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2020-2021 学年江西省高二上学期第一次月
考数学试题
一、单选题
1．下列是古典概型的个数有（ ）
①已知1 9x 且 xZ ，从 x 中任取一个数，则满足 2 5x 的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为 11 的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10 个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据古典概型依次判断即可.
【详解】
因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能.
所以①为几何概型，②③④为古典概型.
故选：C
【点睛】
本题主要考查古典概型，属于简单题.
2．下面说法正确的是（ ）
A．一条直线和 x 轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为
C．若直线的倾斜角为 ，则斜率为 tan
D．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
【答案】D
【解析】根据直线倾斜角和斜率的概念逐一判断即可.
【详解】
一条直线向上的方向和 x 轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，
故 A 错误；
直线的斜率为 tan ，因为直线的倾斜角范围是 0,π ， 不一定在这个范围内，故 B
不正确；
若直线的倾斜角为90 ，斜率不存在，故 C 不正确；
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每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率，故 D 正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的概念及其关系，属于基础题.
3．下图的算法语句输出的结果 S 为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】A
【解析】计算循环语句，直到 8I 不成立时，输出对应的 S 即可
【详解】
由题不妨设 0 1I ，则 1 0 1 02 3 5, 2 3S I I I ；
2 1 2 12 3 9, 2 5S I I I ；
3 2 3 22 3 13, 2 7S I I I ； 4 3 4 32 3 17, 2 9S I I I ；9 8 不成立，
输出 4 17S
故选：A
【点睛】
本题考查循环语句，属于基础题
4．已知 ,3A m ， 2 , 4B m m ， 1,2C m ， 1,0D ，且直线 AB 与 CD 平行，
则 m 的值为（ ）
A．1 B．0 或 1 C．2 D．1 或 2
【答案】B
【解析】按照直线斜率是否存在讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到
关于 m 的方程，解方程即得解.
【详解】
当直线 AB 与CD 的斜率均不存在时，由 2
1 1
m m
m
可得 0m ，
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此时 0,3A ， (0,4)B ， (1,2)C ， 1,0D ，符合题意；
当直线 AB 与CD 的斜率均存在时， 0m ，
此时 4 3 1
2AB
m mk m m m
， 2 0 2
1 1CDk m m
，所以 1 2m
m m
，解得 1m ，
此时 1,3A ， (2,5)B ， (2,2)C ， 1,0D ，符合题意；
综上， m 的值为 0 或 1.
故选：B.
【点睛】
本题考查了由直线的位置关系求参数，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于基础
题.
5．在1,2,3,4 中随机选出一个数 a ，在 2, 3, 4, 5 中随机选出一个数b ，则 2 2a b
被 3 整除的概率为（ ）
A． 1
2 B． 1
4 C． 1
8 D． 1
16
【答案】D
【解析】根据已知条件求出总的基本事件个数，再求出使得 2 2a b 被 3 整除的基本事
件的个数，根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】
根据题意可知，有如下基本事件：
2 21 ( 2) 5 ； 2 21 ( 3) 10 ； 2 21 ( 4) 17 ； 2 21 ( 5) 26 ；
2 22 ( 2) 8 ； 2 22 ( 3) 13 ； 2 22 ( 4) 20 ； 2 22 ( 5) 29 ；
2 23 ( 2) 13 ； 2 23 ( 3) 18 ； 2 23 ( 4) 25 ； 2 24 ( 5) 41 ；
2 24 ( 2) 20 ； 2 24 ( 3) 25 ； 2 24 ( 4) 32 ； 2 24 ( 5) 41 ；
共 16 个，其中满足 2 2a b 被 3 整除的基本事件有 1 个，
故 2 2a b 被 3 整除的概率为 1
16P .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率计算，属于基础题.
6．圆心在直线 2 0x y 上的圆C 与 y 轴的正半轴相切，圆C 截 x 轴所得弦的长为
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2 3 ，则圆C 的标准方程为（ ）
A． 2 22 1 4x y B． 2 22 1 4x y
C． 2 22 1 4x y D． 2 22 1 4x y
【答案】C
【解析】由题意结合 y 轴与圆相切可设圆心 2 , , 0C n n n ，则圆C 的半径为 2n ，再
由弦长即可列方程 2 223 2n n ，求得 n 后即可得解.
【详解】
因为圆C 的圆心在直线 2 0x y 上，且与 y 轴的正半轴相切，
所以可设圆心 2 , , 0C n n n ，则圆C 的半径为 2n ，
又圆C 截 x 轴所得弦的长为 2 3 ，所以 2 223 2n n ，
所以 1n ，所以圆C 的圆心 2,1C ，半径为 2 ，
所以圆C 的标准方程为 2 22 1 4x y .
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．若动点 P 到点 (1,1)F 和直线3 4 0x y 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A．3 6 0x y B． 3 2 0x y
C． 3 2 0x y D．3 2 0x y
【答案】B
【解析】点 (1,1)F 在直线3 4 0x y 上，则过点 (1,1)F 且垂直于已知直线的直线为所
求
∴点 P 的轨迹方程为 3 2 0x y
故选 B
点睛：本题考查动点轨迹的求法，两直线互相垂直斜率关系，注意本题与抛物线定义的
区别，定点落在直线外是抛物线，而本题落在直线上.
8．下面程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 为（ ）
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A．0 B．1 C．3 D．15
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得， 15, 18a b ，不满足 a b ，则b 变为18 15 3 ；
由b a ，则 a 变为15 3 12 ；由b a ，则 a 变为12 3 9 ；由 b a ，则 a 变为
9 3 6 ；由b a ，则 a 变为 6 3 3 ，由 3a b ，则输出的 3a ，故选 C.
【考点】程序框图.
9．已知变量 x ， y 满足
2 4 0
2
6 0
x y
x
x y
则 1
3
yk x
的取值范围是（ ）
A． 1
2k 或 5k B． 15 2k C． 1
2k 或 5k D． 15 2k
【答案】A
【解析】由题意作出可行域，转化目标函数为可行域内的点与点 3, 1B 连线的斜率，
数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
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目标函数 11
3 3
yyk x x
，即可行域内的点与点 3, 1B 连线的斜率，
直线 2 4 0x y 的斜率为 1
2
，
由 2
6 0
x
x y
可得点 2,4A ，则 4 1 52 3ABk
，
数形结合可得， 1
2k 或 5k .
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单线性规划的应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于基础题.
10．甲、乙两人各自在 400 米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距
不超过 100 米的概率是（ ）
A． 1
8 B． 7
36 C． 1
4 D． 7
16
【答案】D
【解析】设甲、乙两人跑的路程分别为 x 米， y 米，根据条件列出甲、乙路程的约束条
件及在任一时刻两人在跑道上相距不超过 100 米的约束条件，画出对应的区域，根据几
何概型的计算公式求解即可.
【详解】
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设甲、乙两人跑的路程分别为 x 米， y 米，则有 0 400
0 400
x
y
，表示区域如图正方形
OABC ，面积为160000平方米，
相距不超过100米满足 100x y ，表示的区域如图阴影部分，面积为
1160000 (400 100) (400 100) 2 700002
平方米，
所以，在任一时刻两人在跑道上相距不超过100米的概率为 70000 7
160000 16P ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了几何概型概率计算，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握几何
概型的使用条件，以及几何概型的计算公式.
11．若圆 2 2 2 0x y r r 上仅有 4 个点到直线 2 0x y 的距离为 1，则实数 r 的
取值范围为（ ）
A． 2 1, B． 2 1, 2 1 C． 0, 2 1 D． 0, 2 1
【答案】A
【解析】到已知直线的距离为 1 的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于 1 的
两条直线，根据题意可得这两条平行线与 2 2 2x y r 有 4 个公共点，由此利用点到直
线的距离公式加以计算，可得 r 的取值范围．
【详解】
解：作出到直线 2 0x y 的距离为 1 的点的轨迹，得到与直线 2 0x y 平行，
且到直线 2 0x y 的距离等于 1 的两条直线，
圆 2 2 2x y r 的圆心为原点，
原点到直线 2 0x y 的距离为 | 0 0 2 | 2
2
d ，
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两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为 2 1d ，
又圆 2 2 2 ( 0)x y r r 上有 4 个点到直线 2 0x y 的距离为 1，
两条平行线与圆 2 2 2x y r 有 4 个公共点，即它们都与圆 2 2 2x y r 相交．
由此可得圆的半径 r d ，
即 2 1r ，实数 r 的取值范围是 2 1, ．
故选：C ．
【点睛】
本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的
标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
12．在平面直角坐标系中， ,A B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆C 与
直线 2 4 0x y 相切，则圆 C 面积的最小值为（ ）
A． 4
5
B． 3
4
C． (6 2 5) D． 5
4
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：设直线 : 2 4 0l x y 因为 1| | | |2 C lOC AB d ， 1cd 表
示点C 到直线 l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的
半径最小值为 1 1 4 2 5
2 2 55O ld ，圆C 面积的最小值为
2
2 5 4
5 5
．故本
题的正确选项为 A.
【考点】抛物线定义.
二、填空题
13．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，是互斥事件的序号为___________．
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（1）至少有 1 个白球；都是白球；
（2）至少有 1 个白球；至少有 1 个红球；
（3）恰有 1 个白球；恰有 2 个白球；
（4）至少有 1 个白球；都是红球
【答案】（3）（4）
【解析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.
【详解】
（1）至少有 1 个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；
（2）至少有 1 个白球，至少有 1 个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；
（3）恰有 1 个白球，恰有 2 个白球，是互斥事件；
（4）至少有 1 个白球；都是红球，是互斥事件.
故答案为：（3）（4）.
【点睛】
本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.
14．函数 2 22 5 6 18f x x x x x 的最小值为________．
【答案】 29
【解析】根据题意，其几何意义为点 ,0P x 到点 1,2A ， 3,3B 两点的距离之和，
故 y PA PB PC PB BC ，再根据距离公式求解即可.
【详解】
解：因为 2 22 22 5 6 18 1 4 3 9f x x x x x x x ，
几何意义为点 ,0P x 到点 1,2A ， 3,3B 两点的距离之和，
1,2A 关于 x 轴的对称点 1, 2C ，
2 23 1 3 2 29y PA PB PC PB BC ，
当且仅当 , ,B P C 三点共线时 y 的值最小为 29BC
故答案为： 29
【点睛】
本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题.
15．两圆 2 2 2 2 2 0x y x y 和 2 2 4 5x y x 的公共弦长为________．
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【答案】 3 6
2
【解析】两圆方程作差得到公共弦方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长；
【详解】
解： 2 2 2 2 2 0x y x y 即 2 21 1 4x y ①圆心为 1, 1 ，半径 2r = ；
2 2 4 5x y x ②
① ②得 6 2 3 0x y ，即两圆公共弦方程为 6 2 3 0x y ，圆心到直线
6 2 3 0x y 的距离
22
6 2 3 10
46 2
d
所以公共弦长为
2
2 10 3 62 2 4 2l
故答案为： 3 6
2
【点睛】
本题考查两圆公共弦的计算，属于基础题.
16．设 m R ，过定点 A 的动直线 0x my 和过定点 B 的动直线 3 0mx y m
交于点 ( , )P x y ，则 PA PB 的最大值是 ．
【答案】5
【解析】试题分析：易得 (0,0), (1,3)A B .设 ( , )P x y ，则消去 m 得： 2 2 3 0x y x y ，
所以点 P 在以 AB 为直径的圆上， PA PB ，所以 2 2 2| | | | 10PA PB AB ，
2| | 52
ABPA PB .
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 PA PB ，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的
圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
三、解答题
17．已知 ABC 的顶点坐标为 ( 1,5)A ， ( 2, 1)B ， (4,3)C ．
（Ⅰ）求 AB 边上的高线所在的直线方程；
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（Ⅱ）求 ABC 的面积．
【答案】（Ⅰ）x+6y﹣22=0；（Ⅱ）16.
【解析】试题分析：（1）由题意可得 AB 的斜率，可得 AB 边高线斜率，进而可得方程；
（2）由（1）知直线 AB 的方程，可得 C 到直线 AB 的距离为 d，由距离公式可得|AB|，
代入三角形的面积公式可得．
试题解析：
（I）由题意可得 ，
∴AB 边高线斜率 k= 1
6
，
∴AB 边上的高线的点斜式方程为 13 46y x ，
化为一般式可得 x+6y﹣22=0；
（II）由（Ⅰ）知直线 AB 的方程为 y﹣5=6（x+1），即 6x﹣y+11=0，
∴C 到直线 AB 的距离为 d= ，
又∵|AB|= = ，
∴三角形 ABC 的面积 S=
18．已知直线 : 2 0l m n x m n y m n 及点 4,5P
（1）证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点 P 到直线l 的距离最大时，求直线 l 的方程
【答案】（1）证明见解析， 2,3 ；（2）3 3 0x y .
【解析】（1）首先根据题意得到 2 1 1 0m x y n x y ，再根据
2 1 0
1 0
x y
x y
即可得到答案.
（2）首先根据题意得到当点 P 在直线l 上的射影点恰好是 A 时，即 PA l 时，点 P 到
直线 l 的距离最大，再求直线方程即可.
【详解】
（1）直线l 方程可化为： 2 1 1 0m x y n x y
由 2 1 0
1 0
x y
x y
，解得 2x 且 3y ，
∴直线 l 恒过定点 2,3A .
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（2）因为直线恒l 过定点 2,3A ，
∴当点 P 在直线l 上的射影点恰好是 A 时，即 PA l 时，点 P 到直线l 的距离最大，
∵ 1
3PAk ，∴直线l 的斜率 3k
由此可得点 P 到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为 3 3 2y x ，
即3 3 0x y .
【点睛】
本题第一问考查直线横过定点问题，第二问考查直线方程，属于简单题.
19．现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 1 2 3A A A， ， 通晓日语， 1 2 3B B B， ， 通晓俄语，
1 2C C， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组．
（1）求 1A 被选中的概率；
（2）求 1B 和 1C 不全被选中的概率．
【答案】（1） 1
3 ;（2） 5
6 .
【解析】【详解】
（1）从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事
件空间
{ 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2 2 1 3 1( ) ( )A B C A B C， ， ， ， ， ，
1 3 2( )A B C， ， ， 2 1 1 2 1 2 2 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ， 2 2 2( )A B C， ， ，
2 3 1( )A B C， ， ， 2 3 2( )A B C， ， ， 3 1 1 3 1 2 3 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ，
3 2 2 3 3 1 3 3 2( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }
由 18 个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．用 M 表示“ 1A 恰被选中”这一事件，则
M { 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ，
1 2 2 1 3 1 1 3 2( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }
事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 6 1( ) 18 3P M ．
（2）用 N 表示“ 1 1B C， 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“ 1 1B C， 全被选中”
这一事件，
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由于 N { 1 1 1 2 1 1 3 1 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }，事件 N 有 3 个基本事件组
成，
所以 3 1( ) 18 6P N ，由对立事件的概率公式得 1 5( ) 1 ( ) 1 6 6P N P N ．
20．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如
图所示）．已知隧道总宽度 AD 为 6 3m ，行车道总宽度 BC 为 2 11m ，侧墙面高 EA ，
FD 为 2m ，弧顶高 MN 为5m ．
（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（ 2 ）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之
差至少要有 0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【答案】（1） 2 23 36x y （ ） ；（2）3.5
【解析】试题分析：（1）建立直角坐标系，设圆一般方程，根据三点 E,F,M 坐标解出参
数（2）根据题意求出圆上横坐标等于 c 点横坐标的纵坐标，再根据要求在竖直方向上
的高度之差至少要有 0.5m 得车辆通过隧道的限制高度
试题解析：（1）以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1m 为单位长度建
立直角坐标系，则 3 3 0E （ ，）， 3 3 0F（ ，）， 0 3M（ ，），由于所求圆的圆心在 y 轴上，
所以设圆的方程为 2 2 20x y b r （ ） （ ） ，因为 F ， M 在圆上，所以
2 2 2
22 2
3 3
0 3
b r
b r
，解得 3b ， 2 36r ，所以圆的方程为 2 23 36x y （ ） ．
（2）设限高为 h ，作CP AD ，交圆弧于点 P ，则 0.5CP h ，将 P 的横坐标
11x 代入圆的方程，得 2 211 3 36y ，得 2y 或 8y （舍），所以
0.5 0.5 2 2 0.5 3.5h CP y DF （ ） （m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米
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21．已知圆 C 过点 P（1，1），且与圆 M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2 关于直线 x+y+2=0 对
称．
⑴求圆 C 的方程；
⑵设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQ MQ 的最小值；
⑶过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互
补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由．
【答案】（1） 2 2 2x y ；（2）－4；（3）平行．
【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半
径相等；所以可先由圆 C 与圆 M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2 关于直线 x+y+2=0 对称，求出
圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x0,y0），进而写出圆 C 的方程，再由圆 C 过点 P（1，1）就可求
出半径 r 的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x0,y0）这样进行：因为圆 M
的圆心 M(-2,-2),所以有 MC 的中点 在直线 x+y+2=0 上，且 MC 与直线
x+y+2=0 垂直，可列出关于 x0,y0 的方程组，解此方程组就可求得 x0,y0 的值；（2）设出
点 Q 的坐标,则 可用点 Q 的坐标表示出来,再由点 Q 在圆 C 上,可考虑用三角换
元或用数形结合法来求 的最小值;（3）由于直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补
且 PA 与 PB 是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为 900,从而两直线的斜率都存在,
若设 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆 C 的方程
结合起来就可用 k 的式子表示出 A，B 两点的从标，从而就可求出直线 AB 的斜率，又
OP 的斜率可求，从而就可判断直线 OP 和 AB 是否平行了．
试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x0,y0）,由于圆 M 的圆心 M(-2,-2),则
有: ,所以圆 C 的方程为: ,又因为圆 C
过点 P（1，1）,所以有 ,故知:⊙C 的方程为：
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（2）设 Q（x、y），则 ，从而可设
则 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 2sin( ) 24PQ MQ x x y y x y
所以 PQ MQ 的最小值为-4.
（3）设 PA 的方程为： ，则 PB 的方程为：
由 得 ，同理可得：
OP∥AB．
【考点】１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系．
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