2020-2021学年吉林省高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

第 1 页 共 15 页 2020-2021 学年吉林省高二上学期第一次月 考数学试题 一、单选题 1．圆心为 1, 2 ，半径为 3 的圆的方程是（ ） A．   2 21 2 9x y    B．   2 21 2 3x y    C．   2 21 2 3x y    D．   2 21 2 9x y    【答案】D 【解析】根据圆心和半径可直接得到圆的方程. 【详解】 因为圆心为 1, 2 ，半径为 3，故圆的方程为：   2 21 2 9x y    . 故选：D. 【点睛】 本题考查圆的标准方程，一般根据圆心坐标和半径可直接写出圆的标准方程，本题属于 基础题. 2．若点 ( ,1)m 在不等式 2 3 5 0x y   所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是 ( ) A． 1m… B． 1m„ C． 1m > D． 1m  【答案】C 【解析】根据二元一次不等式表示平面区域进行求解即可． 【详解】 解：若点 ( ,1)m 在不等式 2 3 5 0x y   所表示的平面区域内， 则满足 2 3 5 0m    ， 解得 1m > ． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，属于基础题． 3．椭圆 2 2 5 116 2 x y  的焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，若 1 2PF ，则 2PF （ ） 第 2 页 共 15 页 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】根据椭圆定义计算． 【详解】 由题意 5a  ， 1 2 2PF PF a  ，∴ 2 12 10 2 8PF a PF     ， 故选：D． 【点睛】 本题考查椭圆的定义，属于简单题． 4．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( ) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 【答案】A 【解析】试题分析：把方程 2x2+2y2﹣4x+8y+10=0，可化为 x2+y2﹣2x+4y+5=0，即（x ﹣1）2+（y+2）2=0，由此可得方程所标示的图形． 详解： 方程 2x2+2y2﹣4x+8y+10=0，可化为 x2+y2﹣2x+4y+5=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=0， ∴方程 2x2+2y2﹣4x+8y+10=0 表示点（1，﹣2）， 故选 A． 点睛：本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于中档题．圆的方程有标 准式：适用于已知圆心径；一般式：适用于已知圆上的某一点；根据题意选择所设方程 的形式. 5．已知椭圆C 的标准方程为 2 2 5 116 2 x y  ，下列说法正确的是（ ） A．椭圆C 的焦点在 x 轴上 B．椭圆C 的焦距为 3 C．椭圆C 的离心率为 3 5 D．椭圆C 的右顶点坐标为 5,0 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知： 5, 4, 3a b c   ，长、短轴分别在 y 轴、 x 轴上，即可 知正确选项. 【详解】 由椭圆标准方程知： 1、椭圆C 的焦点在 y 轴上， 第 3 页 共 15 页 2、椭圆C 的焦距为 2 6c  ， 3、椭圆C 的离心率为 3 5 ce a   ， 4、椭圆C 的右顶点坐标为 4,0 ， 故选：C 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，根据标准方程确定椭圆的长短轴、焦距、离心率、椭圆参 数 , ,a b c ，属于基础题. 6．原点和点 1,1 在直线 2x y a  两侧，则 a 的取值范围是（ ） A． 0a  或 1a  B． 0 1a  C． 0a  或 1a  D． 0 1a  【答案】B 【解析】根据直线划分平面，列出不等式，求解即可. 【详解】 直线方程一般式为 2 0x y a   ， 而原点和点 (1,1) 在直线 2x y a  两侧， 则 2 (2 2 ) 0a a   ，解得 0 1a  . 故选：B. 【点睛】 二元一次不等式表示的平面区域，在直线 0ax by c+ + = 的同一侧的点的坐标代入 ( , )f x y ax by c   所得值同号，即 ( , ) 0f x y  表示直线 0ax by c+ + = 的一侧， ( , ) 0f x y  表示直线 0ax by c+ + = 的另一侧. 7．若椭圆 2 2 19 4 x y m   的焦距为 2，则实数 m 的值为（ ） A．1 B．4 C．1 或 7 D．4 或 6 【答案】D 【解析】就焦点在 x 轴上、在 y 轴上分类讨论后可得实数 m 的值. 【详解】 若焦点在 x 轴上，则 9 4 1c m    ，故 4m  ； 若焦点在 y 轴上，则 4 9 1c m    ，故 6m  ； 第 4 页 共 15 页 故选：D. 【点睛】 本题考查椭圆基本量的计算，注意对焦点位置进行讨论，本题属于基础题. 8．给出平面区域如图所示，若使目标函数  0z ax y a   取得最大值的最优解有无 穷多个，则 a 的值为（ ） A． 1 4  B． 3 5 C．4 D． 5 3 【答案】B 【解析】根据可行域，要使目标函数  0z ax y a   取得最大值的最优解有无穷多 个，即 y ax z   与可行域的一条线性边界重合，且截距最大，即可求 a 的值. 【详解】 目标函数  0z ax y a   取得最大值，即 y ax z   ， 0a  截距最大， ∴当 y ax z   与过 AC 的直线重合时，最优解有无穷多个且有最大截距， ∴ 22 2 35 1 5 5a      ，即 3 5a  ， 故选：B 【点睛】 本题考查了线性规划，根据目标函数取得最值时最优解的个数求参数，属于基础题. 9．已知直线 l ： 2 1 0x m y    ，圆C ： 2 2 6x y  ，则直线l 与圆C 的位置关 系一定是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】由直线l 的方程可得直线l 恒过定点 2,1 ，判断点 2,1 在圆的内部，从而 可得结果． 第 5 页 共 15 页 【详解】 因为直线 l 的方程为 2 1 0x m y    ， 所以直线 l 恒过定点 2,1 ， 对于点 2,1 ，因为 2 22 1 5 6    ， 所以 2,1 在圆的内部， 则直线 l 与圆一定相交，故选 C． 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，以及直线过定点问题，属于基 础题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式， 0y kx y  ，直线过定点 00, y ；（2） 点斜式  0 ,y k x x  直线过定点 0 ,0x . 10．若 Rt ABC 的斜边的两端点 A,B 的坐标分别为  3,0 和 7,0 ，则直角顶点 C 的 轨迹方程为（ ） A．  2 2 25 0x y y   B． 2 2 25x y  C．   2 22 25 0x y y    D． 2 22 25x y   【答案】C 【解析】由直角关系可知C 点轨迹是以 AB 中点 M 为圆心，CM 长为半径的圆，且不 包括 ,A B 两点；利用中点坐标公式求得圆心坐标，直角三角形性质得到半径，进而得 到轨迹方程. 【详解】  3,0A  ，  7,0B AB 中点为  2,0M ,A B 为 Rt ABC 斜边两端点，则 1 52CM AB  C 点轨迹是以 M 为圆心，CM 为半径的圆，且C 与 ,A B 不重合 C 点轨迹方程为：   2 22 25 0x y y    故选：C 【点睛】 第 6 页 共 15 页 本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直角关系确定点的轨迹为圆；易错点是 忽略轨迹中不包括 ,A B 两点的情况，从而造成范围缺失. 11．已知圆 1C ： 2 2 1x a y   和 2C ： 2 2 22 4 0x y by b     恰好有三条公切线， 则    2 23 4a b   的最小值（ ） A．1 2 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】B 【解析】根据两圆有三条公切线得到两圆的位置关系，从而得到 ,a b 满足的等式，再根 据    2 23 4a b   的几何意义求解出    2 23 4a b   的最小值. 【详解】 因为圆 1C 与圆 2C 有三条公切线，所以圆 1C 与圆 2C 外切， 因为 1C  ,0a ， 1 1r  ，  2 0,C b ， 2 2r  ，所以 2 2 3a b  ，所以 2 2 9a b  ， 所以  ,a b 的轨迹是圆心在原点、半径为3 的圆， 又因为    2 23 4a b   表示 ,a b 与 3,4 的距离， 所以     2 2 2 2 min 3 4 3 4 3 5 3 2a b         . 故选：B. 【点睛】 本题考查两圆的外切关系以及和圆有关的几何意义求最值问题，难度一般.(1)两圆外离 时有四条公切线，外切时有三条公切线，相交时有两条公切线；(2)圆外一定点到圆上动 点距离的最大值为定点到圆心的距离加上半径，最小值为定点到圆心的距离减去半径. 12．当曲线 24y x   与直线 2 4 0kx y k    有两个相异的交点时,实数 k 的取 值范围是 （ ） A． 30, 4      B． 5 3,12 4 纟ç úç ú棼 C． 3 ,14      D． 3 ,4     【答案】C 【解析】曲线 24y x   是以 O（0，0）为圆心，以 2 为半径的圆的 y 轴下半部分， 直线 kx-y+2k-4=0 过定点 D（-2，-4），结合图形得，当曲线 24y x   与直线 kx-y+2k-4=0 有两个相异的交点时，实数 k 的取值范围． 第 7 页 共 15 页 【详解】 如图，曲线 24y x   是以 O（0，0）为圆心，以 2 为半径的圆的 y 轴下半部分，A （-2，0），B（2，0）， 直线 kx-y+2k-4=0 过定点 D（-2，-4），故 4 0 12 2BDk     若直线 kx-y+2k-4=0 与圆相切时，圆心 O（0，0）到直线的距离： 2 2 4 2 1 kd k    解得 3 4k  结合图形，当曲线 24y x   与直线 kx-y+2k-4=0 有两个相异的交点时，实数 k 的取 值范围是 3 ,14   故选 C. 【点睛】 本题考查直线和圆相交的交点个数问题，一般有两种解法：几何法，代数法. 二、填空题 13．若过点  1, 2P   引圆    2 2: 1 2 16C x y    的切线，则切线长为________． 【答案】2 【解析】分析：根据形成的直角三角形，勾股定理即可求得切线长． 详解：根据切线长性质，切线长、半径、点到圆心距离形成直角三角形，设切点为 M    2 21 1 2 2 2 5PC        ， 4CM r  ，代入 则  22 2 22 5 4 2PM PC CM     点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，几何性质的简单应用，属于基础题． 第 8 页 共 15 页 14．已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 19 3 x y  的两个焦点，过 1F 的直线交此椭圆于 A ，B 两点．若 2 2 8AF BF  ，则 AB  ____________； 【答案】4 【解析】根据椭圆的标准方程，求出 a 的值，由 2ABF 的周长是 4a ，由此求出 AB ． 【详解】 因为 2 2 8AF BF  ， 3a   1 2 1 2 2 2(| | | |) (| | | |) 8 12AF AF BF BF AB AF BF AB         所以 AB 4 . 故答案为：4 【点睛】 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键． 15．求过点  1, 3M  的圆 2 2 4x y  的切线方程_____________； 【答案】 3 4 0x y   【解析】求出直线 OM 的斜率后可得切线的斜率，从而可得切线的方程. 【详解】 点 M 在圆上，它与坐标原点O 的连线的斜率为 3 0 31 0OMk     ， 故切线的斜率为 3 3 ，故切线的方程为：  3 1 33y x   即 3 4 0x y   . 故答案为： 3 4 0x y   . 【点睛】 本题考查过一点的圆的切线的求法，一般要根据点是在圆上还是在圆外来确定切线的求 法，如果点在圆上，则可求出该点与圆心连线的斜率，从而得到切线的斜率；如果点在 圆外，则可以利用圆心到切线的距离为半径得到关于斜率的方程，从而可求直线的方程， 本题属于容易题. 16．已知圆  2 2: 1 1M x y   ，圆  2 2: 1 9N x y   ，动圆 P 与圆 M 外切，且与 圆 N 内切，则圆 P 的圆心的轨迹方程为____________． 第 9 页 共 15 页 【答案】   2 2 1 24 3 x y x    【解析】先由题中条件，得到两圆的圆心和半径，设动圆 P 的半径为 R ，动圆与定圆 位置关系，得出等量关系，推出动圆圆心轨迹为椭圆去掉左顶点，进而可求出结果. 【详解】 由圆  2 2: 1 1M x y   ，圆  2 2: 1 9N x y   得到  1,0M  ，半径 1 1r  ，  1,0N ，半径 2 3r  ， 设动圆 P 的半径为 R ， ∵圆 M 在圆 N 内， ∴动圆只能在 N 内与圆 N 内切，不能是 N 在动圆内，即： 3R  ， ∵动圆 P 与圆 M 外切，∴ 1PM R  ， ∵动圆 P 与圆 N 内切，∴ 3PN R  ， ∴ 4PM PN  ， 即 P 到 M 和 P 到 N 的距离之和为定值， ∴ P 是以 M 、 N 为焦点的椭圆，且 2a  ， 1c  ，所以 4 1 3b    ， ∴动圆圆心 P 的轨迹方程为 2 2 14 3 x y  ， 又圆 N 过点 2,0 ，椭圆 2 2 14 3 x y  也过点 2,0 ， 而点 P 显然不在圆 N 上， 所以所求轨迹方程为：   2 2 1 24 3 x y x    . 故答案为：   2 2 1 24 3 x y x    . 【点睛】 本题主要考查求点的轨迹方程，考查圆与圆位置关系，属于常考题型. 三、解答题 17．已知圆过两点  1,4A 、  3,2B ，且圆心在直线 0y  上. （1）求圆的标准方程； 第 10 页 共 15 页 （2）判断点  2,4P 与圆的关系. 【答案】（1） 2 21 20x y   ；（2）点 P 在圆外. 【解析】（1）求出圆心和半径，即可求圆 C 的方程； （2）根据点  2,4P 与圆 C 的位置关系，即可得到结论. 【详解】 （1） 圆心在直线 0y  上， 设圆心坐标为  ,0C a ， 则 AC BC ， 即    2 21 16 3 4a a     ， 即   2 21 16 3 4a a     ， 解得 1a   ，即圆心为 1,0 ， 半径 r AC  21 1 16    20 2 5 则圆的标准方程为 2 21 20x y   （2）    2 21 2 0 4PC      9 16  25 5 r 点  2,4P 在圆的外面. 【点睛】 本题考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上，属于基础题. 18．已知圆C 的圆心坐标为  3,0C ，且该圆经过点  0,4A ． （1）求圆C 的标准方程； （2）若点 B 也在圆C 上，且弦 AB 长为 8，求直线 AB 的方程． 【答案】（1） 2 23 25x y   ；（2） 0x  或 7 24 96 0x y   ． 【解析】（1）先求半径，再写出圆的标准方程； （2）先根据垂径定理求圆心到直线 AB 距离，再根据点到直线距离公式求直线 AB 斜 率，最后根据点斜式得结果，注意考虑直线 AB 斜率不存在的情况是否满足题意. 【详解】 （1）因为圆经过点  0,4A ，所以半径为 2 23 4 5AC    第 11 页 共 15 页 所以圆的标准方程为 2 23 25x y   ． （2）设圆心C 到直线 AB 距离为 d ， 则 2 2 2 2 2 2| | 8( ) 5 ( ) 32 2 ABr d d d       因为圆心  3,0C 到直线 0x  距离为 3，所以 0x  满足题意； 直线 AB 的斜率存在时，设为 2 | 3 4| 74, 4 0 3 241 kk y kx kx y d k k              7 4, 7 24 96 024y x x y        综上，直线 AB 的方程为 0x  或 7 24 96 0x y   ． 【点睛】 本题考查圆的标准方程、圆的弦长、垂径定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．已知两圆 2 2 1 : 2 10 24 0C x y x y     和 2 2 2 : 2 2 8 0C x y x y     ． （1）求公共弦所在的直线方程； （2）求公共弦的长度； （3）求经过原点以及圆 1C 和圆 2C 交点的圆的方程． 【答案】（1） 2 4 0x y   ；（2） 2 5 ；（3） 2 2 4 2 0x y x y    ． 【解析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦 所在直线方程 2 4 0x y   与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可 求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离 d ，它与圆的半径 r 、公共 弦的一半 l 的关系： 2 2 2r d l  即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，由它过原点以及圆 1C 和圆 2C 交点，将点坐标代入求参数，即可 得圆的方程. 【详解】 （1）将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为 2 4 0x y   ． （2）法一：由（1）有： 2 4x y  ，代入圆 2C 得 2 2 0y y  ，有 1 0y  ， 2 2y  ． ∴ 1 1 4 0 x y     或 2 2 0{ 2 x y   ，交点坐标为 4, 0 和 0,2 ． 第 12 页 共 15 页 ∴两圆的公共弦长为    2 24 0 0 2 2 5     ． 法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为 2 4 0x y   ，且圆心 1(1, 5)C  ， 圆心 1C 到直线 2 4 0x y   的距离    2 1 2 5 4 3 5 1 2 d        ， 设公共弦长为 2l ，由勾股定理 2 2 2r d l  ，得 250 45 l  ，解得 5l  ，所以公共 弦长 2 2 5l  ． （3）设经过原点以及圆 1C 和圆 2C 交点的圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， ∴结合（1）（2），     2 2 2 2 2 2 22 2 { 4 2 a b r a b r a b r         ，得 2 1 5 a b r        ， ∴ 2 2 4 2 0x y x y    ， 【点睛】 本题考查了圆的位置关系，根据两圆相交求公共弦所在直线方程及长度，并求过原点、 两圆交点的圆的方程，属于基础题. 20．已知 x ， y 满足约束条件 1 1 y x x y y        ． （1）作出可行域； （2）求 2z x y  的最值； （3）求    2 21 1z x y    的最值． 【答案】（1）答案见解析；（2） max 3z  ， min 3z   ；（3） max 13z  ， min 2z  ． 【解析】（1）根据不等式组可直接作出可行域； （2）平移动直线 2 0x y z   至 A、B 后可得 z 的最值； （3）考虑可行域中的动点与定点  1,1 连线段的长度的最值后可得 z 的最值. 【详解】 （1）可行域如图阴影部分所示： 第 13 页 共 15 页 （2）如图，由 0 1 x y y      可得  1, 1B   ，由 1 1 x y y      可得  2, 1A  ， 将动直线 2 0x y z   平移至点 A 时， z 取最大值且最大值为 2 2 1 3   ， 平移至点 B 时， z 取最小值且最小值为  2 1 1 3     . 故 max 3z  ， min 3z   . （3）    2 21 1z x y    表示可行域中的动点 P 与定点  1,1E  之间的距离的平方（如 图所示）. 因为    2 2 max 1 2 1 1 13PE       ， min 1 1 2 2 PE    ， 故 max 13z  ， min 2z  . 第 14 页 共 15 页 【点睛】 本题考查线性规划与非线性规划，注意寻找目标函数的几何意义（如直线的截距、直线 的斜率、动点到定点的距离等），本题属于中档题. 21．已知椭圆的焦点在 x 轴上，长轴长为 6，焦距为 2 5 ，设 P 为椭圆上的一点， 1F ， 2F 是该椭圆的两个焦点，若 1 2 60F PF  ，求： （1）椭圆的标准方程； （2） 1 2PF F△ 的面积． 【答案】（1） 2 2 19 4 x y  ；（2） 4 3 3 ． 【解析】（1）根据题设条件可求 ,a b ，从而得到椭圆的标准方程. （2）根据余弦定理和椭圆的定义可求 1 2PF PF 的值，从而可求 1 2PF F△ 的面积． 【详解】 （1）设椭圆的标准方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ， 因为长轴长为 6，焦距为 2 5 ，故 3a  ， 5c  ，所以 2b  ， 故椭圆方程为 2 2 19 4 x y  . （2）由椭圆的定义可得 1 2 6PF PF  ， 由余弦定理可得 2 2 1 2 1 22 cos60 20PF PF PF PF    ， 第 15 页 共 15 页 整理得到 2 2 1 2 1 2 20PF PF PF PF   ， 2 2 1 2 1 22 36PF PF PF PF   ， 所以 1 2 16 3PF PF  ，故 1 2 1 2 3 16 4 3sin 60 4 1 32 3PF FS PF PF       . 【点睛】 本题考查椭圆标准方程的求法、焦点三角形面积的计算，前者求出基本量即可，后者可 结合余弦定理和椭圆的几何性质来处理，本题属于中档题.