2020-2021学年江西省奉新县第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 Word版

1 江西省奉新县第一中学 2020-2021 学年高二上学期第二次月考 文科数学试卷 命题人 ： 2020.10 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.圆心坐标为 1, 1 ，半径长为 2 的圆的标准方程是（） A.    2 21 1 2x y    B.    2 21 1 2x y    C.    2 21 1 4x y    D.    2 21 1 4x y    2.已知直线 1 : 2 1 0l ax y   ，直线 2 :8 2 0l x ay a    ，若 1 2/ /l l ，则实数 a 的值为( ) A. ±4 B. －4 C. 4 D. ±2 3.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，异面直线 AD 与 CB1 所成的角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4.在水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，若 ,1 OCOB 2 3OA ， 则原△ABC 面积为（ ） A. 3 B. 22 C. 2 3 D. 4 3 5.已知正项等比数列{an}中， 4 3 2 aa a  ，若 1 2 3 7a a a   ，则 8a  （ ） A. 32 B. 48 C. 64 D. 128 6.若直线 l： 2 0( 0, 0)ax by a b     过点(－1,2)，当 2 1 a b  取最小值时直线 l 的斜率为（ ）A. 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 2 7.在钝角△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a b ，已知 2 8,sin sina B C   sin 4 A ， 7cos2 8A   ，则△ABC 的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 3 15 D. 6 15 8.在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， 2AB BC  ，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体 的体积为（ ）A. 8 B. 6 2 C. 8 2 D. 8 3 9.已知△ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 2 2cos 3A  ， 1BC  ， 3AC  ，三棱锥 O- ABC 的体积为 14 6 ，则球 O 的表面积为( ) A. 36π B. 16π C. 12π D. 16 3  10.在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1P ， 2P 分别为线段 AB ， 1BD （不包括端点）上的 动 点 ， 且 线 段 1 2P P 平 行 于 平 面 1 1A ADD ， 则 四 面 体 1 2 1PP AB 的 体 积 的 最 大 值 是 ( ) A． 1 24 B． 1 12 C． 1 6 D． 1 2 11.若关于 x 的不等式  2 2 2 0x m x m    的解集中恰有 4 个正整数，则实数 m 的取值范围为 （ ） A. (6,7] B. (6,7) C. [6,7) D. (6,+∞) 12.设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，动点 ,E F 在棱 1 1A B 上，动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上，若 EF=1, 1 , , ( , , 0),A E x DQ y DP z x y z    则下列结论错误的是（ ） A. //EF DPQ面 B.二面角 P-EF-Q 所成的角最大值为 4  C.三棱锥 P-EFQ 的体积与 ,x z 的变化无关，与 y 的变化有关 D.异面直线 EQ 和 1AD 所成的角大小与变化无关 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.点 P 在直线 4 0x y   上，O 为原点，则 OP 的最小值是__________ 14.一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线 : 1 0l x y   上的 P 点，再从 P 点出发爬行到点 (1,1)A ， 则虫子爬行的最短路程是__________． 15.已知函数 ( ) sin ( 0)f x x       在(0,2)上恰有一个最大值点和最小值点，则 的取值范围 是______. 16.如上图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AB、CC1 的中点， 1MB P 的顶点 P 在棱 CC1 与棱 C1D1 上运动，有以下四个命题： 3 (1)．平面 1MB P 1ND ； (2)．平面 1MB P ⊥平面 1 1ND A ； (3)．  1MB P 在底面 ABCD 上的射影图形的面积为定值； (4)．  1MB P 在侧面 1 1D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________. 三、解答题 17.(10 分) 某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为 2 和 4 ，几何体的 高为3，求此几何体的表面积和体积． 俯视图 侧视图正视图 18.已知直线l 经过点 ( 2,4)P  ， (1)求与原点距离等于 2 的直线l 的方程； (2)求在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程. 19.已知数列{an}满足 1 1a  ， 1 2n na a   ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 2n nS b  ． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设 n n nc a b  ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 20.已知函数 2( ) 6f x x x   . （1）求不等式 ( ) 0f x  的解集； 4 （2）若对于一切 1x  ，均有 ( ) ( 3) 10f x m x m    成立，求实数 m 的取值范围. 21.在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 1cos 2B   . （1）若 sin sin 2 sinb B a A c C  ，求 a c 的值.； （2）若 ABC 的平分线交 AC 于 D，且 1BD  ，求 4a c 的最小值. 22.如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC， B1C1 的中点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= π 3 ，求四棱锥 B– EB1C1F 的体积． 5 2022 届高二上学期第二次文科月考数学试卷 试卷答案 1. D 2.B3.B 4.A5.D 2. 6.A7.C8.C9.B10.A 3. 11.A 12.C 13. 14.2 15. 7 13,12 12       . 16.(2) (3) 17. 18.（1） 2 0x   或3 4 10 0x y   ；（2） 2 0x y  或 2 0x y   【分析】（1）分斜率存在与斜率不存在两种情况，根据点到直线距离公式，即可得出结果； （2）分截距为 0 与截距不为 0 两种情况，再由点 P 坐标，即可得出结果. 【详解】因为直线l 经过点 ( 2,4)P  ， （1）当斜率不存在时，易得 : 2l x   ，显然满足题意； 当斜率存在时，设直线l 的方程为 4 ( 2)y k x   ，即 2 4 0kx y k    ， 因为直线与原点距离等于 2， 所以有 2 2 4 2 1 k k + = + ，解得 3 4k   ， 此时 3 3 4 04 2x y- - - + = ，整理得3 4 10 0x y   ； 故所求直线方程为 2 0x   或3 4 10 0x y   ； （2）当直线在两坐标轴上的截距为 0 时，直线过原点， 所以此时直线方程为 4 0 22 0    y x x ，即 2 0x y  ； 当直线在两坐标轴上的截距不为 0 时，由题意可设所求直线方程为 :l x y m+ = ， 所以 2 4 m- + = ，即 2m  ， 所以 : 2 0  l x y ， 故所求直线方程为 2 0x y  或 2 0x y   . 6 【点睛】本题主要考查直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型. 19.（1） 2 1na n  ， 11 2 n nb     = ；（2） 1 2 12 2 n nT n       ． （1）由已知条件得 an+1﹣an＝2，利用等差数列的通项公式即可得出 an；且 2n nS b  ，当 2n  时，bn＝Sn﹣Sn﹣1，当 n＝1 时， 1 1b  ，利用等比数列的通项公式即可得出 bn； （2）由（1）得 1 2 1 1 2n n n nc a b n          ，利用分组求和求和即可. 【详解】（1）因为 1 1a  ， 1 2n na a   ，所以 na 为首项是 1，公差为 2 的等差数列，所以  1 1 2 2 1na n n      ． 又当 1n  时， 1 1 12b S b   ，所以 1 1b  ， 当 2n  时， 2n nS b  ① 1 12n nS b   ② 由 ① ② 得 1n n nb b b    ，即 1 1 2 n n b b   （ 2n  ）， 所以 nb 是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列，故 11 2 n nb     = ． （2）由（1）得 1 2 1 1 2n n n nc a b n          ， 所以   1 2 111 2 1 12 212 21 2 n n n n nT n                ． 20.解：（1）∵ ( ) 0f x  ，∴ 2 6 0x x   ，∴ ( 2)( 3) 0x x   ，∴ ( ) 0f x  的解集为 { | 2 3}x x   ， （2）∵ 2( ) 6f x x x   ， ∴当 1x  时， 2 6 ( 3) 10x x m x m      恒成立，∴ 2 4 4 ( 1)x x m x    ， ∴对一切 1x  均有 2 4 4 1 x xm x    成立， 又 2 4 4 11 2 2 1 2 01 1 x x xx x           ， 当且仅当 2x  时，等号成立. ∴实数 m 的取值范围为 ( ,0] . 7 21.（1）1（2）9【详解】解：（1）由正弦定理，得 2 2 22b a c  ，即 2 2 22b a c  . 由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 又 1cos 2B   ， 所以 2c ac . 所以 1a c  . （2）由题意得 ABC ABD DBCS S S    ， 即 1 1 1sin120 sin 60 sin 602 2 2ac a c     . 所以 ac a c  ，即 1 1 1a c   . 则 1 14 (4 )a c a c a c        4 45 5 2 9c a c a a c a c        ， 当且仅当 2c a ，即 3c  ， 3 2a  时取等号. 故 4a c 的最小值为 9. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了三角形面积公式及基本不等式的应用，属中 档题. 22.（1）证明见解析；（2）24. 【分析】 （1）由 ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 1//MN CC ，根据条件可得 1 1/ /AA BB ，可证 1MN AA// ， 要证平面 1 1EB C F  平面 1A AMN ，只需证明 EF  平面 1A AMN 即可； （2）根据已知条件求得 1 1EB C FS四边形 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 1 1B EB C FV  . 【详解】（1） ,M N 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 1//MN BB 又 1 1/ /AA BB 1//MN AA 在等边 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC AM 又 侧面 1 1BB C C 为矩形， 1BC BB  8 1//MN BB MN BC 由 MN AM M  ， ,MN AM  平面 1A AMN  BC ⊥平面 1A AMN 又 1 1 //B C BC ，且 1 1B C  平面 ABC ， BC 平面 ABC ， 1 1 //B C 平面 ABC 又 1 1B C  平面 1 1EB C F ，且平面 1 1EB C F 平面 ABC EF 1 1 / /B C EF //EF BC 又 BC  平面 1A AMN  EF  平面 1A AMN EF  平面 1 1EB C F 平面 1 1EB C F  平面 1A AMN （2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ， 画出图形，如图  //AO 平面 1 1EB C F AO 平面 1A AMN ，平面 1A AMN  平面 1 1EB C F NP //AO NP 又 //NO AP  6AO NP   O 为 1 1 1A B C△ 的中心.  1 1 1 1sin 60 6 sin 60 33 3ON AC       9 故： 3ON AP  ，则 3 3 3AM AP  ，  平面 1 1EB C F  平面 1A AMN ，平面 1 1EB C F 平面 1A AMN NP ， MH  平面 1A AMN  MH  平面 1 1EB C F 又 在等边 ABC 中 EF AP BC AM  即 3 6 2 3 3 AP BCEF AM     由（1）知，四边形 1 1EB C F 为梯形 四边形 1 1EB C F 的面积为： 1 1 1 1 2 6= 6 242 2EB C F EF BCS NP    四边形 1 1 1 1 1 3B EB C F EB C FV S h  四边形 ， h 为 M 到 PN 的距离 2 3 sin 60 3MH    ，  1 24 3 243V     .