2020-2021学年江苏省宝应中学高二上学期第七次周测数学试题（解析版）

1 江苏省宝应中学 2020-2021 学年高二上学期第七次周测数学试题 一、选择题 1.命题“ x R， 2 1 0x x   ”的否定是（ ） A. x R， 2 1 0x x   B. x R， 2 1 0x x   C. x R， 2 1 0x x   D. x R， 2 1 0x x   2.已知方程 2 2 11 2 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A. 1 2m  B. 31 2m  C. 3 22 m  D. 1 2m  且 3 2m  3.已知向量 a  (  ，6，2)，b  (﹣1，3，1)，满足 a ∥ b ，则实数  的值是（ ） A. 2 B. 6 C. ﹣2 D. ﹣6 4.抛物线 2 8y x 的焦点到准线的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5.已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线过点 2, 3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 2 4 7y x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. 2 2 121 28 x y  B. 2 2 128 21 x y  C. 2 2 13 4 x y  D. 2 2 14 3 x y  6.在正项等比数列{ }na 中，若 6 5 7,3 ,a a a 依次成等差数列，则{ }na 的公比为（ ） A．2 B． 1 2 C．3 D． 1 3 7.已知在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 3BM MC ， 点 N 是棱 AD 的中点，若 MN xAB yAC zAD      其中 , ,x y z 为实数， 则 x y z  的值是（ ） A. 1 2 B. 1 2  C. －2 D. 2 2 8.过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， 2F 为右焦点，若 1 2 60F PF   ， 则椭圆的离心率为（ ） A. 3 3 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 二．多选题 9.已知 p，q 都是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，则（ ） A. p 是 q 的既不充分也不必要条件 B. p 是 s 的充分条件 C. r 是 q 的必要不充分条件 D. s 是 q 的充要条件 10.已知等比数列 na 中，满足 1 1a  ，公比 q＝﹣2，则（ ） A. 数列 12 n na a  是等比数列 B. 数列 1n na a  是等比数列 C. 数列 1n na a  是等比数列 D. 数列 2log na 是递减数列 11.设 P 是椭圆 C： 2 2 12 x y  上任意一点，F1，F2 是椭圆 C 的左、右焦点，则（ ） A PF1＋PF2＝ 2 2 B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2 C. 1≤PF1·PF2≤2 D. 0≤ 1 2PF PF  ≤1 12.已知 F1，F2 为双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0 且 a≠b)的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意 一点，O 为坐标原点．给出的下面四个命题中，真命题为（ ） A．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x＝a 上； B．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x＝b 上； C．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上； D．△PF1F2 的内切圆必通过点(a,0)． 三.填空题 13.若双曲线 2 2 1yx m   的离心率为 3 ，则实数 m  __________． 14.设 1 2F F， 为椭圆 C : 2 2 + 136 20 x y  的两个焦点, M 为C 上一点且在第一象限.若 1 2MF F△ 为等腰三角形，则 M 的坐标为____ 3 15.已知四棱柱 1 1 1ABCD A BC D 的底面 ABCD 是矩形， 5AB  ， 3AD  ， 1 4AA  ， 1 1 60BAA DAA     ，则 1AC  ____ 16.曲线C 是平面内与两个定点  1 1,0F  和  2 1,0F 的距离的积等于常数  2 1a a  的点的轨迹,给出下列 三个结论:①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线C 上,则 1 2F PF ,的面积不 大于 21 2 a ，其中，所有正确结论的序号是_____ 四、解答题 17.已知 p：方程 2 2 12 2 x y m m   表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线；q：a≤m≤a＋2． （1）若命题 p 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围． 18.设{ }na 是公比不为 1 的等比数列， 3 4a  ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求{ }na 的公比； （2）求数列{2 }nn a 的前 n 项和． 条件①： 1a 为 2a ， 3a 的等差中项；条件②：设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 3 1 2S S  ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19.已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 2y x  ，过点 6 ,12P       ． （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）是否存在被点  1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 4 20.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时， 拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一 条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽 6m． （1）根据如图所示的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； （2）近日水位暴涨了 1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低 多少? （精确到 0.1m） 21.已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a3＝5，a1，a2，a3 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 2 1 4 2n n b a n    ，Sn 是数列{bn}的前 n 项和，若对任意正整数 n，不等式 2Sn＋(－1)n＋1·a＞0 恒成立， 求实数 a 的取值范围． 22.已知椭圆 2 2 2:9 ( 0)C x y m m   ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A ，B ，线 段 AB 的中点为 M ． （Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点 ( , )3 m m ，延长线段 OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的 斜率，若不能，说明理由． 5 答案： 江苏省宝应中学高二数学周测试卷 7 一、选择题 1.命题“ x R， 2 1 0x x   ”的否定是（ ） A. x R， 2 1 0x x   B. x R， 2 1 0x x   C. x R， 2 1 0x x   D. x R， 2 1 0x x   【答案】A 【详解】命题“ x R， 2 1 0x x   ”的否定是 x R， 2 1 0x x   。故选：A. 2.已知方程 2 2 11 2 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A. 1 2m  B. 31 2m  C. 3 22 m  D. 1 2m  且 3 2m  【答案】C 【详解】 2 2 11 2 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆 1 2 0m m     ，解得： 3 22 m  故选：C 3.已知向量 a  (  ，6，2)，b  (﹣1，3，1)，满足 a ∥ b ，则实数  的值是（ ） A. 2 B. 6 C. ﹣2 D. ﹣6 【答案】C 【详解】因为 a ∥b ，所以 6 2 1 3 1    ，解得 2   。故选：C. 4.抛物线 2 8y x 的焦点到准线的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 6 【详解】由 2 2 8y px x  ，知 p ＝4，而焦点到准线的距离就是 p ． 故选 C． 5.已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线过点 2, 3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 2 4 7y x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. 2 2 121 28 x y  B. 2 2 128 21 x y  C. 2 2 13 4 x y  D. 2 2 14 3 x y  【答案】D 【解析】 试题分析：双曲线的一条渐近线是 by xa  ，则 23 b a  ①，抛物线 2 4 7y x 的准线是 7x   ，因此 7c  ，即 2 2 2 7a b c   ②，由①②联立解得 2 { 3 a b   ，所以双曲线方程为 2 2 14 3 x y  ．故选 D． 6.在正项等比数列{ }na 中，若 6 5 7,3 ,a a a 依次成等差数列，则{ }na 的公比为（ ） A．2 B． 1 2 C．3 D． 1 3 【答案】A 【解析】由题意知 5 6 72 3a a a  ，又 na 为正项等比数列，所以 4 5 6 1 1 16a q a q a q  ，且 0q  ，所以 2 6 0q q   ，所以 2q = 或 3q   （舍），故选 A． 7.已知在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 3BM MC ， 点 N 是棱 AD 的中点，若 MN xAB yAC zAD      其中 , ,x y z 为实数， 则 x y z  的值是（ ） A. 1 2 B. 1 2  C. －2 D. 2 【答案】B 7 【详解】  3 1 1 3 1 4 2 4 4 2MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD                     故 1 2x y z    故选： B 8.过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， 2F 为右焦点，若 1 2 60F PF   ， 则椭圆的离心率为（ ） A. 3 3 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，焦点在 x 轴上，设 2 2 2 2 1x y a b   左焦点(-c，0)，故 P 坐标可求为(-c，± 2b a ) 1 2F F =2c， 所以 1F P = 2 3 c 即有 2 3 c = 2b a 2 22 3 3 c a c a  2 2 3 1 03c ac   , 同时除以 a²， 2 2 3 1 03e e   ,求得 3 3e  二．多选题 9.已知 p，q 都是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，则（ ） A. p 是 q 的既不充分也不必要条件 B. p 是 s 的充分条件 C. r 是 q 的必要不充分条件 D. s 是 q 的充要条件 【答案】BD 【解析】 【详解】因为 ,p r q r  ， r s ， s q ，故 p s ， q s ，故选:BD。 10.已知等比数列 na 中，满足 1 1a  ，公比 q＝﹣ 2，则（ ） 8 A. 数列 12 n na a  是等比数列 B. 数列 1n na a  是等比数列 C. 数列 1n na a  是等比数列 D. 数列 2log na 是递减数列 【答案】BC 【详解】因为 na 是等比数列，所以 1 2n na a   ， 12 0n na a   ，故 A 错； 1 1 1 1 ( 1) 2n n n na a q        ， 1 ( 1) 2n n na     ，于是 1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 3 2n n n n n n na a              ，故 1{ }n na a  是等比数列，故 B 正确； 1 1 2 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 2)n n n n n n na a             ，故 C 正确； 1 2 2log log 2 1n na n   ，是递增数列，故 D 错。 故选:BC. 11.设 P 是椭圆 C： 2 2 12 x y  上任意一点，F1，F2 是椭圆 C 的左、右焦点，则（ ） A PF1＋PF2＝ 2 2 B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2 C. 1≤PF1·PF2≤2 D. 0≤ 1 2PF PF  ≤1 【答案】ACD 【详解】椭圆长轴长为 2 2 ，根据椭圆定义 1 2 2 2PF PF  ，故选 A； 设 P 是椭圆 C 的任意一点，则 1 2 1 2 2 2 1 2PF PF F F     ，所以 1 22 2PF PF    ，B 错误；    2 2 1 2 1 2 1 2 1 4PF PF PF PF PF PF       ,而  2 1 20 4PF PF   ，所以 1 21 2PF PF   ，C 正确； 2 2 11 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) 1PF PF OF OP OF OP OF OF OP OF OF OP OP                         ,又根据椭圆性质 有1 2OP  ，所以 2 1 20 1 1PF PF OP       ，D 正确。故选:ACD. 12．已知 F1，F2 为双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0 且 a≠b)的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意 一点，O 为坐标原点．给出的下面四个命题中，真命题为________． A．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x＝a 上； B．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x＝b 上； C．△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上； D．△PF1F2 的内切圆必通过点(a,0)． 解：AD 9 三.填空题 13.若双曲线 2 2 1yx m   的离心率为 3 ，则实数 m  __________． 【答案】2 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 21, , 1 3c a ba b m e ma a        ， 2m  .渐近线方程是 2y mx x    . 14.设 1 2F F， 为椭圆 C : 2 2 + 136 20 x y  的两个焦点, M 为C 上一点且在第一象限.若 1 2MF F△ 为等腰三角形，则 M 的坐标为_____  15,3 ______. 15.已知四棱柱 1 1 1ABCD A BC D 的底面 ABCD 是矩形， 5AB  ， 3AD  ， 1 4AA  ， 1 1 60BAA DAA     ，则 1AC  ____ 【答案】 82 【详解】 1 1AC AB AD AA      故 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2 2AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA                        2 2 2 1 13 4 5 2 4 3 2 4 5 822 2             ，故 1 82AC  故答案为： 82 16.曲线C 是平面内与两个定点  1 1,0F  和  2 1,0F 的距离的积等于常数  2 1a a  的点的轨迹,给出下列 三个结论:①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线C 上,则 1 2F PF ,的面积不 大于 21 2 a ，其中，所有正确结论的序号是_____ 10 【答案】②③ 【解析】 【详解】设曲线C 上点的坐标为 ,x y ，则      2 22 2 21 1 1x y x y a a       ①将  0,0 代入曲线方程知： 21 1 1 a   曲线C 不过坐标原点，①错误； ②若  ,x y 在曲线C 上，将 ,x y  代入曲线方程，可知方程成立，则曲线C 关于坐标原点对称，②正确； ③ 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1sin sin2 2 2F PF aS PF PF F PF F PF a      ，③正确. 故答案为：②③ 四、解答题 17.已知 p：方程 2 2 12 2 x y m m   表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线；q：a≤m≤a＋2． （1）若命题 p 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） (0, ) （2） (0, ) 解：（1）因为方程 2 2 12 2 x y m m   表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线， 所以 2 0, +2 0, m m    解得 0m  ，所以命题 p 为真时实数 m 的取值范围为 (0, ) ． （2）因为 p 是 q的必要条件，所以 q p ，所以   , 2 0,a a    ，故 0a  ． 综上，实数 a 的取值范围为 (0, ) ． 18.设{ }na 是公比不为 1 的等比数列， 3 4a  ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）求{ }na 的公比； （2）求数列{2 }nn a 的前 n 项和． 条件①： 1a 为 2a ， 3a 的等差中项；条件②：设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 3 1 2S S  ． 11 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2） 1 ( 2)( 1) 3 n n n    【解析】选① （1）因为 1a 为 2 3a a、 的等差中项，所以 1 2 32a a a  ， 所以 2 1 1 12a a q a q  ， 因为 1 0a  ，所以 22 q q  ，所以 2q   ， 1q  （舍）， 选② （1）因为 3 1 2S S  ，所以 1 2 3 1 2 3 2a a a a a a      ， 因为 3 4a  ，所以 2 2a   ，所以 3 2 2aq a    . （2）由题得等比数列{ }na 的首项 3 1 2 4 14 aa q    ，所以 1( 2)n na   ， 设数列{2 }nn a 的前 n 项和为 nS ， 因为数列{2 }n 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列， 所以 (2 2 ) 1(1 ( 2) ) 2 1 ( 2) n n n nS       1 ( 2)( 1) 3 n n n     ． 19.已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 2y x  ，过点 6 ,12P       ． （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）是否存在被点  1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 12 yx   （2）直线 l 不存在．详见解析 【解析】（1）双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y 2x  ， 设双曲线方程为： 2 2 yx λ2   ，过点 6P ,12       ，可得 λ 1 ， 所求双曲线方程为： 2 2 yx 12   ． （2）假设直线 l 存在．设  B 1,1 是弦 MN 的中点， 12 且  1 1M x ,y ，  2 2N x ,y ，则 1 2x x 2  ， 1 2y y 2  ． M ，N 在双曲线上， 2 2 1 12x y 1 2 2 2 22x y 1      ，      1 2 1 2 1 2 1 22 x x x x y y y y 0       ，    1 2 1 24 x x 2 y y    ， 1 2 1 2 y yk 2x x    ， 直线 l 的方程为  y 1 2 x 1   ，即 2x y 1 0   ， 联立方程组 2 22x y 2 2x y 1 0       ，得 22x 4x 3 0   16 4 3 2 8 0       ，直线 l 与双曲线无交点，直线 l 不存在． 20.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一 条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽 6m． （1）根据如图所示的直角坐标系，的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； （2）近日水位暴涨了 1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低 多少? （精确到 0.1m） 【答案】（1）直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是 2 18x y  （2）0.6m 【详解】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为 A ， B ， 以 AB 垂直平分线为 y 轴，拱圈最高点O 为坐标原点， 建立平面直角坐标系，则 ( 12, 8)A   ， (12, 8)B  ， 设拱桥所在的抛物线方程为 2 2 ( 0)x py p   ， 因点 ( 12, 8)A   在抛物线上，代入解得 9p  ， 故拱桥所在的抛物线方程是 2 18x y  ． （2）因 2 18x y  ，故当 3x  时， 0.5y   ， 13 故当水位暴涨 1.54m 后，船身至少应降低 6.5 1.54 (8 0.5) 0.54    ， 因精确到 0.1m，故船身应降低 0.6m． 答：船身应降低 0.6m，才能安全通过桥洞． 21.已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a3＝5，a1，a2，a3 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 2 1 4 2n n b a n    ，Sn 是数列{bn}的前 n 项和，若对任意正整数 n，不等式 2Sn＋(－1)n＋1·a＞0 恒成立， 求实数 a 的取值范围． 【解析】 (1)因为 a3＝5，a1，a2，a5 成等比数列，所以 a1＋2d＝5， a1＋d 2＝a1 a1＋4d ， 解得 a1＝1，d＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)因为 bn＝ 1 a2 n＋4n－2 ＝ 1 2n－1 2＋4n－2 ＝ 1 4n2－1 ＝ 1 2n－1 2n＋1 ＝ 1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 ， 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 1 2 1－ 1 3 ＋ 1 2 1 3 － 1 5 ＋…＋ 1 2 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝ 1 2 1－ 1 2n＋1 ， 依题意，对任意正整数 n，不等式 1－ 1 2n＋1 ＋(－1)n＋1a＞0， 当 n 为奇数时，1－ 1 2n＋1 ＋(－1)n＋1a＞0 即 a＞－1＋ 1 2n＋1 ，所以 a＞－ 2 3 ； 当 n 为偶数时，1－ 1 2n＋1 ＋(－1)n＋1a＞0 即 a＜1－ 1 2n＋1 ，所以 a＜ 4 5 . 14 所以实数 a 的取值范围是（－ 2 3 ， 4 5 ）. 22.已知椭圆 2 2 2:9 ( 0)C x y m m   ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A ，B ，线 段 AB 的中点为 M ． （Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点 ( , )3 m m ，延长线段 OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的 斜率，若不能，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能， 4 7 或 4 7 ． 解：(1)设直线 :l y kx b  ( 0, 0)k b  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， ( , )M MM x y ． ∴由 2 2 2{9 y kx b x y m     得 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m     ， ∴ 1 2 22 9M x x kbx k     ， 2 9 9M M by kx b k     ． ∴直线 OM 的斜率 9M OM M yk x k    ，即 9OMk k   ． 即直线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值 9 ． （2）四边形 OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点 ( , )3 m m ，∴l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 0k  ， 3k  由 (Ⅰ)得 OM 的方程为 9y xk   ．设点 P 的横坐标为 Px ． ∴由 2 2 2 9 ,{ 9 , y xk x y m     得 ，即 将点 ( , )3 m m 的坐标代入直线l 的方程得 (3 ) 3 m kb  ，因此 2 ( 3) 3( 9)M mk kx k   ． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 2P Mx x 15 ∴ 23 9 km k    2 ( 3)2 3( 9) mk k k   ．解得 1 4 7k   ， 2 4 7k   ． ∵ 0, 3i ik k  ， 1i  ， 2 ， ∴当l 的斜率为 4 7 或 4 7 时，四边形OAPB 为平行四边形．