2020-2021学年江苏省高二上学期期中考试数学试题 PDF版

1 江苏省 2020-2021 学年度第一学期期中考试 高二数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.一个等比数列的首项为 2，公比为 3，则该数列的第 3 项为（ ） .8A .16B .18C .27D 2.设 ,a R 则“ 1a  ”是“ 2a a ”的（ ） .A充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 3.不等式 1 0 2 1 x x    的解集为（ ） 1. 1, 2 A     1. 1, 2 B       1. , 1 , 2 C           1. , 1 , 2 D       4.已知椭圆的准线方程为 4,x   离心率为 1 2 ，则椭圆的标准方程为（ ） 2 2. 1 2 xA y  2 2. 1 2 yB x   2 2 . 1 4 3 x yC   2 2 . 1 3 4 x yD   5.数列 na 中， 1 12, 2 1n na a a   ，则 10a 的值为（ ） .511A .513B .1025C .1024D 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包 分给 5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之和，则 最小的一份为（ ） 5. 3 A 10. 3 B 5. 6 C 11. 6 D 7.椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 和 2F ， P为椭圆C上的动点，若 2a b ，满足 1 2 90FPF  的点 P有（ ）个 .2A 个 .4B 个 .0C 个 .1D 个 8.已知实数 0, 0a b  且 9a b ab  ，若不等式 2 2 18a b x x m      对任意实数 x恒成立， 则实数m的取值范围为（ ）  . 3,A   . ,3B   . ,6C   . 6,D  二．多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 若实数 0a  ， 0b  ， 1a b  ，若下列选项的不等式中，正确的是（ ） . 2A a b  . 2B a b  2 2. 2C a b  1 1. 2D a b   2 10. 对任意实数 a， b， c，给出下列结论，其中正确的是（ ） .A“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件 .B “ a b ”是“ 2 2a b ”的充分条件 .C “ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件 .D “ 5a  是无理数”是“ a是无理数”的充要条件 11. 设椭圆 2 2 1 9 3 x y   的右焦点为 F ，直线  0 3y m m   与椭圆交于 A， B两点，则 下述结论正确的是（ ） .A AF BF 为定值 .B ABF 的周长的取值范围是  6,12 .C 当 2m  时， ABF 为直角三角形 .D 当 1m  时， ABF 的面积为 6 12. 已知数列 na ， nb 均为递增数列， na 的前 n项和为 nS ， nb 的前 n项和为 nT ，且 满足 1 2n na a n  ，  1 2nn nb b n N     ，则下列结论正确的是（ ） .A 10 1a  .B 11 2b  .C 2 2n nS T .D 2 2n nS T 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。 13.命题“ , 0x R ax b    ”的否定是___________. 14.不等式 2 1 0x kx   对任意实数 x都成立，则实数 k的取值范围是________. 15.若椭圆 2 2 1 5 x y m   的离心率为 10 5 ，则m的值为________. 16.对于数列 na ，定义 1 1 22 2n n n a a a A n      为数列 na 的“好数”，已知某数列 na 的 “好数” 12nnA  ，记数列 na kn 的前 n项和为 nS ，若 7nS S 对任意的 n N  恒成立，则 实数 k的取值范围是________. 四．解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程； （1）与椭圆 2 2 1 2 x y  有相同的焦点，且经过点 31, 2       ； （2）经过 A 22, 2        ， B 32, 2         两点. 3 18.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 na 中， 1 1a  ，且 2a 是 1a 和 3 1a  的等差中项 （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足  2n nb n a n N    ，求数列 nb 的前 n项和 nS 19. (本小题满分 12 分)已知函数 2( ) 2f x ax bx a    （1）若关于 x的不等式 ( ) 0f x  的解集是  1,3 ，求实数 ,a b的值； （2）若 2, 0b a  ，解关于 x的不等式 ( ) 0f x  20.（本小题满分 12 分）某工厂年初用 98 万元购进一台新设备，第一年设备维修及燃料， 动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，工厂因新设 备每年可收益 50 万元。 （1）工厂第几年开始获利？ （2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以 26 万元出售该 设备；②总获利最大时，以 8 万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？ 4 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a b a b    ： 的长轴长为 4，且短轴的两个端点 与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆的右焦点 F 作直线 l，与椭圆相交于 ,A B两点，求 OAB 面积的最大值，并求 此时直线 l的方程。 22.（本小题满分 12 分）已知各项均为正数的两个数列    ,n na b 满足 2 2 1 1 2 ,n n na a a    2 2 12 log log 1,n n na b b    且 1 1 1.a b  （1）求证：数列 na 为等差数列； （2）求数列 nb 的通项公式； （3）设数列   ,n na b 的前 n项和分别为 , ,n nS T 求使得等式 2 36m m iS a T   成立的有序数对 *( , )( , )m i m i N . 1 江苏省 2020-2021 学年度第一学期期中考试 高二数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.一个等比数列的首项为 2，公比为 3，则该数列的第 3 项为（ ） .8A .16B .18C .27D 【答案】C 2.设 ,a R .则“ 1a  ”是“ 2a a ”的（ ） .A充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】 A 3.不等式 1 0 2 1 x x    的解集为（ ） 1. 1, 2 A     1. 1, 2 B       1. , 1 , 2 C           1. , 1 , 2 D       【答案】 A 4.已知椭圆的准线方程为 4,x   离心率为 1 2 ，则椭圆的标准方程为（ ） 2 2. 1 2 xA y  2 2. 1 2 yB x   2 2 . 1 4 3 x yC   2 2 . 1 3 4 x yD   【答案】C 5.数列 na 中， 1 12, 2 1n na a a   ，则 10a 的值为（ ） .511A .513B .1025C .1024D 【答案】 B 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包 分给 5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之和，则 最小的一份为（ ） 5. 3 A 10. 3 B 5. 6 C 11. 6 D 【答案】 A 7.椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 和 2F ， P为椭圆C上的动点，若 2a b ，满足 1 2 90FPF  的点 P有（ ）个 .2A 个 .4B 个 .0C 个 .1D 个 【答案】 A 8.已知实数 0, 0a b  且 9a b ab  ，若不等式 2 2 18a b x x m      对任意实数 x恒成立， 则实数m的取值范围为（ ）  . 3,A   . ,3B   . ,6C   . 6,D  2 【答案】 A 二．多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分，在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 若实数 0a  ， 0b  ， 1a b  ，若下列选项的不等式中，正确的是（ ） .A 2a b  .B 2a b  .C 2 2 2a b  .D 1 1 2 a b   【答案】 ABC 10. 对任意实数 a， b， c，给出下列结论，其中正确的是（） .A “ a b ”是“ ac bc ”的充要条件 .B “ a b ”是“ 2 2a b ”的充分条件 .C “ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件 .D “ 5a  是无理数”是“ a是无理数”的充要条件 【答案】CD 11. 设椭圆. 2 2 1 9 3 x y   .的右焦点为 F ，直线  0 3y m m   与椭圆交于 A， B两点， 则下述结论正确的是（） .A AF BF 为定值 .B ABF 的周长的取值范围是  6,12 .C 当 2m  时， ABF 为直角三角形 .D 当 1m  时， ABF 的面积为 6 【答案】 AD 12. 已知数列 na ， nb 均为递增数列， na 的前 n项和为 nS ， nb 的前 n项和为 nT ，且 满足 1 2n na a n  ，  1 2nn nb b n N     ，则下列结论正确的是（） .A 10 1a  .B 11 2b  .C 2 2n nS T .D 2 2n nS T 【答案】 ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。 13.命题“ , 0x R ax b    ”的否定是___________. 【答案】 , 0x R ax b    14.不等式 2 1 0x kx   对任意实数 x都成立，则实数 k的取值范围是________. 【答案】  2,2 15.若椭圆 2 2 1 5 x y m   的离心率为 10 5 ，则m的值为________. 3 【答案】 25 3 3 或 16.对于数列 na ，定义 1 1 22 2n n n a a a A n      为数列 na 的“好数”，已知某数列 na 的 “好数” 12nnA  ，记数列 na kn 的前 n项和为 nS ，若 7nS S 对任意的 n N  恒成立，则 实数 k的取值范围是________. 【答案】 9 16, 4 7      四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分）求适合下列条件的椭圆的标准方程； （1）与椭圆 2 2 1 2 x y  有相同的焦点，且经过点 31, 2       ； （2）经过 A 22, 2        ， B 32, 2         两点 【答案】（1）椭圆 2 2 1 2 x y  的焦点坐标为  1,0 因为椭圆过点 31, 2       所以     2 2 2 23 32 1 1 1 1 4 2 2 a                  所以 2a  ， 3b  所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   （2）设椭圆方程为   2 2 1 0, 0,x y m n m n m n      带入得 1 4 2 1 3 2 4 1 m n m n          解得 8m  ， 1n  所以椭圆方程为 2 2 1 8 x y  4 18.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 na 中， 1 1a  ，且 2a 是 1a 和 3 1a  的等差中项 （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足  2n nb n a n N    ，求数列 nb 的前 n项和 nS 【答案】（1） 12nna  （2） 12 2nnb n          2 12 1 4 2 6 2 2 2nnS n             0 1 2 12 4+6+ +2 2 2 2 2nn          1 1 22 2 2 1 2 n n n       2 2 1nn n    19. (本小题满分 12 分)已知函数 2( ) 2f x ax bx a    （1）若关于 x的不等式 ( ) 0f x  的解集是  1,3 ，求实数 ,a b的值； （2）若 2, 0b a  ，解关于 x的不等式 ( ) 0f x  【答案】 （1）∵不等式 ( ) 0f x  的解集是  1,3 ∴-1，3 是方程 2 2 0ax bx a    的两根 故代入可得 1 2 a b     （2）由题， 2b  时， 2( )= 2 2 ( 1)( 2) 0 2( 1)( 2) 0 ( 1)( ) 0 f x ax x a x ax a a ax ax a x x a                    1 若 21 a a    ，即 1a  ，解集为 1x x   2 若 21 a a    ，即 0 1a  ，解集为 2 1ax x x a        或 3 若 21 a a    ，即 1a  ，解集为 2ax x x a       -1或 5 20.（本小题满分 12 分）某工厂年初用 98 万元购进一台新设备，第一年设备维修及燃料， 动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，工厂因新设 备每年可收益 50 万元。 （1）工厂第几年开始获利？ （2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以 26 万元出售该 设备；②总获利最大时，以 8 万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？ 【答案】（1）由题每年费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列，设第 n 年时累计的纯收 入为 ( )f n ， 则 2( ) 50 [12 16 (4 8)] 98 40 2 98f n n n n n          ， 获利为： ( ) 0f n  240 2 98 0n n    解得10 51 10 51n    又 n N 3,4,5 ,17n   当 3n  时，即第 3 年开始获利。 （2）①年平均收入为： ( ) 49 4940 2( ) 4 4 12f n n n n n n        （万元） 即年平均收益最大时，总收益为12 7 26 110   （万元），此时 7n  ； ② 2( ) 2( 10) 102f n n    ，∴当 10n  时， max( ) 102f n  总收益为102 8 110  万元，此时 10n  比较两种方案，总收益均为 110 万元，但是第一种方案需要 7 年，第二种需要 10 年。 故选择第一种方案。 6 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x yC a b a b    ： 的长轴长为 4，且短轴的两个端点 与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆的右焦点 F 作直线 l，与椭圆相交于 ,A B两点，求 OAB 面积的最大值，并求 此时直线 l的方程。 【答案】（1） 2 4, 2a a b  得 2, 1a b  所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y  （2） 设 : 3ABl x my  ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 2 2 3 1 4 x my x y         得 2 2( 4) 2 3 1 0m y my    所以 1 2 1 22 2 2 3 1, 4 4 my y y y m m        所以 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1( ) 4 4 my y y y y y m        所以 2 1 2 2 1 13 2 3 2 4 mS y y m        令 2 1 1,t m   2 12 3 2 3 1 33 tS t t t      当且仅当 3t  即 2m   时取等号。 所以面积最大值为 1，直线方程为 2 3x y   。 7 22. （本小题满分 12 分）已知各项均为正数的两个数列   ,n na b 满足 2 2 1 1 2 ,n n na a a    2 2 12 log log 1,n n na b b    且 1 1 1.a b  （1）求证：数列 na 为等差数列； （2）求数列 nb 的通项公式； （3）设数列   ,n na b 的前 n项和分别为 , ,n nS T 求使得等式 2 36m m iS a T   成立的有序数对 *( , )( , )m i m i N . 【答案】（1）由 2 2 1 1 2n n na a a    可得 2 2 2 1 2 1 ( 1)n n n na a a a      ，因为 na 各项均为正 数，所以 1 1n na a   ，即 1 1n na a   ，故 na 是公差为 1 的等差数列。 （2）由（1）得 na n ，由 2 2 12 log log 1,n n na b b    得 2 1 1 2 n n nb b    ，所以 2 1 1 2 2 ,n n nb b     两 式相除得 2 4,n n b b   所以数列 nb 的奇数项和偶数项都是公比为 4 的等比数列。由 1 1.b  及 2 1 1 2 n n nb b    知 2 2,b  所以 (2 1) 1 2 1 2 ,k kb     1 2 1 * 2 2 4 2 ( ),k k kb k N     所以 12nnb  。 综上，数列 nb 的通项公式为 12nnb  。 （3）由（1）（2）知 ( 1) , 2 1. 2 n n n n nS T    由 2 36m m iS a T   得 ( 1)2 36 2 1, 2 im m m      即   7 5 2 ,im m   则必存在 *, ,s t N 使得 2 7,2 5,s tm m    从而 2 2 12.s t  若 5,s  则 2 2 12 20,t s   故 5.t  又因为 ,s t 所以 12 2 2 2 2 32s t t t t     与 2 2 12s t  矛盾，所 以 4.s  由于 2 2 12s t  ，则只能 4, 2s t  ，此时 9, 6.m i 