2020-2021学年黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学高二上学期期中考试 数学（理） word版

1 黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学（理） 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 （1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（60 分，每题 5 分） 1．椭圆 2 2 19 25 x y  的焦点坐标是（ ） A． 5,0 ， 5,0 B． 0, 5 ， 0,5 C． 4,0 ， 4,0 D． 0, 4 ， 0,4 2．下列说法正确的是（ ） A．若命题 p ， q 都是真命题，则命题“ p q  ”为真命题 B．命题“若 0xy  ，则 0x  或 0y  ”的否命题为“若 0xy  ，则 0x  或 0y  ” C．“ 1x   ”是“ 2 5 6 0x x   ”的必要不充分条件 D．命题“ x R  ， 2 0x  ”的否定是“ 0x R  ， 02 0x  ” 3．对于实数 m，“1 2m  ”是“方程 2 2 1 2 x y m m    1 表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     的两条渐近线互相垂直，且焦距为 2 6 ，则抛物线 2 2y bx 的准线方程为（ ） A． 3x   B． 3 2x   C． 3y   D． 3 2y   5．已知命题 : , 1 lgp x R x x    ，命题 1: (0, ),sin 2sinq x x x     ，则下列判断正确的是 A． p q 是假命题 B． p q 是真命题 C． ( )p q  是假命题 D． ( )p q  是真命题 6．已知等差数列{ }na 的公差为 2，若 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则{ }na 前 10 项的和为（ ） A．10 B．8 C．6 D．-8 7．设圆  2 21 25x y   的圆心为C ，点 ( )1,0A 是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的 垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点 M 的轨迹方程为（ ） A． 2 24 4 121 25 x y  B． 2 24 4 121 25 x y  C． 2 24 4 125 21 x y  D． 2 24 4 125 21 x y  8．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点  1 1,M x y ，  1 1,N x y  在椭圆 C 上，若 1 12 3MF NF ，且 1 120MF N   ，则椭圆C 的离心率为（ ）． A． 7 5 B． 5 7 C． 7 10 D． 2 5 7 9．已知椭圆 2 2 2 2: 1x yM a b   ( 0)a b  ，过 M 的右焦点 (3,0)F 作直线交椭圆于 A，B 两点，若 AB 中点坐标为 (2,1) ，则椭圆 M 的方程为（ ） A． 2 2 19 6 x y  B． 2 2 14 x y  C． 2 2 112 3 x y  D． 2 2 118 9 x y  10．设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，倾斜角为钝角的直线l 过点 F 且与曲线C 交于 BA, 两点， 若 3 16AB ，则l 的斜率为( ) A． B． C． D． 2 11．已知点 P 为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     右支上一点，点 1F ， 2F 分别为双曲线的左右焦点， 点 I 是 1 2PF F 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S    成立，则双曲 线的离心率取值范围是( ) A． 1, 2 B． 2,  C．1, 2 D． 2, 12．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， 1 2,F F 分别是椭圆 的左、右焦点，且 1F AB 的面积为 2 3 2  ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 1 2 1 1 PF PF  的取值范 围为（ ） A．[1,2] B．[ 2, 3] C．[ 2,4] D．[1,4] 第Ⅱ卷 填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13．抛物线 22y x  的焦点坐标是__________． 14．若命题“  0 1,1x   ， 2 0 03 0x x a   ”为假命题，则实数 a 的取值范围是______. 15．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，点 P 为抛物线C 上任意一点，若点  4,2A ，则 PF PA 的最小值为___________； 16．设抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于 ,A B 两 点，分别过 ,A B 作l 的垂线，垂足 ,C D .若 2AF BF ，且三角形CDF 的面积为 2 ，则 p 的 值为___________. 三、解答题（写出文字说明或演算步骤，共 70 分） 17.（10 分）（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为  2 3,0F  ，且长轴长是短轴长的 2 倍，求 该椭圆的标准方程； （2）已知双曲线焦点在 y 轴上，焦距为 10，双曲线的渐近线方程为 2 0x y  ，求双曲线的方程． 18．（12 分） 已知 p :方程 2 22 2mx y m  表示焦点在 x 轴上的椭圆.； q:不等式 2 2 1 0mx x   有解. （1）若 q为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数 m 的取值范围. 19．（12 分）设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和.已知 3 75, 49a S  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 20．（12 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，且椭圆C 的右顶点到直线 2 0x y   的距离为 3. （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点  2,0P ，且斜率为 1 2 的直 线l 与椭圆C 交于 A ， B 两点，求 OAB 的面积(O 为坐标原点). 21．（12 分）已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，点 P（1， 2 2 ）在椭圆 C 上， 直线 l 过椭圆的右焦点与椭圆相交于 A，B 两点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）在 x 轴上是否存在定点 M，使得 ·MA MB  为定值？若存在，求定点 M 的坐标；若不在，请说 明理由． 22．（12 分）点 ( , )P x y 与定点 (1,0)F 的距离和它到直线 : 4l x  距离的比是常数 1 2 . （1）求点 P 的轨迹方程； （2）记点 P 的轨迹为 C ，过 F 的直线l 与曲线C 交于点 ,M N ，与抛物线 2 4y x 交于点 ,A B ， 设 ( 1,0)D  ，记 DMN 与 DAB 面积分别是 1 2,S S ，求 2 1 S S 的取值范围. 3 一．DDBBD ADADD BD 13. 10, 8     14． , 4  15． 5 16． 2 3 3 17.解：（1）由题意，该椭圆的焦点在 x 轴，设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， ∴  22 2 2 2 2 2 3 a b a b     ，解得 4 2 a b    ， ∴该椭圆的标准方程为 2 2 116 4 x y  ； （2）由题意，设双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b     ，设焦距为 2c， ∴ 2 2 2 1 2 2 10 a b c a b c        ，解得 5 2 5 5 a b c       ， ∴该双曲线的方程为 2 2 15 20 y x  ． 18.（1）当 0m  时，不等式显然有解，当 0m  时， 2 1 0x - > 有解.当 0m  时，因为 2 2 1 0mx x   有解，所以 4 4 0m    ，所以 1 0m   .所以当 q为真命题时，m 的取值范 围为 ( 1, )  . （2）因为“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，所以 p 与 q必然一真一假. 若 p :方程 2 22 2mx y m  表示焦点在 x 轴上的椭圆为真命题， 方程可化为 2 2 12 x y m   ，则需 0 2m  . 由(1)知，若 q为真，则 1m   . 所以 0 2 1 m m      或 0    2 1 m m m      或 ， 解得 1 0m   或 2m  . 所以实数 m 的取值范围为 ( 1,0] [2, )  . 19. （1）设等差数列 na 的公差为 d ， 由题意可得 1 1 2 5 7 67 492 a d a d     ，解得 1 1 2 a d    ， 所以 na 的通项公式为 2 1na n  ；  2 由  1 得    1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n          ， 从而 1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 2 1 2 1                          nT n n 1 112 2 1 2 1 n n n        20. （1）因为椭圆C 的右顶点到直线 2 0x y   的距离为 3， 所以 2 3 2 a   ，解得 2 2a  . 因为椭圆C 的离心率为 3 2 ，所以 3 2 c a  ， 所以 6c  ，所以 2 2 2b a c   . 故椭圆C 的方程为 2 2 18 2 x y  . （2）由题意可知直线 l 的方程为 2 2x y  ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立 2 2 2 2 18 2 x y x y     ，整理得 22 2 1 0yy    ， 则 1 2 1y y   ， 1 2 1 2y y   ， 4 从而    2 2 1 2 1 2 1 2 14 1 4 32y y y y y y              . 故 OAB 的面积 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 32 2 2 2S OP y OP y OP y y          . 21. 解：（1）椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ， 可得 2 2 ce a   ， 2 2 2a b c  ， 点 21, 2P       在椭圆C 上，可得 2 2 1 1 12a b   ， 解得 2a  ， 1b c  ， 椭圆 C 的标准方程为： 2 2 12 x y  ； （2）假设在 x 轴上存在定点  ,0M m ，使得 MA MB  为定值. 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 椭圆的右焦点为 1,0 ，设直线 AB 的方程为  1y k x  ， 联立椭圆方程 2 22 2x y  ，化为 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     ， 则 2 1 2 2 4 1 2 kx x k    ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k    ，    1 1 2 2, ,MA MB x m y x m y              2 1 2 1 2 1 2 1 21 1x m x m y y x m x m k x x              2 2 2 2 1 2 1 21 k x x m k x x m k           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41 1 2 1 2 k kk m k m kk k           2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 k m m m k       .令  2 22 4 1 2 2m m m    ，解得 5 4m  ，可得 2 72 16MA MB m      ，因此在 x 轴上存在定点 5 ,04M      ，使得 MA MB  为定值 7 16  . 22.（1）依题意有 2 2( 1) 1 4 2 x y x    ， 化简得： 2 23 4 12x y  ，故 1C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （2）依题意 2 1 ABS S MN  ， ①当l 不垂直于 x 轴时，设l 的方程是   1 0y k x k   ， 联立   2 1   4 y k x y x      ，得  2 2 2 22 4 0k x k x k    ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 2 1 2 2 2 4kx x k   ，  2 1 2 2 4 1 2 k AB x x k      ； 联立   2 2 1   3 4 12 0 y k x x y        得：  2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 设  3 3,M x y ，  4 4,N x y ， 则 2 3 4 2 8 3 4 kx x k    ， 2 3 4 2 4 12 3 4 kx x k   ，      2 22 3 4 3 4 2 12 1 1 4 3 4 k MN k x x x x k         ， 5 则 2 2 2 1 2 3 4 4 1 4 ,3 3 3 ABS k S MN k k           ， ②当l 垂直于 x 轴时，易知 AB 4 ， 22 3bMN a   ， 此时 1 2 4 3 ABS S MN   综上， 2 1 S S 的取值范围是 4 ,3    .