2020-2021学年江西省赣州市高二上学期第二次大考数学（文）试题 Word版

- 1 - 2020-2021 学年度第一学期高二第二次大考 数学（文）试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组 罚球 40 个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的 一个是（ ） A．甲的极差是 29 B．甲的中位数是 24 C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是 21 2．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图 为( ) 3．如图， ' ' 'A B C△ 是 ABC△ 的直观图，其中 ' ' ' 'A B A C ， 那么 ABC△ 是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 4．甲、乙两名运动员分别进行了 5 次射击训练，成绩如下： 甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10. 若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用 1x ， 2x 表示，方差分别用 2 1s ， 2 2s 表示，则（ ） A． 1 2x x ， 2 2 1 2s s B． 1 2x x ， 2 2 1 2s s C． 1 2x x ， 2 2 1 2s s D． 1 2x x ， 2 2 1 2s s 5．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 7 个个体，选取 - 2 - 方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A． 02 B． 07 C． 01 D． 06 6．若实数 的取值如表，从散点图分析， 与 线性相关，且回归方程为 ， 则 （ ） A． B． C． D． 7．设 m 、 n 是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A． m n ， m  ， n      B．  ， m   ， m n n    C． n   ， m  ， m m n ∥ ∥ D． m ∥ ， n  ， m n ∥ 8．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为 E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7， 则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ） A． 7 5 B． 5 7 C． 74 745 D． 74 747 9．圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最小距离的差是 ( ) A． 36 B． 18 C． 5 2 D． 6 2 10．数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中 垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 ABC 的顶点为  0,0A ，  5,0B ，  2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ） 注：重心坐标公式为横坐标： 1 2 3 3 x x x  ；纵坐标： 1 2 3 3 y y y  . A． 2 10 0x y   B． 2 5 0x y   C． 2 10 0x y   D． 2 5 0x y   11．两圆 2 2 22 1 0x y my m     和 2 2 24 4 9 0x y nx n     恰有一条公切线，若 m R ， - 3 - n R ，且 0mn  ，则 2 2 4 1 m n  的最小值为（ ） A． 4 B． 3 C．2 D．1 12．如图，在空间四边形 ABCD中，两条对角线 ,AC BD 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平行于这 两条对角线的平面与边 , , ,AB BC CD DA 分别相交于点 , , ,E F G H ，记四边形 EFGH 的面积为 y， 设 BE xAB = ，则（ ） A．函数 ( )y f x= 的值域为(0,4] B．函数 ( )y f x= 的最大值为 8 C．函数 ( )y f x= 在 2(0, )3 上单调递减 D．函数 ( )y f x= 满足 ( ) (1 )f x f x= - 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知一组数据 1x ， 2x ， ， nx 的方差为 5，则这组数据 13 2x  ， 23 2x  ， ，3 2nx  的方 差为 ． 14．已知直线 6 0x ay   与圆 2 2 8x y  交于 ,A B 两点，若 2 2AB  ，则 a  . 15．表面积为 4 3 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ． 16．在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，D 为棱 1AA 的中点，若 1BC D 是面积为 6 的直角三角形，则此 三棱柱的体积为 ． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 9AC  ， 12BC  ， 15AB  ，点 D 是 AB 的中点． （1）求证： 1AC B C ； （2）求证： 1AC ∥平面 1CDB ． 18．（本小题满分 12 分） - 4 - 某快递公司近 60 天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值 作代表）. （1）求这 60 天每天包裹数量的平均值和中位数； （2）在这 60 天中包裹件数在[100，200）和 [200，300）的两组中，用分层抽样的方法抽取30件， 求在这两组中应分别抽取多少件？ 19．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， acbca 2222  ． （I）求 B 的大小； （II）求 CA coscos2  的最大值． 20．（本小题满分 12 分） 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价（ x 元）试销 l 天，得到如表单价 x （元）与销量 y （册）数据： 单价 x （元） 18 19 20 21 22 销量 y （册） 61 56 50 48 45 （l）根据表中数据，请建立 y 关于 x 的回归直线方程, （2）预计今后的销售中，销量 y （册）与单价 x （元）服从（l）中的回归方程，已知每册书 的成本是 12 元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？ - 5 - 附： 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆˆa y bx  ， 5 1 5160i i i x y   ， 5 2 1 2010i i x   . 21．（本小题满分 12 分） 如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 , 2 2 2DC AD AB   ， DAB  90ADC   , 2PB  ， PDC 为等边三角形. （1）证明： PD BC ； （2）求点 B 到平面 PCD的距离. 22．（本小题满分 12 分） 已知圆心为C 的圆过原点 (0, 0)O ，且直线 2 2 0x y   与圆C 相切于点 (0 , 2 )P . （1）求圆C 的方程； （2）已知过点 ( 0 , 1 )Q 的直线l 的斜率为 k ，且直线l 与圆C 相交于 ,A B 两点， （i）若 2k  ，求弦 AB 的长； （ii）若圆C 上存在点 D ，使得CA CB CD    成立，求直线l 的斜率 k . - 6 - 2020-2021 学年度第一学期高二第二次大考 数学（文）试卷参考答案 一、选择题 B C D D C D C A D D A D 二、填空题 13. 45 14. 5 15. 6 16. 8 3 三、解答题 17.【解析】（1）直三棱柱 1 1 1ABC A B C ， 1CC  面 ABC ， 1CC AC  ， 又 9AC  ， 12BC  ， 15AB  ， 2 2 2AB BC AB   ， AC BC  ， 1CC BC C ， AC  面 1 1BB C C ， 1AC B C  ．----------5 分 （2）取 1 1A B 的中点 1D ，连结 1 1C D 和 1AD ， 1 1AD D B ∥ ，且 1 1AD D B ， 四边形 1 1ACB D 为平行四边形， 1 1AD DB ∥ ， 1AD ∥面 1CDB ， 1 1CC DD ∥ ，且 1 1CC DD ，四边形 1 1CC D D 为平行四边形， 1 1C D CD ∥ ， 1 1C D ∥面 1CDB ， 1 1 1 1AD C D D  ，面 1 1AC D ∥面 1CDB ， 1AC ∥平面 1CDB ．----------10 分 18.【解析】（1）每天包裹数量的平均数为 ； 或：由图可知每天揽 50、150、250、350、450 件的天数分别为 6、6、30、12、6， 所以每天包裹数量的平均数为 ----------4 分 设中位数为 x，易知 ，则 ， 解得 x=260. ----------8 分 所以公司每天包裹的平均数和中位数都为 260 件. （2）件数在[100，200）.[200，300）的频率分别为 0.1，0.5 - 7 - 频率之比为 1:5，所抽取的30件中，在[100，200）的件数为 130 =56  ， 在[200,300) 的件数为 530 =256  . ----------12 分 19. 【解析】（1） ，又∵ ，∴ ......................6 分 （2）由（1）知 ............................ 10 分 因为 ，所以当 时， 取得最大值 .................................12 分 20．【解析】 （1） 18 19 20 21 22 205x      ， 61 56 50 48 45 525y      -------2 分 又 5 1 5160i i i x y   ， 5 2 1 2010i i x   所以 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        2 5160 5 20 52 40 42010 5 20 10         ， ----------4 分 故 ˆˆ 52 ( 4) 20 132a y bx       所以 y 对 x 的回归直线方程为： ˆ ˆ4 132y x   ． ------------6 分 （2）设获得的利润为W ， 2( 12) 4 180 1584W x y x x      ， ------------9 分 因为二次函数 24 180 1584W x x    的开口向下， 所以当 22.5x  时，W 取最大值， 所以当单价应定为 22.5 元时，可获得最大利润． ---------12 分 21．【解析】∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形， DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB 2 ，△PDC 为等边三角形． ∴BC＝BD 2 21 1 2   ， - 8 - ∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2， ∴BD⊥BC，PB⊥BC， ∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面 PBD， ∵PD  平面 PBD， ∴PD⊥BC．----------6 分 （2）由（1）知， 3 14 3, 2 2 14 2PCD BCDS S        ， 故 1 1 63 1 23 3 3B PCD P BCDV V d d          故得点 B 到面 PCD 的距离为 6 3 ----------12 分 22.【解析】（1）由已知得，圆心在线段 OP 的垂直平分线 1y  上， 圆心也在过点  0,2P 且与 2 2 0x y   垂直的直线 1 22y x   上， 由 1 1 22 y y x     得圆心  2,1C ， 所以半径 2 22 1 5r OC    ，所以圆C 的方程为   2 22 1 5x y    .-------4 分 （2）①由题意知，直线l 的方程为 1 2y x  ，即 2 1 0x y   ， ∴圆心  2,1C 到直线l 的距离为 4 5 d  ， ∴ 2 2 2 4 6 52 2 5 55 AB r d         .----------8 分 ②∵圆C 上存在点 D ，使得CA CB CD    成立，∴四边形CADB 是平行四边形， 又 CA CB CD r   ，∴ ,CAD CBD  都是等边三角形， ∴圆心C 到直线l 的距离为 5 2 2 r  ， 又直线l 的方程为 1y kx  ，即 1 0kx y   ， - 9 - ∴ 2 2 5 21 k k   ，解得 55 11k   . ----------12 分