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2020——2021 学年上期期中试卷
高二 文科数学 命题人：王丽 审题人：秦静
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）
1．数列 1，−
，
，−
，
，……的一个通项公式 an＝（ ）
A．
〲〸
B．−
C．
〲〸
〲
D．
2．若 a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．
＜
B．ab＞b2 C．
D．a2x＞b2x
3．已知△ABC 中内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，a＝14，b＝16，A＝45°，则满足
条件的三角形有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 个或 2 个
4．下列判断正确的是（ ）
A．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“
∀
x∈R，2x＞0”的否定是“
∃
x0∈R，
0”
C．“
㐠
”是“
α
”的充分不必要条件
D．命题“若 xy＝0，则 x＝0”的否命题为“若 xy＝0，则 x≠0”
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝42，则 S9 为（ ）
A．175 B．217 C．252 D．294
6．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中
国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）．控制撞球
点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球
技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形 ABCD，在点 E，
F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点 A 处，通过击打母
球，使其依次撞击点 E，F 处的目标球，最后停在点 C 处，若 AE＝30cm，EF＝40cm，
2
FC＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为（ ）
A．40 cm B．15
cm C．20
cm D．10
cm
7．数列{an}中，
〲
，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项
C．既有最大项，也有最小项 D．既无最大项，也无最小项
8．已知命题 p：方程 x2+mx+1＝0 有两个不等的负实根，命题 q：方程 4x2+4（m﹣2）x+1
＝0 无实根，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．（1，2]∪[3，+∞） B．（1，2）∪（3，+∞）
C．（1，2] D．[3，+∞）
9．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2sinBcosC＝sinA，a2﹣b2
＝（acosB+bcosA）2，则△ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
10．如图所示，为了测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C
作为测量基点，从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的
仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从 C 点测得∠MCA＝60°．已
知山高 BC＝500m，则山高 MN（单位：m）为（ ）
A．750 B．750
C．850 D．850
11．不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（﹣2，1），则不等式 b（2x2﹣1）﹣a（x+3）+c＞0 的
解集为（ ）
A．
〲
，
〸
B．
〲
，
〸C．
〲
，
〲
〸
，
〸
D．
〲
，
〲 〸
，
〸12．已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若
，则使得
为整数的
正整数 n 共有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
3
二．填空题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分.）
13．若 x，y 满足约束条件
耀
−
耀 〲
耀
，则 z＝x﹣2y 的最大值为 ．
14．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若（b+a）（sinB﹣sinA）＝（c
﹣a）sinC，b＝2，且△ABC 的面积为
，则△ABC 的周长为 ．
15．已知数列{an}的通项公式为 an＝﹣2n2+λn（n∈N*，λ∈R），若{an}是递减数列，则
λ的取值范围为____________.
16．下列结论正确的是 ．
①已知 a＞0，b＞0，且 4ab+2a+b＝4，则 2a+b 的最小值为 2；
②当 x＜
时，4x﹣2
〲
的最小值是 5；
③当 x＞2 时，x
的最小值是 2；
④设 x＞0，y＞0，且 x+y＝2，则
耀
的最小值是
．
三．解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，其中第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分.）
17．已知函数 f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．
（1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）＜6 的解集；
（2）若不等式 f（x）＜5 的解集非空，求实数 a 的取值范围．
18．已知数列{an}满足 a1＝﹣2，且 an+1＝2an+4（n∈N*）．
（1）证明：{an+4}是等比数列；
（2）设 bn=
㔠㘶 〸
,求数列{
}的前 n 项和 Sn．
19．已知集合 A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}．
（1）若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围；
4
（2）设命题 p：
∃
x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m＞8，若命题 p 为假命题，求实数 m 的取
值范围．
20．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cos B
cos C
＝－ b
2a＋c
.
(1)求角 B 的大小；
(2)若 b＝4，求△ABC 的面积的最大值．
21．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an+1＝2Sn+1，数列{bn}满足 a1＝b1，点 P（bn，
bn+1）在直线 x﹣y+2＝0 上，n∈N*．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设
，求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
22．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三
角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场
地．如图，点 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上，
已知∠ACB＝60°且|AC|＝30 米，|AM|＝x 米，x∈[10，20]．
（1）试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；
（2）若在矩形 AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形 AMPN
健身场地每平方米的造价为
价为
，草坪的每平方米的造价为
为
（k
为正常数）．设总造价 T 关于 S 的函数为 T＝f（S），试问：如何
选取|AM|的长，才能使总造价 T 最低．
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2020——2021 学年上期期中试卷
文科数学参考答案
一．选择题（满分 60 分）
1-5． CDCBB 6-10． DCADA 11-12．BD
二．填空题（满分 20 分）
13．2 14． 6 15．（﹣∞，6） 16．①④．
三．解答题（满分 70 分）
17．解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，……………………………（1 分）
f（x）＜6 等价为
〲
〲 〲 〲
＜
或
〲
＜
＜
〲
＜
或
〲
＜
，…………（3 分）
解得﹣2＜x≤﹣1 或﹣1＜x＜3 或 3≤x＜4，………………………………（4 分）
综上，解集为（﹣2，4）；……………………………………………………（5 分）
（2）不等式 f（x）＜5 的解集非空，则[f（x）]min＜5，…………………（6 分）
由|x+a2|+|x+2a﹣5|≥|x+a2﹣x+5﹣2a|＝a2﹣2a+5，
当（x+a2）（x+2a﹣5）≤0 时取得等号．……………………………………（8 分）
则 a2﹣2a+5＜5，解得 0＜a＜2．……………………………………………（9 分）
则 a 的取值范围是（0，2）．…………………………………………………（10 分）
声明：试题解 18．解：（1）证明：由题易知 a1+4＝2≠0，…………………………（1 分）
∵an+1＝2an+4，∴
2，………………………（4 分）
∴数列{an+4}是首项为 2，公比为 2 的等比数列；……………………（5 分）
（2）解：由（Ⅰ）可得：an+4＝2n，…………………………………（6 分）
∴a2n+4＝22n，
∴bn＝2n， ……………………………………………………………（8 分）
∴
〸
=
〲
〸
, ……………………………………（10 分）
6
∴Sn＝
〲
〲
〲
〸
．………………（12 分）
19．解：（1）A＝{x|（x﹣a）（x﹣a+1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a}，
B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，…………………………………（2 分）
∵x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件，∴
〲
＞
〲
＜
，…………………（4 分）
解得 a∈（﹣1，1）；………………………………………………………（5 分）
∴实数 a 的取值范围为（﹣1，1）. ……………………………………（6 分）
（2）由题知：￢p：
∀
x∈B，x2+（2m+1）x+m2﹣m≤8 为真命题，…（7 分）
设 g（x）＝x2+（2m+1）x+m2﹣m﹣8，则
㘶 〲 〸
㘶〸
，………………（9 分）
解得
〲
〲
，……………………………………………………………（10 分）
∴m∈[﹣1，2], …………………………………………………………………（11 分）
∴实数 m 的取值范围为[﹣1，2]．……………………………………………（12 分）
20．解:(1)由余弦定理知：cos B＝a2＋c2－b2
2ac
，cos C＝a2＋b2－c2
2ab
.…（1 分）
将上式代入cos B
cos C
＝－ b
2a＋c
得：
a2＋c2－b2
2ac
· 2ab
a2＋b2－c2＝－ b
2a＋c
，整理得：a2＋c2－b2＝－ac. …（3 分）
∴cos B＝a2＋c2－b2
2ac
＝－ac
2ac
＝－1
2
.………………………………………（4 分）
∵B∈(0,
π
)，∴B＝2
3
π. ………………………………………………………（6 分）
(2)将 b＝4，B＝2
3
π代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得
16＝a2＋c2－2accos2
3
π，…………………………………………………（7 分）
∴16=a2＋c2+ac
ac（当且仅当 a=c=4 时取等号），………………（9 分）
∴ac
，……………………………………………………………………（10 分）
7
∴S△ABC＝1
2
acsin B
. …………………………………………………（11 分）
∴△ABC 的面积的最大值为
. ………………………………………（12 分）
21．解：（1）由 an+1＝2Sn+1 可得 an＝2Sn﹣1+1（n≥2），…………………（1 分）
两式相减得 an+1﹣an＝2an，
即 an+1＝3an（n≥2）．………………………………………………………（2 分）
又 a2＝2S1+1＝3，
所以 a2＝3a1．………………………………………………………………（3 分）
故{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列．
所以 an＝3n﹣1．………………………………………………………………（4 分）
由点 P（bn，bn+1）在直线 x﹣y+2＝0 上，所以 bn+1﹣bn＝2．…………（5 分）
则数列{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
则 bn＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1. ……（6 分）
（2）因为
〲
〲
，所以
〲
〲
．………（7 分）
则
〲
〲
〲
，
两式相减得：
〲
〲
〲
．…………………（9 分）
所以
〲
〲
〲
〲
〲
〲
〲
．………………………………（12 分）
22．解：（1）在 Rt△PMC 中，显然|MC|＝30﹣x，∠PCM＝60°，
∴
ܲ ൌ
∠
ܲൌ 〲 〸
，………………………………（2 分）
∴矩形 AMPN 的面积
ܲ ൌ 〲 〸
，x∈[10，20]……（4 分）
又
〲 〲
,
∴
,
∴S 的取值范围为
[
…………………………………………（6 分）
（2）矩形 AMPN 健身场地造价 T1
价为
……………………………（7 分）
又△ABC 的面积为
，即草坪造价 T2
为
〲 〸
，…………（8 分）
8
由总造价 T＝T1+T2，∴
为
〸
，
．…（9 分）
∵
，
当且仅当
即
时等号成立，…………………………（10 分）
此时
〲 〸
，解得 x＝12 或 x＝18，………………………（11 分）
所以选取|AM|的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低．……………………（12 分）
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