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2020－2021 学年上学期期中考试
高二数学试题（理科）
说明：本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟，
注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.五号黑体
1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0．5 毫米签字笔填写在
答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0．5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其
它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破
损。
3．考试结束后，答题纸交回。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.点 ( 3,1)P 在极坐标系中的坐标为（ ）
A. 5(2, )6
B. 5(2, )6
C. 5(4, )6
D. 5(4, )6
2.已知 ab＜0，bc＞0，则直线 ax＋by＋c＝0 通过( ) 象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
3.抛物线 2 2x y 的准线方程为（ ）
A. 1
2x B. 1
2x C. 1
2y D. 1
2y
4.若直线 1 (2 3
x t ty t
为参数）与直线 1 0kx y 平行，则常数 k =（ ）
A． 3 B． 1
3
C． 1
3 D．3
5．与圆 2 2 2 2
1 2:( 1) ( 3) 16, : 4 2 4 0C x y C x y x y 都相切的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
6. 圆 2 2 4 2 0x y x y 和圆 2 2 2 3 0x y x 交于 A、B 两点，则相交弦 AB 的垂直平
分线的方程为（ ）
A． 6 2 3 0x y B． 3 1 0x y C． 2 2 3 0x y D． 3 1 0x y
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7．已知 1 2,F F 是椭圆
2
2: 14
xC y 的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且
1 2
3PF FS ，则
1 2F PF （ ）
A．
6
B．
3
C．
2
D． 2
3
8．双曲线
2 2
1( 0)x y mnm n
离心率为 2，且其焦点与椭圆 159
22
yx 的焦点重合，则 mn 的
值为（ ）
A. 3 B. 3 C.1 D. 4
9．若抛物线 2 2 0y px p 上的点 0 ,4 2A x 到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 3 倍，
则 p 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10.已知 F 是双曲线
2 2
14 12
y x 的下焦点， (4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，
则 PF PA 的最小值为( )
A.9 B. 8 C.7 D.6
11．已知点 P 是椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点， 1 2,F F 分别是椭圆的左、右焦点， I 为
1 2PF F 的内心，若
1 2 1 2
3IPF IPF IF FS S S 成立，则椭圆的离心率为（ ）
A． 1
3 B． 2
3 C． 3
4 D． 3
5
12．双曲线 )0,0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的右焦点为 4 0F（ ，），设 A 、 B 为双曲线上关于原点对称的
两点， AF 的中点为 M ， BF 的中点为 N ，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，直
线 AB 的斜率为 3 7
7
，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． 5 D． 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．曲线 2 2: 1C x y 经
'
' 2
x x
y y
坐标变换后所得曲线的方程为_____________.
14. 已知直线 2 2 0x y 经过椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
的一个顶点和一个焦点，那么
这个椭圆的方程为 ；
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15. 点 ( , )P x y 是直线 3 0kx y 上一动点， ,PA PB 是圆 2 2: 4 3 0C x y y 的两条切
线， ,A B 是切点，若四边形 PACB 面积的最小值为 2，则 k 的值为______．
16. 已知O 为坐标原点，抛物线 2 2C y px： 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4 ，若点 M 为抛物
线C 准线上的动点，给出以下命题： []
①当 MAF△ 为正三角形时， p 的值为 2 ；②存在 M 点，使得 0MFMA ；
③若 3MF FA ，则 p 等于3；④ OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于 4 或12 .
其中正确的是__________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为
2 21 1 3x y ，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标
系方程为 4 R .
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
18．（本小题满分 12 分）已知双曲线
2
2: 12
xC y ．
（1）求与双曲线 C 有共同的渐近线，且过点 ( 2, 2) 的双曲线的标准方程；
（2）若直线l 与双曲线 C 交于 A、B 两点，且 A、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率．
19．（本小题满分 12 分）如图，抛物线的顶点在原点，圆 2 2( 2) 4x y
- 4 -
的圆心恰是抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）一条直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 A 、B 、C 、D 四点，
求| | | |AB CD 的值.
20 .（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
21 2
21 2
x t
y t
（t 为参数），在极坐标系（与直角
坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐
标方程为 05cos62 ，圆C 与直线l 交于 A ， B 两点， P 点的直角坐标为 (1,1) ．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求 PBPA 的值．
21.（本小题满分 12 分）
已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为 1x ，直线l 与抛物线相交于
不同的 A 、 B 两点．
（1）求抛物线的标准方程；
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（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB 的值；
（3）如果 4OA OB ，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，
试说明理由．
22. （本小题满分 12 分）
如图，椭圆 1C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 3
2
，过抛物线
2C ： 2 4x by 焦点 F 的直线交抛物线于 ,M N 两点，当 7| | 4MF 时，M 点在 x 轴上的射影
为 1F ，连接 ,NO MO 并延长分别交 1C 于 ,A B 两点，连接 AB ， OMN 与 OAB 的面积分
别记为 OMNS ， OABS ，设 OMN
OAB
S
S
.
（1）求椭圆 1C 和抛物线 2C 的方程；
（2）设 ON,OM 所在直线的斜率为 ,OM ONk k ，求证 OM ONk k 为定值；
（3）求 的取值范围.
[]
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2020－2021 学年上学期期中考试
高二数学答案（理科）
一、选择题
1-5 ACDDC 6-10 BDBDA 11-12 AB
二、填空题
13．
2
2 14
yx 14.
2
2 15
x y 15. 2 16. ①③④
三、解答题
17.（1）将 2 2( 1) ( 1) 3x y 改称为 2 2 2 2 1 0x y x y ，
化为极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 1 0 ；………5 分
（2）将
4
代入 2 2 cos 2 sin 1 0 得， 2 1 0 ，
0 ，所以方程 2 1 0 有 2 个不同的根 1 1 ， 2 1 ，
所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为 1 2 2 .………10 分
18．（1）设所求双曲线方程为
2
2 ( 0)2
x y k k ，代入 ( 2, 2) ，得 1k ，
所以所求双曲线方程为
2
2 12
xy ；………6 分
（2）设 ),(),,( 2211 yxByxA ，因为 A 、 B 在双曲线上，
2
21
1
2
22
2
1 (1)2
1 (2)2
x y
x y
，（1）-(2)得 1 2 1 2
1 2 1 2
( )( ) ( )( )2
x x x x y y y y ，
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2( ) 2l
y y x xk x x y y
．………12 分
19.（1）设抛物线方程为 2 2 ( 0)y px p ，
圆 2 2 22 2x y 的圆心恰是抛物线的焦点，∴ 4p ． ……………………3 分
抛物线的方程为： 2 8y x ； ……………………6 分
（2）依题意直线 AB 的方程为 2 4y x
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设 1 1,A x y ， 2 2,D x y ，则 2
2 4
8
x x
y x
，得 2 6 4 0x x ，
1 2 6x x ，……………………9 分 1 2 6 4 10AD x x p ． ……………………11
分
10 4 6AB CD AD CB ．……………………12 分
20. 解：（Ⅰ）由
21 2
21 2
x t
y t
消去参数t ，得到直线l 的普通方程为 02 yx ．
把 222 yx ， cosx ，代入 05cos62 ，得：
圆C 的直角坐标方程 05622 xyx ，即 43 22 yx ．…………………………6 分
（Ⅱ）把
21 2
21 2
x t
y t
（t 为参数）代入 43 22 yx ，化简得：
2 3 2 1 0t t ，由于 18 4 14 0 ，
所以设 1t ， 2t 是该方程的两根．所以 1 2 3 2t t ．
又直线l 过 1,1P ，所以 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t ．………12 分
21. （1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 1x ，
所以 12
p ， 2p ．
∴抛物线的标准方程为 2 4y x ．……………………3 分
（2）设l ： 1my x ，与 2 4y x 联立，得 2 4 4 0y my ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，∴ 1 2 4y y m ， 1 2 4y y ，……………………5 分
∴ 2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 3OA OB x x y y m y y m y y
．……………………7 分
（3）解：假设直线l 过定点，设l ： my x n 与 2 4y x 联立，得 2 4 4 0y my n ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，∴ 1 2 4y y m ， 1 2 4y y n ．……………………10 分
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由 2 2 2
1 2 1 24 1 4OA OB m y y mn y y n n n
，解得 4n ，
∴l ： 4my x 过定点 4,0 ．……………………12 分
22. （1）由抛物线定义可得 7, 4M c b
，
∵点 M 在抛物线 2 4x by 上，∴ 2 74 4c b b
，即 2 27 4c b b ①……………………2
分
又由 3
2
c
a
，得 2 23c b 将上式代入①，得 27 7b b 解得 1,b
∴ 3,c 2a ，
所以曲线 1C 的方程为
2
2 14
x y ，曲线 2C 的方程为 2 4x y ． ……………………4 分
（2）设直线 MN 的方程为 1y kx ，由 2
1
4
y kx
x y
消去 y 整理得 2 4 4 0x kx ，
设 1 1, )M x y（ ， 2, 2N x y .则 1 2 4x x ，……………………6 分
设 ONk m ， 'OMk m ，则 2 1
1 2
2 1
1 1' 16 4
y ymm x xx x
，……………………7 分
（3）则有 1' 4m m
， ②
设直线ON 的方程为 y mx ( 0)m ，由 2 4
y mx
x y
，解得 4Nx m ，
所以 2 21 4 1NON m x m m ，
由②可知，用 1
4m
代替 m ，可得
2
2
1 1 11 14 16MOM xm m m
， ……………………8 分
由 2
2 14
y mx
x y
，解得 2
2
4 1Ax
m
，所以
2
2
2
2 11
4 1A
mOA m x
m
，
- 9 -
用 1
4m
代替 m ，可得
2
2
2
12 11 161 16 1 14
B
mOB xm
m
……………………10 分
所以
2
2
2 2
2
2
1 14 1 1 16=
12 12 1 16
14 1 14
OMN
OAB
m mON OMS m m
S OA OB
m m
m
m
2 2
2 2
1 14 1 1 4 24 4m mm m
12 22m m
，当且仅当 1m 时等号成立．
所以 的取值范围为 2, . ……………………12 分
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