2020-2021学年河南省鹤壁市淇滨高级中学高二上学期第三次周考数学试题 word版

1 河南省鹤壁市淇滨高级中学 2020-2021 学年高二上学期第三次周 考数学试卷 考试时间：120 分钟 一、单选题（每题 5 分，共 60 分） 1．“ ln lna b ”是“ 1 1 a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c .若 2 2 2c a b ab   ， 6ab  ，则 ABC 的面积为（ ） A．3 B． 9 3 2 C． 3 3 2 D．3 3 3．已知各项均为正数的等比数列 na ，且 1 3 2 13 , ,22a a a 成等差数列，则 4 5 6 7  a a a a   的值是（ ） A． B． 1 6 C． D． 1 9 4．已知 ABC 的三个内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， 2 cosa b C ，且 sin sin sin b a A C c a B   ，则这个三角形的形状是（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．数列 na 满足：  * 1 1 , 0,n na a n N R        ，若数列 1na  是等比数列，则  的值是 （ ） A．1 B． 2 C． 1 2 D． 1 2 6．若关于 x 的不等式 2 4x x m  对任意  0,1x 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A． 3m   B． 3m   C． 3 0m   D． 3m   或 0m  7．已知点  P m n, 在不等式组 2 2 50 2 5 x y x y        表示的平面区域内，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 5 2,5 2   B． 5 2, 5    C． 5 2,1   D． 5,1 8．实数对 ,x y 满足不等式组 2 0, 2 5 0, 2 0, x y x y y           则目标函数 z kx y  当且仅当 3x  ， 1y  时取最 大值，则 k 的取值范围是（ ） A．  1, 1,2        B． 1 ,2      C． − 1 2 ,1 D． , 1  9．已知数列 na 满足 1 28a  ， 1 2n na a n    ，则 na n 的最小值为（ ） A． 29 3 B． 4 7 1 C． 48 5 D． 27 4 10．下列有关命题的说法正确的是( ) A．命题“若 2 1x  ，则 1x  ”的否命题为：“若 2 1x  ，则 1x  ”． B．若 p q 为真命题，则 ,p q 均为真命题. C．命题“存在 Rx ，使得 2 1 0x x   ” 的否定是：“对任意 Rx ，均有 2 1 0x x   ”． D．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题． 11．命题 p ：函数 2 1y x ax   在 (1,  )  上是增函数. 命题 q：直线 2 0x y a   在 x 轴上的 截距大于 0. 若 p q 为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） 3 A． 2a  B． 0a  C． 0 2a  D． 0 2a  12．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 ABC 为锐角三角形，且满足 sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C   ，则下列等式成立的是（ ） A． 2a b B． 2b a C． 2A B D． 2B A 二、填空题(每题 5 分，共 20 分) 13．在 ABC 中，边 a b c， ， 所对的角分别为 A B C， ， ， ABC 的面积 S 满足 2 2 24 3S b c a   ， 若 4a  ，则 ABC 外接圆的面积为______________. 14．已知等比数列 na 满足 0, 1,2,na n  ，且 2 5 2 5 2 ( 3)n na a n   ，则当 1n  时， 2 1 2 3 2 2 1log log log na a a     __________________． 15．已知 , Ra b ，且 3 6 0a b   ，则 12 8 a b 的最小值为_____________. 16．下列说法正确的是__________． （1）对于命题 p ： 0x R  ，使得 0 0 1 2x x   ，则 p ： x R  ，均有 1 2x x   （2）“ 1x  ”是“ 2 3 2 0x x   ”的充分不必要条件 （3）命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题为：“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ” （4）若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题 三、解答题（17 题 10 分，其它各题每题 12 分，共 70 分） 17．设 :p 实数 x 满足 2 25 4 0x ax a   （其中 0a  ）， :q 实数 x 满足 2 5x  ． 4 （1）若 1a  ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 18．如图，在 ABC 中， D 为 AB 边上一点，且 DA DC ，已知 4B  ， 1BC  . （1）若 ABC 是锐角三角形， 6 3DC  ，求角 A 的大小； （2）若 BCD 的面积为 1 6 ，求 AB 的长. 19．数列{an}中， 1 1a  ， 1 2 1n na a n    （1）求证：数列{an+n}为等比数列； 5 （2）求数列{an}的通项公式. 20．已知命题 p： x R  ， 24 0mx x m   ．  1 若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；  2 若有命题 q：  2,8x  ， 2log 1 0m x   ，当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，求实数 m 的取值范围． 21．在锐角三角形 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 3 3 4 sin ssin sin inC Bb c a B C  . （1）求角 A 的大小； （2）若 2 sin 2 sin 3b B c C bc a   ，求 ABC 面积的取值范围. 22．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 1n nS a  . 6 （1）求数列 na 的通项公式； （2）若    1 1 2 2 1 1 n n n n ab a a       ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 参考答案 1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．C 9．C 10．D 11．D 12．A 13．16 14． 2n 15． 1 4 16．（1）（2）（3） 17．（1） 2,4 （2） 5 ,24      （1）若 1a  ，则 :p 1 4x  ，又 :q 2 5x  ， 因为 p q 为真，所以 p 真， q真同时成立，所以 1 4, 2 5, x x      解得： 2 4x  ， 所以实数 x 的取值范围 2 4x  . （2） :p 4a x a  ， :q 2 5x  ， 因为 q 是 p 的必要不充分条件，所以 p 是 q的必要不充分条件， 所以 q中变量 x 的取值集合是 p 中变量 x 的取值集合的真子集， 所以 2, 5 24 5, 4 a aa      . 18．（1） 3A  .（2） 5 2 3  . （1）在 BCD 中， 4B  ， 1BC  ， 6 3DC  ，由正弦定理得 sin sin BC CD BDC B  ， 7 解得 21 32sin 26 3 BDC     ，所以 3BDC   或 2 3  . 因为 ABC 是锐角三角形，所以 2 3BDC   . 又 DA DC ，所以 3A  . （2）由题意可得 1 1sin2 4 6BCDS BC BD      ，解得 2 3BD  ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 4CD BC BD BC BD       2 2 2 51 2 19 3 2 9       ，解得 5 3CD  ， 则 5 2 3AB AD BD CD BD      . 所以 AB 的长为 5 2 3  . 19．（1）证明见解析；（2） 2n na n  *( 1, )n n N  （1）证明：根据题意， 1 2 1n na a n    ，则 1 1 2 2 2( )n n na n a n a n       ∴ 1 1 2n n a n a n     *( 1, )n n N  且 1 1 2a   故，数列{ na n }是首项与公比都为 2 的等比数列. （2）由（1）结论可知： 12 2 2n n na n     ∴ 2n na n  *( 1, )n n N  8 20．（1） 1 4m   （2） 1m   或 1 4m   . （Ⅰ）∵ x R  ， 24 0mx x m   ，∴ 0m  且 21 16 0m    ， 解得 0 1 1 4 4 m m m     或 ∴ p 为真命题时， 1 4m   . （Ⅱ）  2,8x  ，  2log 1 0 2,8m x x     ， 2 1 logm x   . 又  2,8x 时， 2 1 11,log 3x        ，∴ 1m   . ∵ p q 为真命题且 p q 为假命题时， ∴ p 真 q假或 p 假 q真， 当 p 假 q真，有 1 1 4 m m     ，解得 1 4m   ； 当 p 真 q假，有 1 1 4 m m     ，解得 1m   ； ∴ p q 为真命题且 p q 为假命题时， 1m   或 1 4m   21．（1） 3A  ；（2） 3 3 3,2 4      . （1）由 3 3 4 sin ssin sin inC Bb c a B C  及正弦定理得： 9 3sin sin 3sin sin 4sin sin sinB C C B A B C  ， 因为 0 B ， 2C  ，所以sin 0B  ，sin 0C  ， 所以 3sin 2A  ，又 0 2A   ，所以 3A  ； （2）由正弦定理 2 sin s 3 in si 3nB C b a A c a   ， 3sin 2 bB a  ， 3sin 2 cC a  ， 由 2 sin 2 sin 3b B c C bc a   得： 3 32 2 32 2 b cb c bc aa a    ， 即 2 2 2 3 3b c a abc   ①，由余弦定理得， 2 2 2b c a bc   解得 3a  ， 所以 2sin , 2sinb B c C  ， 2 3 33sin sin 3sin sin sin 23 1 s 2 6in2 4ABC B C B BS Bbc A                 △ ， ∵ ABC 为锐角三角形，∴ 0 2B   且 3 2B    ， 即 6 2B   ，∴ 526 6 6B      ， ∴ 1 sin 2 12 6B       ，∴ 3 3 3 2 4ABCS △ . ABC 面积的取值范围为 3 3 3,2 4      . 22．(1) 13  n na ；(2) nT 1 1 1 2 3 1n   10 （1）当 1n  时， 1 1 12 2 3 1S a a   ，所以 1 1a  ， 当 2n  时，因为 2 3 1n nS a  ，所以 1 12 3 1n nS a   ， 两式作差得 13n na a  ，即 1 3n n a a   ， 因为 1 1a  ，所以数列 na 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 故 13  n na ； （2）因为    11 2 3 1 1 3 1 3 13 1 3 1 n n n nn nb       ， 所以 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n n nT                             1 1 1 2 3 1n   .