2020-2021学年江西省暨实验学校高二上学期期中考试数学（文）试题 PDF版

1 2 3 4 1 2020-2021 年度上学期期中考试 高二数学（文）参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C C B C D D D A B D B D 二．填空题： 13. 5 52 14. )1,0( 15. 10 16. 16 三．解答题： 17.解：（1）设 AB的中点为D，则 ( 2,1)D  ， 由圆的性质得CD AB ，所以 1CD ABK K   ，得 1CDK   ， 所以线段 AB的垂直平分线方程是 1y x   ， 设圆C的标准方程为 2 2 2( )x a y r   ，其中 ( ,0)C a ，半径为 ( )0r r  ， 由圆的性质，圆心 ( ,0)C a 在直线CD上，化简得 1a   ，…………3 分 所以圆心  1,0C  ， | | 2r CA  ，所以圆C的标准方程为 2 2( 1) 4x y   .………5 分 （2）由（1）设 F 为MN中点，则CF l ，得 | | | | 3FM FN  ， 圆心C到直线 l的距离 2| | 4 ( 3) 1d CF    ， 当直线 l的斜率不存在时， l的方程 0x  ，此时 | | 1CF  ，符合题意；…………6 分 当直线 l的斜率存在时，设 l的方程 2y kx  ，即 2 0kx y   ， 由题意得 2 | 1 2 | 1 kd k     ，解得 3 4 k  ；故直线 l的方程为 3 2 4 y x  ， 即3 4 8 0x y   ；…………9 分 综上直线 l的方程为 0x  或3 4 8 0x y   .…………10 分 18.解:若 p为真时,实数 a需满足       0223 0)2()2(3 2 2 aa aa ,解得 4a ………3 分 又 42)( 2'  axxxf ,若 q为真时,则 0)(' xf 或 0)(' xf 在 ]3,1[x 上恒成立, 2  0422  axx 或 0422  axx 恒成立, 即: x x a  42 或 x x a  42 ,………6 分 令 x xx 4)(  ,易求当 ]3,1[x 时 ]5,4[)( x ,故若 q为真时, 2 52  aa 或 ………9 分 故命题“ p或 q ”为真时,a的取值范围为: ),4() 2 5,2(  a . ………12 分 19.解：（1）设数列 na 的公差为 d ， 则 1 6 2 7 12 16 a a a a      ，即 1 1 2 5 12 2 7 16 a d a d      解得 1 1 2 a d    ，所以  1 1 2 1na a n d n     .…4 分 （2）因为数列 n na b 是首项为 2，公比为-2 的等比数列， 所以 12 ( 2) ( 2)n n n na b        ，又 2 1na n  ， ∴  2 -1- ( 2)nnb n   ，………6 分 2 3-[(1 3 5 (2n 1)] [2 ( 2 ) 2 ( 2) ]nnS               1 2 2 2 ( 2)- - 1 ( 2) 3 2 [1 ( 2) ] nn n n            ………12 分 20.解：（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形，∴ AC BD . ∵ PA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，∴ PA BD . 又 PA AC A ，∴ BD 平面 PAC，又 BD 平面 BDE， ∴平面 BDE 平面 PAC.………4 分 （2）解：如图（1），连接 OE，由（1）知 BD 平面 PAC，OE 平面 PAC. ∴ BD OE .∵ 8BD  ，由  min 1 6 2BDES BD OE     ，得 min 3( ) 2 OE  ………6 分 ∵当OE PC 时，OE取到最小值 3 2 ，此时 2 2 2 2 3 3 33 2 2 CE OC OE          . 作 EH PA∥ 交 AC于 H，∵ PA 平面 ABCD，∴ EH 平面 ABCD，………10 分 如图（2），由 3 3 4 OE CEEH OC    ，得点 E到底面 ABCD的距离 3 3 4 .………12 分 21 解：（1） 1( ) lnxf x x ax    ， 2 2 2 (1 ) 1 1( ) ax x a axf x a x x ax         ， 定义域为 (0, ) ， 3 由题可知， f （1） 1 1 3 a a    ，解得 3 2 a ，………………3 分 ( )f x 的解析式为 2(1 )( ) ln 3 xf x x x    .………………4分 （2）不妨设 1 2x x ， 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 f x f x x x    等价于 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   ，即 1 1 2 2( ) ( )f x x f x x   ， 令 ( ) ( )g x f x x  ，则 ( )g x 在 (0，1]上单调递减，………………6分 2 1( ) 1 0axg x ax      ， 若 1x  ，有 1 1 0a a    ，符合题意，即 0a  满足条件；………………7分 若 (0,1)x ，不等式可转化为 2 1a x x    ，………………9分 而当 (0,1)x 时，函数 2 2 1 1 41 1( ) 2 4 y x x x         ，当且仅当 1 2 x  时，等号成立， 4a  .………………11 分 综上所述，正实数 a的取值范围为 (0， 4].………………12 分 22.解：（1）由题意得    1 2 3c m m     ，又 2 2 ce a   ，所以 6a  ， 2 2 3b a c   ，即椭圆 C： 2 2 1 6 3 x y   ………2 分 设  0 0,P x y ，则 22 2 20 0 0 0 3 11 6 3 6 x y xy            ，又  6,0A  ，  6,0B ， 则    2 0 1 2 2 2 0 00 0 1 1 6 26 3 6 6yk x x k xx               ………5 分. （2） 设直线MN的方程为  0y kx t k   ，设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 22 , 1, 6 3 y kx t yx        2 2 22 1 4 2 6 0k x ktx t      ， 4 1 2 2 4 2 1 ktx x k     ， 2 1 2 2 2 6 2 1 tx x k    ，………6 分 由（1）知： 2 1.. 21  ONOM kkkk   1 2 1 2 1 2 1 22 0 2 0y y x x kx t kx t x x        ，    2 2 1 2 1 22 1 2 2 0k x x kt x x t     ，   2 2 2 2 2 2 6 42 1 2 2 0 2 1 2 1 t ktk kt t k k          即      2 2 2 2 2 22 1 2 6 8 2 2 1 0k t k t t k      ， 2 22 6 3t k   ，………8分        2 22 2 1 2 1 2 1 21 1 4MN k x x k x x x x            2 2 2 2 2 41 4 2 1 2 6 2 1 t k ktk k                    2 2 2 2 2 22 16 8 241 2 12 1 k t tk kk                  2 2 2 2 2 22 16 8 24 2 1 1 2 1 k t t k k k              2 2 2 22 8 6 3 1 2 1 k t k k       又 2 22 6 3t k  ∴ ||MN 2 2 12 3 2 1 k k     .………10分 又O到直线MN的距离 2 1 t d k   ， 所以 2 2 2 2 1 1 3 22 3 3 2 2 1 221 3 OMN t tkS k k t            .………………11分 ∴综上 OMN 的面积为定值 3 2 2 ………………12分