2020-2021学年江西省高二上学期期中考试数学（文科）试题 word版

- 1 - 2020－2021 学年上学期期中考试 高二数学试题（文科） 说明：本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分。 考试用时 120 分钟， 注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.五号黑体 1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0．5 毫米签字笔填写在 答题卡和答题纸上。 2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0．5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破 损。 3．考试结束后，答题纸交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.点 ( 3,1)P  在极坐标系中的坐标为（ ） A. 5(2, )6  B. 5(2, )6  C. 5(4, )6  D. 5(4, )6  2.已知 ab＜0，bc＞0，则直线 ax＋by＋c＝0 通过( ) 象限 A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 3.抛物线 2 2x y  的准线方程为（ ） A. 1 2x  B. 1 2x   C. 1 2y   D. 1 2y  4.若直线 1 (2 3 x t ty t      为参数）与直线 1 0kx y   平行，则常数 k =（ ） A． 3 B． 1 3  C． 1 3 D．3 5．与圆 2 2 2 2 1 2:( 1) ( 3) 16, : 4 2 4 0C x y C x y x y         都相切的直线有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 6. 圆 2 2 4 2 0x y x y    和圆 2 2 2 3 0x y x    交于 A、B 两点，则相交弦 AB 的垂直平 分线的方程为（ ） A． 6 2 3 0x y   B． 3 1 0x y   C． 2 2 3 0x y   D． 3 1 0x y   - 2 - 7．已知 1 2,F F 是椭圆 2 2: 14 xC y  的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 1 2 3PF FS  ，则 1 2F PF  （ ） A． 6  B． 3  C． 2  D． 2 3  8．双曲线 2 2 1( 0)x y mnm n    离心率为 2，且其焦点与椭圆 159 22  yx 的焦点重合，则 mn 的 值为（ ） A. 3 B. 3 C.1 D. 4 9．若抛物线  2 2 0y px p  上的点  0 ,4 2A x 到其焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 3 倍， 则 p 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10.已知 F 是双曲线 2 2 14 12 y x  的下焦点， (4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点， 则 PF PA 的最小值为( ) A.9 B. 8 C.7 D.6 11．已知点 P 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上一点， 1 2,F F 分别是椭圆的左、右焦点， I 为 1 2PF F 的内心，若 1 2 1 2 3IPF IPF IF FS S S    成立，则椭圆的离心率为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 3 4 D． 3 5 12.已知双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的左、右焦点分别为 21 FF、 ，点 M 与双曲线C 的 焦点不重合，点 M 关于 21 FF、 的对称点分别为 BA、 ，线段 MN 的中点在双曲线的右支上， 若 12 BNAN ，则 a （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．曲线 2 2: 1C x y  经 ' ' 2 x x y y    坐标变换后所得曲线的方程为_____________. 14. 已知直线 2 2 0x y   经过椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的一个顶点和一个焦点，那么 这个椭圆的方程为 ； 15.已知O 为坐标原点，抛物线 2 2C y px： 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4 ，若点 M 为抛物 - 3 - 线C 准线上的动点，若 3MF FA  ，则 p  ________. 16.点 ( , )P x y 是直线 3 0kx y   上一动点， ,PA PB 是圆 2 2: 4 3 0C x y y    的两条切 线， ,A B 是切点，若四边形 PACB 面积的最小值为 2，则 k 的值为______ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为    2 21 1 3x y    ，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标 系方程为  4 R   . （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. 18．（本小题满分 12 分）已知双曲线 2 2: 12 xC y  ． （1）求与双曲线 C 有共同的渐近线，且过点 ( 2, 2) 的双曲线的标准方程； （2）若直线l 与双曲线 C 交于 A、B 两点，且 A、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率． 19．（本小题满分 12 分） 如图，抛物线的顶点在原点，圆 2 2( 2) 4x y   的圆心恰是抛物线 的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）一条直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆 - 4 - 于 A 、 B 、C 、 D 四点，求| | | |AB CD 的值. 20 .（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数），在极坐标系（与 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的 极坐标方程为 05cos62   ，圆 C 与直线l 交于 A ，B 两点，P 点的直角坐标为 (1,1) ． （Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求 PBPA  的值． 21. （本小题满分 12 分） 已知动圆 M 过定点  1,0 ，且与直线 1x   相切. （1）求动圆圆心 M 的轨迹C 的方程； （2）设 ,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA和OB 的斜率分别为 1 2,k k ，且 1 2 1k k  ，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标 - 5 - 22．（本小题满分 12 分） 如图所示，已知椭圆 ： ，⊙ ： ，点 是椭圆 的左 顶点，直线 与⊙ 相切于点 . （1）求椭圆 的方程；[] （2）若⊙ 的切线 与椭圆 交于 两点，求 面积的取值范围. - 6 - 2020－2021 学年上学期期中考试 高二数学参考答案（文科） 一、选择题 1-5 ACDDC 6-10 BDBDA 11-12 AA 二、填空题 13． 2 2 14 yx   14. 2 2 15 x y  15. 3 16. 2 三、解答题[] 17.（1）将 2 2( 1) ( 1) 3x y    改称为 2 2 2 2 1 0x y x y     ， 化为极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 1 0        ；………5 分 （2）将 4   代入 2 2 cos 2 sin 1 0        得， 2 1 0   ， 0  ，所以方程 2 1 0   有 2 个不同的根 1 1  ， 2 1   ， 所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为 1 2 2   .………10 分 18．（1）设所求双曲线方程为 2 2 ( 0)2 x y k k   ，代入 ( 2, 2) ，得 1k   ， 所以所求双曲线方程为 2 2 12 xy   ；………6 分 （2）设 ),(),,( 2211 yxByxA ，因为 A 、 B 在双曲线上， 2 21 1 2 22 2 1 (1)2 1 (2)2 x y x y       ，（1）-(2)得 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( )2 x x x x y y y y     ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2l y y x xk x x y y       ．………12 分 19.（1）设抛物线方程为 2 2 ( 0)y px p  ， 圆 2 2 22 2x y   的圆心恰是抛物线的焦点，∴ 4p  ． ……………………3 分 抛物线的方程为： 2 8y x ； ……………………6 分 （2）依题意直线 AB 的方程为 2 4y x  - 7 - 设  1 1,A x y ，  2 2,D x y ，则 2 2 4 8 x x y x     ，得 2 6 4 0x x   ， 1 2 6x x   ，……………………9 分 1 2 6 4 10AD x x p      ． ……………………11 分 10 4 6AB CD AD CB      ．……………………12 分 20. 解：（Ⅰ）由 21 2 21 2 x t y t       消去参数t ，得到直线l 的普通方程为 02  yx ． 把 222 yx  ，  cosx ，代入 05cos62   ，得： 圆C 的直角坐标方程 05622  xyx ，即   43 22  yx ．…………………………6 分 （Ⅱ）把 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数）代入   43 22  yx ，化简得： 2 3 2 1 0t t   ，由于 18 4 14 0     ，[] 所以设 1t ， 2t 是该方程的两根．所以 1 2 3 2t t  ． 又直线l 过  1,1P ，所以 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t      ．………12 分 21.（1）设 M 为动圆圆心， 1,0 记为 F ，过点 M 作直线 1x   的垂线，垂足为 N ， 由题意知： MF MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 1x   的距离相等， 由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中  1,0F 为焦点， 1x   为准线， 所以轨迹方程为 2 4y x ；………5 分 （2）如图，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意得 1 2, 0x x  ， 由题意知直线 AB 的斜率存在，从而设 AB 方程为 y kx b  ，显然 2 2 1 2 1 2,4 4 y yx x  ， 将 y kx b  与 2 4y x 联立消去 x ，得 2 4 4 0ky y b   - 8 - 由韦达定理知 1 2 4by y k   ………8 分 由 1 2 1 2 1 2 1y yk k x x   ，即 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, 164 4 y yy y x x y y     ………10 分 将①式代入上式整理化简可得： 4 16, 4b b kk    ， 所以 AB 方程为 ( 4)y k x  过定点 ( 4,0) .………12 分 22．（1）由直线 与⊙ 相切于点 ，可知点 在⊙ 上，则 ，又点 ，且 ，则 ，解得 ，故所求椭圆方程为 .………5 分 （2）当直线 与⊙ 相切时，若切线斜率存在，设切线为 ，其中 ，切线 与椭圆 交点 ， ，则圆心到直线 的距离 ， ∴ ，………6 分 联立方程 ，消去 得 ，则 2 1 2 1 22 2 4 2 4,2 1 2 1 km mx x x xk k      ………9 分 ， ………11 分 当切线斜率不存在时，此时 ，故⊙ 的切线 与椭圆 相交弦长取值范围为 ， 又 ，可得 .………12 分