2020-2021学年湖北省鄂州市部分高中联考协作体高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 湖北省鄂州市部分高中联考协作体 2020-2021 学年高二上学期期中 考试数学试卷 考试时间：2020 年 11 月 20 日上午 8：00---10：00 满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1. 下列四面体中，直线 EF 与 MN 可能平行的是 A. B. C. D. 2. 若异面直线 分别在平面 内，且 ，则直线 A. 与直线 都相交 B. 至少与 中的一条相交 C. 至多与 中的一条相交 D. 与 中的一条相交，另一条平行 3. 在一组样本数据中，1，4，m，n 出现的频率分别为 .1 ， .1 ， .㤵 ， .㤵 ，且样本平均值为 2.㔠 ，则 ㈹ 㠮 ‵ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 㤵. 已知数列 㠮 满足： 1 ‵ 2 , 㠮㈹1 ‵ 1 − 1 㠮 ，设数列 㠮 的前  㠮 项和为 㠮 ，则 21 ‵ A. 1007 B. 1008 C. 1.㔠 D. 1010 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第 ! 语法错误， 页，共 11 页 2 㔠. 正方体 ܤܥ − 1ܤ11ܥ1 的棱长为 4，E，F 为 1 ， ܤ11 的中点，点 P 是面 ABCD 上一动点， ‸ ‵ 3 ， 则 FP 的最小值为 A. 21 B. 22 C. 2 D. 5 . 若无穷等差数列 㠮 的首项 1 ，公差 公 ， 㠮 的前 n 项和为 㠮 ，则 A. 㠮 单调递减 B. 㠮 单调递增 C. 㠮 有最大值 D. 㠮 有最小值 . 设 m，n 为空间两条不同的直线， ， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 若 ， ㈠㈠ ，则 若 ， 㠮 ， ㈠㈠ ， 㠮㈠㈠ ，则 ㈠㈠ 若 ㈠㈠ ， 㠮㈠㈠ ，则 ㈠㈠㠮 若 ， 㠮㈠㈠ ， ㈠㈠ ，则 㠮 ． 其中所有正确命题的序号是 A. B. C. D. 8. 已知直线 ㈹ 2ʹ − 㤵 ‵ 与直线 2 ㈹ ʹ ㈹ ㈹ 3 ‵ 平行，则它们之间的距离为 A. 㔠 B. 1 C. 3 㔠 2 D. 3 1 2 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. ， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 其中正确的命题有 A. 如果 㠮 ， ， 㠮㈠㈠ ，那么 ． B. 如果 ， 㠮㈠㈠ ，那么 㠮 ． C. 如果 ㈠㈠ ， ，那么 ㈠㈠ ． D. 如果 ㈠㈠㠮 ， ㈠㈠ ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等． 10. 在数列 㠮 中，如果对任意 㠮 都有 㠮㈹2−㠮㈹1 㠮㈹1−㠮 ‵ ‴‴ 为常数 ，则称 㠮 为等差比数列，k 称为公 差比 . 下列说法正确的是 3 A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为 0 C. 若 㠮 ‵− 3 㠮 ㈹ 2 ，则数列 㠮 是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 11. 下列命题中是真命题的有 A. 有 A，B，C 三种个体按 3 ︰ 1 ︰ 2 的比例分层抽样调查，如果抽取的 A 个体数为 9，则样本容 量为 30 B. 一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 某一组样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区 间 [11㤵.㔠,12㤵.㔠] 内的频率为 .㤵 12. 如图，正方体 ܤܥ − 1ܤ11ܥ1 的棱长为 a，线段 ܤ1ܥ1 上有两个动点 E，F，且 ᦙ ‵ 2 2 ，以下 结论正确的有 A. ܤB. 点 A 到平面 BEF 的距离为定值 C. 三棱锥 − ܤᦙ 的体积是正方体 ܤܥ − 1ܤ11ܥ1 体积的 1 12D. 异面直线 AE，BF 所成的角为定值 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列 㠮㠮㈹1 2 就是二阶等差数列， 数列 㠮㠮㈹1 2 ， 㠮 的前 3 项和______． 14. 某公司共有 3 个部门，第 1 个部门男员工 60 人、女员工 40 人，第 2 个部门男员工 150 人、女员 工 200 人，第 3 个部门男员工 240 人、女员工 160 人．若按性别用分层抽样的方法从这 3 个部门 选取 51 人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______． 15. 过点 − 3,2 ， ܤ − 㔠, − 2 ，且圆心在直线 3 − 2ʹ ㈹ 㤵 ‵ 上的圆的半径为______． 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第 ! 语法错误， 页，共 11 页 㤵 16. 若直线 l： ‴ − ʹ − 2 ‵ 与曲线 C： 1 − ʹ − 1 2 ‵ − 1 有两个不同的交点，则实数 k 的取值 范围是____________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 如图，在三棱柱 ܤ1ܤ11 中， 1 ‵ ， 1ܤ 1 ，设 O 为 1 与 1 的交点，点 P 为 BC 的中点．求证： 1‸㈠㈠ 平面 ܤܤ11 ； 2 平面 1 平面 OCP． 18. 如图，在矩形 ABCD 中， ܥ ‵ 2 ， ܤ ‵ 㤵 ，E，F 分别为边 AB，AD 的中点．现将 ܥ 沿 DE 折起，得四棱锥 − ܤܥ ． 1 求证： ᦙ㈠㈠ 平面 ABC； 2 若平面 ܥ 平面 BCDE，求四面体 FDCE 的体积． 19. 如图，在直三棱柱 ܤ − 1ܤ11 中， ܤ 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，O，M 分别为 BC， 1 的中点． 1 证明： ㈠㈠ 平面 ܤ11 ． 2 若四边形 ܤܤ11 是面积为 4 的正方形，求点 M 到平面 ܤ11 的距离． 20. 某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下 单位： 分 ： [㤵,㔠 ，4； [㔠, ，6； [, ，20； [, ，30； [, ，24； [,1] ，16． 1 列出频率分布表； 㔠 2 画出频率分布直方图； 3 估计本次考试成绩的中位数 精确到 .1 ． 21. 已知数列 㠮 的前 n 项和为 㠮 ， 㠮 ‵ 㠮 2 ㈹ 㠮 ㈹ ㈹ 1 ,㠮 ． 1 若 ‵ 2 ，求数列 㠮 的通项公式； 2 若数列 㠮 是等差数列， 㠮 ‵ 㠮㈹1 㠮㠮㈹1 ，数列 㠮 的前 n 项和为 㠮 ，是否存在 㠮 ，使得 㠮㠮㈹1 ‵ 3 㠮 ㈹ 1 ？若存在，求出所有满足条件的 n 的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在四棱锥 ‸ − ܤܥ 中，底面 ABCD 是梯形， ܥ㈠㈠ܤ ， ܤ ‵ ܥ ‵ ܥ ‵ 1 2 ܤ ‵ 2 ， ‸ܤ ． 1 证明：平面 ‸ܤ 平面 ABCD； 2 若 ‸ ‵ 㤵 ， ‸ܤ ‵ 2 3 ，求二面角 ܤ − ‸ − ܥ 的余弦值． 2020 秋季鄂州市部分高中联考协作体期中考试 高二数学答案 【答案】 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第 ! 语法错误， 页，共 11 页 1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. BCD 10. BCD 11. BD 12. ABC 13. 10 14. 24 15. 1 16. 㤵 3 ,2 17. 解： 1 因为在平行四边形 11 中，O 为 1 与 1 的交点， 所以 O 为 1 的中点． 又因为点 P 为 BC 的中点， 所以 ‸㈠㈠1 B.-----------------------------------------------------3 分 又 ‸ 平面 ܤܤ11 ， 1ܤ 平面 ܤܤ11 ， 所以 ‸㈠㈠ 平面 ܤܤ11 ．-------------------------5 分 2 由 1 知 ‸㈠㈠1ܤ ，又 1ܤ 1 ， 所以 1 ‸ ， 在平行四边形 11 中， 1 ‵ ， 所以四边形 11 为菱形，所以 1 1 ， 又 OP， 1 平面 OCP，且 ‸ 1 ‵ ， 所以 1 平面 OCP，-------------------------8 分 又 1 平面 1 ， 所以平面 1 平面 OCP．-------------------10 分 18. 1 证明：取线段 AC 的中点记为 M，连接 MF、MB， ᦙ 为 AD 的中点， ᦙ㈠㈠ܥ ，且 ᦙ ‵ 1 2 ܥ ， 在折叠前，四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点， ܤ㈠㈠ܥ ，且 ܤ ‵ 1 2 ܥ ， ᦙ㈠㈠ܤ ，且 ᦙ ‵ ܤ ， 四边形 BEFM 为平行四边形， ᦙ㈠㈠ܤ ．--------------------------------------------4 分 又因为 ᦙ 平面 ABC， ܤ 平面 ABC， ᦙ㈠㈠ 平面 ABC；---------------------------------------6 分 2 在折叠前，四边形 ABCD 为矩形， ܥ ‵ 2 ， ܤ ‵ 㤵 ，E 为 AB 的中点， ܥ 、 ܤ 都是等腰直角三角形，且 ܥ ‵ ‵ ܤ ‵ ܤ ‵ 2 ， ܥ ‵ ܤ ‵ 㤵㔠 ，且 ܥ ‵ ‵ 2 2 ， 又 ܥ ㈹ ܥ ㈹ ܤ ‵ 1 ， ܥ ‵ ，即 ܥ ， 又因为平面 ܥ 平面 BCDE， 平面 ܥ 平面 ܤܥ ‵ ܥ ， 平面 BCDE， 平面 ADE，即 CE 为三棱锥 − ᦙܥ 的高，---------------------10 分 ᦙ 为 AD 的中点， ᦙܥ ‵ 1 2 1 2 ܥ ‵ 1 㤵 2 2 ‵ 1 ， 四面体 FDCE 的体积为： ‵ 1 3 ᦙܥ ‵ 1 3 1 2 2 ‵ 2 2 3 ．-------12 分 19. 解： 1 证明：如图， 连接 ܤ1 ，交 ܤ1 于点 N，连接 1 ，ON，则 N 为 ܤ1 的中点． 因为 O 为 BC 的中点，所以 ㈠㈠ܤܤ1 ，且 ‵ 1 2 ܤܤ1 ， 又 1 ㈠㈠ܤܤ1 ， 1 ‵ 1 2 ܤܤ1 ， 所以 1 为平行四边形，即 ㈠㈠1 ， 因为 平面 ܤ11 ，所以 ㈠㈠ 平面 ܤ11 ；-------------------4 分 2 解：因为四边形 ܤܤ11 是面积为 4 的正方形， 所以 ܤ ‵ ܤܤ1 ‵ 2. 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第 ! 语法错误， 页，共 11 页 连接 AO，因为 ܤ ‵ ，O 为 BC 的中点，所以 ܤ.因为三棱柱 ܤ − 1ܤ11 是直三棱柱，所以 ܤܤ1 ， 又 ܤ ܤܤ1 ‵ ܤ ，所以 平面 ܤܤ11 C. 由 1 可知 ㈠㈠1 ， 所以点 M 到平面 ܤ11 的距离等价于点 O 到平面 ܤ11 的距离，-------8 分 设点 O 到平面 ܤ11 的距离为 h， 在 1ܤ1 中， ܤ1 ‵ 2 2 ， 1 ‵ ， 1ܤ1 ‵ 2 ， 所以 ܤ1 2 ‵ 1 2 ㈹ 1ܤ1 2 ，从而 1ܤ1 ‵ 1 2 2 ‵ 3 ， 所以 − 1ܤ1 ‵ 1 3 1ܤ1 ‵ 3 3 ， 又因为 − 1ܤ1 ‵ 1 −ܤ1 ‵ 1 3 ܤ1 ‵ 1 3 1 2 1 2 1 ‵ 1 3 ， 所以 ‵ 3 3 ， 所以点 M 到平面 ܤ11 的距离为 3 3 ． -----------------------------------------12 分 20. 解： 1 由题意列出频率分布表如下：------4 分 成绩分组 频数 频率 频率 ㈠ 组距 [㤵,㔠 4 .㤵 .㤵 [㔠, 6 . . [, 20 .2 .2 [, 30 .3 .3 [, 24 .2㤵 .2㤵 [,1] 16 .1 .1 合计 100 1 .1 2 画出频率分布直方图，如下：------------8 分 3 由频率分布直方图得： [㤵, 的频率为： .㤵 ㈹ . ㈹ .2 ‵ .3 ， [, 的频率为 .3 ， 估计本次考试成绩的中位数为： ㈹ .㔠−.3 .3 1 . ． ------------------------12 分 21. 解： 1 当 ‵ 2 时， 㠮 ‵ 㠮 2 ㈹ 㠮 ㈹ 3 ． 当 㠮 ‵ 1 时， 1 ‵ 1 ‵ 㔠 ；------------------2 分 当 㠮 2 时， 㠮 ‵ 㠮 − 㠮−1 ‵ 2㠮 ． 经检验， 1 ‵ 㔠 不符合上式， 故数列 㠮 的通项公式 㠮 ‵ 㔠,㠮 ‵ 1 2㠮,㠮 2 ,------------㤵 分 2 当 㠮 ‵ 1 时， 1 ‵ 1 ‵ 3 ㈹ ； 当 㠮 2 时， 㠮 ‵ 㠮 − 㠮−1 ‵ 2㠮 ． 因为数列 㠮 是等差数列， 所以 3 ㈹ ‵ 2 ，解得 ‵− 1 ， 因为 㠮 ‵ 2㠮 ， 㠮 ‵ 㠮 2 ㈹ 㠮 ． 则 㠮 ‵ 2 㠮㈹1 㠮 㠮㈹1 2 ㈹㠮㈹1 ‵ 2 㠮㈹1 㠮 㠮㈹1 㠮㈹2 ‵ 2 㠮 㠮㈹2 ‵ 1 㠮 − 1 㠮㈹2 ，-------------------8 分 故 㠮 ‵ 1 ㈹ 2 ㈹ ... ㈹ 㠮 ‵ 1 − 1 3 ㈹ 1 2 − 1 㤵 ㈹ 1 3 − 1 㔠 ㈹ ... ㈹ 1 㠮 − 1 㠮㈹2 鄂州市部分高中联考协作体高二数学试卷 第 ! 语法错误， 页，共 11 页 1 ‵ 1 ㈹ 1 2 − 1 㠮 ㈹ 1 − 1 㠮 ㈹ 2 ‵ 3 2 − 1 㠮 ㈹ 1 − 1 㠮 ㈹ 2 所以 㠮㠮㈹1 ‵ 㠮 ㈹ 1 㠮 ㈹ 2 3 2 − 1 㠮㈹1 − 1 㠮㈹2 ‵ 3 㠮㈹1 㠮㈹2 2 − 㠮 ㈹ 2 − 㠮 ㈹ 1 ‵ 3 㠮㈹1 㠮㈹2 2 − 2㠮 ㈹ 3 ． 令 㠮㠮㈹1 ‵ 3 㠮 ㈹ 1 ，整理得 3㠮 2 − 㠮 − ‵ ，所以 㠮 ‵ 3 ， 故存在 㠮 ‵ 3 满足题意．-------------------------------------------12 分 22. 解： 1 证明：过点 A 作 BC 的垂线交 BC 于点 G， 因为 ܥ㈠㈠ܤ ， ܤ ‵ ܥ ‵ ܥ ‵ 1 2 ܤ ‵ 2 ， 所以 ܤᦙ ‵ 1 ，则 ܤᦙ ‵ 3 ， ܤᦙ ‵ ， 四边形 ABCD 为等腰梯形，且 ܥ ‵ ܥ ， 易知 ܤ ‵ ܥ ‵ 3 ， 所以 ܤ ‵ ，即 ܤ ，--------------------------3 分 因为 ‸ܤ ， ‸ܤ ܤ ‵ ܤ ，PB， ܤ 平面 PAB， 所以 平面 PAB， 因为 平面 ABCD， 所以平面 ‸ܤ 平面 ABCD；-----------------------------6 分 2 因为 ‸ ‵ 㤵 ， ‸ܤ ‵ 2 3 ， ܤ ‵ 2 ， 则 ‸ 2 ‵ ‸ܤ 2 ㈹ ܤ 2 ，所以 ‸ܤ ܤ ， 由 1 知平面 ‸ܤ 平面 ABCD，平面 ‸ܤ 平面 ܤܥ ‵ ܤ ， ‸ܤ 平面 PAB， ‸ܤ 平面 ABCD， 又 ‸ܤ 平面 PBC， 平面 ‸ܤ 平面 ABCD， 过点 D 作 ܥ ܤ 于 E， 11 又平面 ‸ܤ 平面 ܤܥ ‵ ܤ ， ܥ 平面 ABCD， 则 ܥ 平面 PBC， 过 E 作 ᦙ ‸ 交 PC 于 F，连接 DF， ܥ 平面 PBC， ‸ 平面 PBC， 故 DE ‸ ， 又 ᦙ ‸ ， ܥ ᦙ ‵ ，DE， ᦙ 平面 DEF， 故 ‸ 平面 DEF， 有 ܥᦙ 平面 DEF，则 ܥᦙ ‸ ， 则 ܥᦙ 为所求二面角的平面角，--------------------------10 分 在梯形 ABCD 中，求得 ܥ ‵ 3 ， 在 ‸ܤ 中，求得 ᦙ ‵ 3 ， 在 ܥᦙ 中，求得 ܥᦙ ‵ 2 ， 在 ܥᦙ 中，求得 cosܥᦙ ‵ ᦙ ܥᦙ ‵ 3 2 ‵ 2 㤵 ， 故二面角 ܤ − ‸ − ܥ 的余弦值为 2 㤵 ． ----------------------------=12 分