（ ） A. [0， π） B. C. D. 8.方程（x+y﹣1） =0 所表示的曲线是（ ） - 2 - A. B. C. D. 9.已知平面 及平面 同一侧外的不共线三 点 ，则“ 三点到平面 的距离都 相等”是“平面 平面 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要件 10.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 11.在△ABC 中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角 A=（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 12.已知 e 为自然对数的底数，函数 y=xex 的单调递增区间是（ ） A. [﹣1，+∞） B. （﹣∞，﹣1] C. [1，+∞） D. （﹣∞，1] 13.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体可以是( ) A. 圆柱 B. 圆台 C. 棱柱 D. 棱台 14.（1+x）n 的展开式中，xk 的系数可以表示从 n 个不同物体中选出 k 个的方法总数．下列各 式的展开式中 x8 的系数恰能表示从重量分别为 1，2，3，4，…，10 克的砝码（每种砝码各一 个）中选出若干个，使其总重量恰为 8 克的方法总数的选项是（ ） - 3 - A. （1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10） B. （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x） C. （1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+10x10） D. （1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）…（1+x+x2+…+x10） 15.数列 ，则此数列的第 项是（ ） A. B. C. D. 16.过原点作圆 （ 为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A. B. C. D. 17.命题“∀x∈R，均有 x2+sinx+1＜0”的否定为（ ） A. ∀∈R，均有 x2+sinx+1≥0 B. ∃x∈R，使得 x2+sinx+1＜0 C. ∃x∈R，使得 x2+sinx+1≥0 D. ∀x∈R，均有 x2+sinx+1＞0 18.如图，空间四边形 中， ， ， ， 点 M 在线段 OA 上，且 OM=2MA，点 N 为 BC 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 19.已知函数 f（x）在 x0 处的导数为 1，则 等于（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 20.函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共 10 题；共 10 分） 21.已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值为________． 22.定义在 R 上的函数 f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且 x∈（﹣2，0）时，f（x） =2x+ ，则 f（log220）=________． - 4 - 23.函数 y=x+ （x≠﹣1）的值域为________． 24.已知 ，其中 ， 满足 ，且 的最大值是最小值的 4 倍，则实数 的值是________． 25.若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为________ 26.设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为________ 27.计算：cos150°+cos（﹣150°）=________． 28.已知实数 满足条件 则 的最大值为________. 29.在一个由三个元件 A，B，C 构成的系统中，已知元件 A，B，C 正常工作的概率分别是 ， ， ，且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为： ________． 30.已知集合 ，且 ，则 ________． 三、解答题（共 6 题；共 50 分） 31.为贯彻落实教育部 6 部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中 学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行 春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了 20 名学生组成集训队，现统计了这 20 名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量） 身高（cm） 168174 175 176 178 182 185188 人数 1 2 4 3 5 1 3 1 （1）请计算这 20 名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图； - 5 - （2）身高为 185cm 和 188cm 的四名学生分别记为 A，B，C，D，现从这四名学生选 2 名担任 正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生 A 入选门将的概率． 32.已知不等式|x﹣2|≤1 的解集与不等式 2x2﹣ax+b＜0 的解集相同． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求函数 f（x）=a +b 的最大值及取得最大值时 x 的值． 33.已知 是抛物线 的焦点，点 是抛物线 上一点，且 . （1）求 t，p 的值； （2）过点 作两条互相垂直的直线，与抛物线 C 的另一交点分别是 A，B. ①若直线 的斜率为 ，求 的方程； ②若 的面积为 12，求 的斜率. 34.解答题 （1）求经过点的 P（ ， ），Q（ ，1）的椭圆的标准方程； （2）求与椭圆 + =1 有公共焦点，且离心率 e= 的双曲线的标准方程． 35.已知函数 ,(1)试判断函数 的单调性，并说明理由(2)若 恒成立，求实数 k 的取值范围 （1）试判断函数 的单调性，并说明理由； （2）若 恒成立，求实数 k 的取值范围． 36.某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经 过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队 3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对 为本队赢得 10 分，答错得 0 分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率 分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． （Ⅰ） 求ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率． - 6 - 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 D 2.【答案】 B 3.【答案】 B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】 B 7.【答案】 D 8.【答案】D 9.【答案】C 10.【答案】 D 11.【答案】 B 12.【答案】A 13.【答案】 B 14.【答案】 A 15.【答案】 B 16.【答案】 C 17.【答案】 C 18.【答案】 B 19.【答案】A 20.【答案】 B 二、填空题 21.【答案】 22.【答案】﹣1 23.【答案】（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞） 24.【答案】 25.【答案】 26.【答案】3 27.【答案】 28.【答案】 6 - 7 - 29.【答案】 30.【答案】 三、解答题 31.【答案】（1）解：由 20 名学生的身高统计表，得到这 20 名学生的身高的中位数为 177cm， 众数为 178cm， 茎叶图为： （2）解：正副门将的所有可能情况为： （A，B），（B，A），（A，C），（C，A），（A，D），（D，A），（B，C），（C，B）， （B，D），（D，B），（C，D），（D，C）， 共 12 种， 其中，学生 A 入选正门奖的（A，B），（A，C），（A，D）3 种可能， ∴学生 A 入选正门将的概率为 32.【答案】 解：（Ⅰ）不等式|x﹣2|≤1 的解集为{x|1≤x≤3}， 所以方程 2x2﹣ax+b=0 的两根为 x=1，x=3． ∴ 解得 a=8，b=6． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=8 +6 的=4 +6 ， 定义域为{x|3≤x≤ }． 所以（42+62）[（ ）2+（ ）2]≥（ +6 ）2 ， ． 则 f（x）≤3 ， 当且仅当 x= 时取等号． 故当 x= 时，f（x）的最大值为 3 ． 33.【答案】 （1）解：由抛物线定义得 ， ， - 8 - （2）解：设 方程为 ， ， 与抛物线方程联立得 由韦达定理得： ，即 类似可得 ①直线 的斜率为 ， 或 ， 当 时， 方程为 ， 此时直线 的方程是 。同理，当 时，直线 的方程也是 ， 综上所述：直线 的方程是 ② 或 或 34.【答案】 （1）解：设椭圆的方程为 mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0．m≠n） ∵经过两点 P（ ， ），Q（ ，1）， ∴ m+3n=1. m+n=1， ∴m=1，n= ， ∴经过点的 P（ ， ），Q（ ，1）的椭圆的标准方程 =1 （2）解：∵椭圆 + =1 的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0）， 设双曲线方程为 =1（a＞0，b＞0）， 则 a2+b2=25， ∵双曲线的离心率等 e= = ，∴a=4 ∴b2=c2﹣a2=9． 故所求双曲线方程为 =1 - 9 - 35.【答案】 （1）解： 故 在 递减 （2）由 得 记 ， 再令 ，则 时 h(x)在 上递增。 ， 从而 故 在 上也单调递增 , 36.【答案】解：由题意知，ξ的可能取值为 0，10，20，30， 由于乙队中 3 人答对的概率分 别为 ， ， ， P（ξ=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ， P（ξ=10）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ） × = = ， P（ξ=20）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × + ×（1﹣ ）× = = ， P（ξ=30）= × × = ， ∴ξ的分布列为： ξ 0 10 20 30 P ∴Eξ=0× +10× +20× +30× = ． （Ⅱ）由 A 表示“甲队得分等于 30 乙队得分等于 0”，B 表示“甲队得分等于 20 乙队得分等于 10”，可知 A、B 互斥． - 10 - 又 P（A）= = ，P（B）= × × = ， 则甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）= =