2020-2021学年江西省南昌市第三中学高二上学期期中考试文科数学试题 word版

1 江西省南昌三中2020-2021学年度上学期期中考试 高二数学（文）试卷 一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1.直线 3 0x y a   的倾斜角为 （ ） A． 30° B．150 C．120 D．与 a 取值有关 2.已知直线l 和平面 ，无论直线l 与平面 具有怎样的位置关系，在平面 内总存在一条直线与 直线 l ( ) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 3.椭圆 2 2 125 9 x y  和椭圆 2 2 1(0 9)9 25 x y kk k      有（ ） A. 相等的焦距 B. 等长的长轴 C. 相等的离心率 D. 等长的短轴 4.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 5.已知直线 1 : (3 ) 4 5 3 0    l a x y a 与 2 : 2 (5 ) 8 0   l x a y 平行， 则 a 等于（ ）. A．-7 或-1 B．7 或 1 C．-7 D．-1 6.已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 ,m m   ，则  B．若 ,     ，则 / /  C．若 / / , / /m m  ，则 / /  D．若 , / /m n  ，则 m n 7.四面体 S-ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E,F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直 线 EF 与 SA 所成的角等于（ ） A. 090 B. 060 C. 045 D. 030 8.已知两点  A 3,4 ，  B 3,2 ，过点  P 1,0 的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的 取值范围是 ( ) A． 1,1 B．   , 1 1,     C． 1,1 D．   , 1 1,     9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含 着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 2x y  ，若将军从点  3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y  ，并假定将军只要到 达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）． A． 2 5 B． 17 2 C． 17 D．3 2 10．若直线 1x y a b   通过点 (cos sin )M  ， ，则（ ） A． 2 2 1a b  B． 2 2 1a b  C． 2 2 1 1 1a b   D． 2 2 1 1 1a b   11.已知圆    2 2: 3 4 1C x y    和两点  ,0A m ，   ,0 0B m m  ，若圆C 上存在点 P ，使 得 90APB  ，则 m 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C.6 D. 7 12．已知椭圆 C 的焦点为 1 2( 1,0), (1,0)F F ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 2 2| | 2 | |AF F B ， 1| | | |AB BF ，则 C 的方程为( ) A． 2 2 12 x y  B． 2 2 13 2 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 15 4 x y  二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13.椭圆 2 2 14 x y m   的焦距为 2，则 m = . 14.已知圆 2 2 6 0x y x   ，过点 (1,2) 的直线被圆所截得的弦的长度最小值为 . 15.已知曲线 1C 的方程为 2y k x  ，曲线 2C 的方程 2 2( 1) 4x y   ；若 1C 与 2C 有且仅有三个 2 公共点，则 _____k  . 16.如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 ,C D 的动点，将 ADE 沿 AE 翻折成 SAE ，使 得平面 SAE  平面 ABCE ，则下列说法中正确的有 ①存在点 E 使得直线 SA  平面 SBC ； ②平面 SBC 内存在直线与 SA平行 ③平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行； ④存在点 E 使得 SE BA ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17..求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在 x 轴上,椭圆上的点      2 3,1A 到两焦点的距离之和为 4； （2）离心率为 3 5 ，短轴长为 8 18.如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1A BCB 是棱长为 2 的正四面体． (1)求证： 1AC CC ； (2)求三棱锥 的体积． 19.已知直线 l 方程为 ， ． 求证：直线 l 恒过定点 P，并求出定点 P 的坐标； 若直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程． 20.如图，四棱锥 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 为等边三角形，E，F 分别为 PC 和 BD 的中点，且 ． 证明：平面 平面 ABCD； 求点 C 到平面 PDB 的距离． 21.已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）求⊙M 的圆心 M 点的轨迹方程． 22.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，点 33, 2P       在C 上． （1）求椭圆C 的方程； （2）设 1 2,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点，过 2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,A B ， 求 1F AB 面积 的最大值． 3 高二数学（文）答案 一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1.直线 3 0x y a   的倾斜角为 （ B ） A． 30° B．150 C．120 D．与 a 取值有关 2.已知直线l 和平面 ，无论直线l 与平面 具有怎样的位置关系，在平面 内总存在一条直线与 直线 l ( C ) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 3.椭圆 2 2 125 9 x y  和椭圆 2 2 1(0 9)9 25 x y kk k      有（ A ） A. 相等的焦距 B. 等长的长轴 C. 相等的离心率 D. 等长的短轴 4.一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（B ） B. 16 B. 12 C. 8 D. 6 5.已知直线 1 : (3 ) 4 5 3 0    l a x y a 与 2 : 2 (5 ) 8 0   l x a y 平行， 则 a 等于（ C ）. A．-7 或-1 B．7 或 1 C．-7 D．-1 6.已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ） A．若 ,m m   ，则  B．若 ,     ，则 / /  C．若 / / , / /m m  ，则 / /  D．若 , / /m n  ，则 m n 7.四面体 S-ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E,F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直 线 EF 与 SA 所成的角等于（ C ） A. 090 B. 060 C. 045 D. 030 8.已知两点  A 3,4 ，  B 3,2 ，过点  P 1,0 的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的 取值范围是 ( D ) A． 1,1 B．   , 1 1,     C． 1,1 D．   , 1 1,     9.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含 着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 2x y  ，若将军从点  3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y  ，并假定将军只要到 达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ B ）． A． 2 5 B． 17 2 C． 17 D．3 2 10．若直线 1x y a b   通过点 (cos sin )M  ， ，则（ D） A． 2 2 1a b  B． 2 2 1a b  C． 2 2 1 1 1a b   D． 2 2 1 1 1a b   11.已知圆    2 2: 3 4 1C x y    和两点  ,0A m ，   ,0 0B m m  ，若圆C 上存在点 P ，使 得 90APB  ，则 m 的最大值为（ C ） A. 4 B. 5 C.6 D. 7 12．已知椭圆 C 的焦点为 1 2( 1,0), (1,0)F F ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 2 2| | 2 | |AF F B ， 1| | | |AB BF ，则 C 的方程为( B ) A． 2 2 12 x y  B． 2 2 13 2 x y  C． 2 2 14 3 x y  D． 2 2 15 4 x y  二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13.椭圆 2 2 14 x y m   的焦距为 2，则 m =___5 或 3 14.已知圆 2 2 6 0x y x   ，过点 (1,2) 的直线被圆所截得的弦的长度最小值为___2__ 15.已知曲线 1C 的方程为 2y k x  ，曲线 2C 的方程 2 2( 1) 4x y   ；若 1C 与 2C 有且仅有三个 公共点，则 _____k  4 3k   16.如图，点 E 为正方形 ABCD 边CD 上异于点 ,C D 的动点，将 ADE 沿 AE 翻折成 SAE ，使 得平面 SAE  平面 ABCE ，则下列说法中正确的有___③ ①存在点 E 使得直线 SA  平面 SBC ； ②平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 ③平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行； ④存在点 E 使得 SE BA ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17..求适合下列条件的椭圆的标准方程： 4 （1）焦点在 x 轴上,椭圆上的点      2 3,1A 到两焦点的距离之和为 4； （2）离心率为 3 5 ，短轴长为 8 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  （2） 由 ，得 若椭圆焦点在 x 轴上，则方程为 ；若椭圆焦点在 y 轴上，则方程为 ． 18.如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1A BCB 是棱长为 2 的 正四面体． (1)求证： 1AC CC ； (2)求三棱锥 的体积． 19.已知直线 l 方程为 ， ． 求证：直线 l 恒过定点 P，并求出定点 P 的坐标； 若直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程． 【答案】解： 对于直线 l 方程为 ， ，即 ， 该直线一定经过直线 和直线 的交点 ， 故定点 ． 对于直线 l 方程为 ，当直线 l 不经过原点时，令 ，可得 ， 再令 ，可得 ， 由于 ，求得 ，故直线 l 的方程 ． 当直线 l 经过原点时， ，求得 ，故直线 l 的方程 ． 故要求的直线 l 的方程为 或 ． 20.如图，四棱锥 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 为等边三角形，E，F 分别为 PC 和 BD 的中点，且 ． 证明：平面 平面 ABCD； 求点 C 到平面 PDB 的距离． 【答案】 证明： ，F 分别为 PC 和 BD 的中点， 5 ，又 ， ， 四边形 ABCD 是正方形， ， 又 ， 平面 PAD， 平面 PAD， 平面 PAD，又 平面 ABCD， 平面 平面 ABCD． 解：取 AD 的中点 O，连接 PO， 是等边三角形， ， ，且 ，又平面 平面 ABCD，平面 平面 ， 平面 ABCD，又四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ， ， 连接 OB，则 ，故 ， 又 ，又 ， ， 设 C 到平面 PBD 的距离为 h，则 ， ，解得 ． 即点 C 到平面 PBD 的距离为 ． 21.已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）求⊙M 的圆心 M 点的轨迹方程． 解：（1）因为 M 过点 ,A B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 + =0x y 上，且 ,A B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x 上，故可设 ( , )M a a . 因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 | 2 |r a  . 由已知得| |=2AO ，又 MO AO  ，故可得 2 22 4 ( 2)a a   ，解得 =0a 或 =4a . 故 M 的半径 =2r 或 =6r . （2）设 ( , )M x y ，由已知得 M 的半径为 =| +2|,| |=2r x AO . 由于 MO AO  ，故可得 2 2 24 ( 2)x y x    ，化简得M的轨迹方程为 2 4y x . 22.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，点 33, 2P       在C 上． （1）求椭圆C 的方程； （2）设 1 2,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点，过 2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,A B ， 求 1F AB 面积的最大值． 6