- 1 -
2020-2021 学年高二上学期第二学程考试
数学(文)
答题时间:90 分钟 满分:150 分
一、单选题(每小题 5 分)
1.命题“ 0,x , 2 2 1xx ”的否定是( ).
A. 0 0,x , 02
0 2 1xx B. 0 0,x , 02
0 2 1xx
C. 0,x , 2 2 1xx D. 2 2 1xx
2.把 52 化为二进制数为( )
A. 2110100 B. 2101010 C. 2110010 D. 2100110
3.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰,在研究比率方面的应用十分丰富,其
中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来 1534 石,验其米内杂谷,随机取米一把,
数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约( )
A.134 石 B.169 石 C.268 石 D.338 石
4.用辗转相除法求 108 和 45 的最大公约数为( )
A.2 B.9 C.18 D.27
5.命题“ 1a ”是命题“直线 1 0x ay 和直线 2 0ax y 平行”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.对同一目标进行两次射击,第一、二次射击命中目标的概率分别为 0.5和 0.7 ,则两次射
击中至少有一次命中目标的概率是( )
A. 0.35 B. 0.42 C. 0.85 D. 0.15
7.无论 m 为何实数值,直线 1 ( 2)y m x 总过一个定点,该定点坐标为( ).
A. (1, 2) B. ( 1,2) C. ( 2, 1) D. (2, 1)
8.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 2 4AB BC ,则
质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )
- 2 -
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
9.为研究某种细菌在特定环境下,随时间变化的繁殖情况,得到如下实验数据:
天数 x (天) 3 4 5 6
繁殖个数 y (千个) 2.5 3 4 4.5
由最小二乘法得 y 与 x 的线性回归方程为 ˆ ˆ0.7y x a ,则当 7x 时,繁殖个数 y 的预测值
为( )
A.4.9 B.5.25 C.5.95 D.6.15
10.圆 2 2( 1) ( 2) 1x y 关于直线 2 0x y 对称的圆的方程为( )
A. 2 2( 4) ( 1) 1x y B. 2 2( 4) ( 1) 1x y
C. 2 2( 2) ( 4) 1x y D. 2 2( 2) ( 1) 1x y
11.程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影
响巨大的著作.卷八中第 33 问:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”
如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数 S 为( )
A.28 B.56 C.84 D.120
12.点 0,1M 与圆 2 2 2 0x y x 上的动点 P 之间的最近距离为( ).
A. 2 B.2 C. 2 1 D. 2 1
二、填空题(每小题 5 分)
13.某单位有职工 160 人,其中有业务人员 120 人,管理人员 16 人,后勤人员 24
人.为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本. 用分层抽样的
方法抽取的业务人员的人数是________.
14.用秦九韶算法计算函数 4 3( ) 2 3 5 4f x x x x ,当 2x 时的函数值是________.
15.圆心在 x 轴上,且与直线 1 :l y x 和 2 : 2l y x 都相切的圆的方程为______.
16.当圆 2 2: 4 6 3 0C x y x y 的圆心到直线 : 1 0l mx y m 的距离最大时,
m __________.
三、解答题(每题 13 分)
- 3 -
17.袋中有 7 个球,其中 4 个白球,3 个红球,从袋中任意取出 2 个球,求下列事件的概率:
(1) :A 取出的 2 个球都是白球;
(2) :B 取出的 2 个球中 1 个是白球,另 1 个是红球.
18.某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织
的“环保知识竞赛”,该校对甲乙两班的参赛选手(每班 7 人)进行
了一次环保知识测试,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图
所示,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 85.
(1)求 x , y 的值;
(2)根据茎叶图,求甲乙两班同学方差的大小,并从统计学角度分析,该校应选择甲班还是
乙班参赛.
19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企
业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,保障
抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我
国某口罩生产企业在加大生产的同时,狠抓质量管理,不
定时抽查口罩质量,该企业质检人员从所生产的口罩中随
机抽取了 100 个,将其质量指标值分成以下六组:
40,50 , 50,60 , 60,70 ,…, 90,100 ,得到如下频率分布直方图.
(1)求出直方图中 m 的值;
(2)利用样本估计总体的思想,估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同
一组中的数据用该组区间中点值作代表,中位数精确到 0.01);
20.已知直线 1 : 1 0l ax y a 与 2 2 (: 1) 3 0l x a y .
(1)当 0a 时,求直线 1l 与 2l 的交点坐标;
(2)若 1l // 2l ,求 a 的值.
21.已知直线 : 1 0l x y 与圆 2 2: 4 3 0C x y x 相交于 ,A B 两点.
(1)求| |AB ;
(2)若 ( , )P x y 为圆C 上的动点,求 y
x
的取值范围.
拓展题(5 分)
- 4 -
20.已知直线 l : 2 3 0ax y a 与圆C : 2 21 2 4x y 相交于 P ,Q 两点,则
PQ 的最小值为______.
参考答案
1.A
解:命题的否定为: 0 0,x , 02
0 2 1xx .
2.A
解:“除 k 取余法” 10 252 110100 ,
3.B
解:设这批米内夹谷约为 x 石,根据随机抽样事件的概率得 28
1534 254
x ,
得 x≈169.
4.B
解:108 45 2 18 , 45 18 2 9 ,18 9 2 , 108 和 45 的最大公约数为 9.
5.A
解:直线 1 0x ay 和直线 2 0ax y 平行,则 2 1a ,解得 1a ,
所以 1a 是 1a 的充分不必要条件.
6.C
解:由题意两次射击相互独立,可运用对立事件的概率公式求解:因命中目标的概
率分别是0.5和 0.7 ,则两次都不命中的概率分别是0.5和 0.3,故两次射击中至少有
一次命中的概率是1 0.5 0.3 0.85 。
7.C
解: 1 ( 2)y m x ,当 01,02 yx ,故直线总过定点 ( 2, 1) .
8.B
解:由题意可知,矩形 ABCD 的面积为 4 2 8S AB BC ,以线段 AB 为直径的半圆
的面积为
2
21 1 2 22 2 2
ABS
,因此,所求概率为 2
8 4
SP S
.
9.B
- 5 -
解:由题意,根据表格中的数据,可得 3 4 5 6 9 2.5 3 4 4.5 7,4 2 4 2x y ,
即样本中心为 9 7( , )2 2
,代入回归直线方程 ˆ ˆ0.7y x a ,即 7 9 ˆ0.72 2 a ,
解得 ˆ 0.35a ,即回归直线的方程为 ˆ 0.7 0.35y x ,
当 7x 时, ˆ 0.7 7 0.35 5.25y .
10.A
解:由题意得,圆心坐标为( )1,2 ,设圆心( )1,2 关于直线 2 0x y 的对称点为 ( , )P x y ,
则
2 1 11{ 1 2 2 02 2
y
x
x y
,解得 4, 1x y ,所以对称圆方程为 2 2( 4) ( 1) 1x y .
11.C
解:程序的运行,可得: 0, 0, 0i n S 执行循环体, 1, 1, 1i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 2, 3, 4i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 3, 6, 10i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 4, 10, 20i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 5, 15, 35i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 6, 21, 56i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 7, 28, 84i n S ;
满足判断条件 7i ,退出循环,输出 S 的值为84 .
12.D
解:将圆 2 2 2 0x y x 化为标准方程得 2 21 1x y ,可知圆心为 1,0 ,半径为 1,
则点 M 到圆心的距离为 2 20 1 1 0 2 ,所以点 M 与圆上的动点 P 之间的最近距
离为 2 1 .
13.15
解:分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取,120:16: 24 15: 2:3 ,
- 6 -
所以抽取的业务人员的人数是 1520 1520
,
14.62
解: 0 2 v , 1 2 2 3 7 v , 2 7 2 0 14 v , 3 14 2 5 33 v ,
4 33 2 4 62 v
15. 2 2 11 2x y
解:设所求圆的方程为 2 2 2 0x a y r r ,因为圆 2 2 2 0x a y r r 与直线
1 :l y x 和 2 : 2l y x 都相切,则 2
1 1 1 1
a a r
,解得 1a , 2
2r = ,所以圆的方
程为 2 2 11 2x y .
16. 3
4
解:∵圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 3) 16x y ,其圆心 (2, 3)C
∵直线 l 的方程为 1 0mx y m ∴直线 l 过定点 ( 1,1)A
∴圆心到直线 : 1 0l mx y m 的距离最大为圆心 C 与点 ( 1,1)A 之间的距离
∴ 1l ACk k ,即 3 1 12 ( 1)m ∴ 3
4m
17.(1) 2
7
;(2) 4
7
.
解:设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,3 个红球的编号为 5,6,7,从袋中的 7 个小球中任取 2 个的
方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7) ,(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7) ,
(3,4),(3,5),(3,6),(3,7) ,(4,5),(4,6),(4,7) ,(5,6), (5,7) ,(6,7) ,共 21
种.
(1)从袋中的 7 个球中任取 2 个,所取的 2 个球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中任取
2 个的方法总数,共有 6 种,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).∴取出的 2
个球全是白球的概率为 6 2
21 7P A
(2)从袋中的 7 个球中任取 2 个,其中 1 个为红球,而另 1 个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),
(1,7) ,(2,5),(2,6),(2,7) ,(3,5),(3,6),(3,7) ,(4,5),(4,6) ,(4,7) ,共 12
- 7 -
种.∴取出的 2 个球中 1 个是白球,另 1 个是红球的概率为 12 4
21 7P B .
18.(1) 9x , 5y ;(2)乙班成绩比较稳定,故应选乙班参加.
解:(1)甲班的平均分为: 1 (75 78 80 80 85 92 96) 857 x ;解得 9x ,
乙班 7 名学生成绩的中位数是 85, 5y ,
(2)乙班平均分为: 1 (75 80 80 85 90 90 95) 857
;
甲班 7 名学生成绩方差 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 360(10 7 5 4 0 7 11 )7 7S ,
乙班名学生成绩的方差 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 300(10 5 5 0 5 5 10 )7 7S ,两个班平均分相同,
2 2
2 1S S ,乙班成绩比较稳定,故应选乙班参加.
19.(1) 0.030m (2)平均数为 71,中位数为 73.33(3) 3
5
解:(1)由 10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m ,得 0.030m .
(2)平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x ,
设中位数为 n ,则 0.1 0.15 0.15 70 0.03 0.5n ,得 220 73.333n .
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71,中位数为 73.33.
20.(1) ( 2, 1) ;(2) 1 .
解:(1)当 0a 时,直线 1 : 1 0l y 与 2 : 2 3 0l x y ,联立 1 0
2 3 0
y
x y
,解得
2
1
x
y
,故直线 1l 与 2l 的交点坐标为 ( 2, 1) .
(2)因为 ( 1) 2 0
3 ( 1)( 1) 0
a a
a a
,即 2
( 2)( 1) 0
4 0
a a
a
解得 1a .
21. (1) 2 ;(2) 3 3,3 3
解:(1) 22 2 24 3 0 2 1x y x x y ,圆心为 2,0 ,半径 1r ,则
圆心到直线 : 1 0l x y 的距离: 2 0 1 2
22
d
,
- 8 -
所以 2 2 1| | 2 2 1 22AB r d .
(2) y
x
表示圆上的点 ,x y 与原点构成直线的斜率,如图:当直线与圆相切时取得最值,
2 22 1 3OP ,则 1 3tan 33
COP ,由图可知:所以 y
x
的取值范围为
3 3,3 3
.
22. 2 2
解:因为 2 3 0ax y a ,所以 2 3 0x a y ,令 2 0
3 0
x
y
,所以 2
3
x
y
,故
直线恒过定点 2,3M ,又因为 2 22 1 3 2 2 4 ,故点 2,3M 在圆内,
当 PQ MC 时, PQ 取得最小,因为 2 22 1 3 2 2MC
所以 22
min 2 2 4 2 2 2PQ r MC
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2020-2021 学年上学期第二学程考试
高二数学(文)参考答案
1.A
解:命题的否定为: 0 0,x , 02
0 2 1xx .
2.A
解:“除 k 取余法” 10 252 110100 ,
3.B
解:设这批米内夹谷约为 x 石,根据随机抽样事件的概率得 28
1534 254
x ,
得 x≈169.
4.B
解:108 45 2 18 , 45 18 2 9 ,18 9 2 , 108 和 45 的最大公约数为 9.
5.A
解:直线 1 0x ay 和直线 2 0ax y 平行,则 2 1a ,解得 1a ,
所以 1a 是 1a 的充分不必要条件.
6.C
解:由题意两次射击相互独立,可运用对立事件的概率公式求解:因命中目标的概
率分别是0.5和 0.7 ,则两次都不命中的概率分别是0.5和 0.3,故两次射击中至少有
一次命中的概率是1 0.5 0.3 0.85 。
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7.C
解: 1 ( 2)y m x ,当 01,02 yx ,故直线总过定点 ( 2, 1) .
8.B
解:由题意可知,矩形 ABCD 的面积为 4 2 8S AB BC ,以线段 AB 为直径的半圆
的面积为
2
21 1 2 22 2 2
ABS
,因此,所求概率为 2
8 4
SP S
.
9.B
解:由题意,根据表格中的数据,可得 3 4 5 6 9 2.5 3 4 4.5 7,4 2 4 2x y ,
即样本中心为 9 7( , )2 2
,代入回归直线方程 ˆ ˆ0.7y x a ,即 7 9 ˆ0.72 2 a ,
解得 ˆ 0.35a ,即回归直线的方程为 ˆ 0.7 0.35y x ,
当 7x 时, ˆ 0.7 7 0.35 5.25y .
10.A
解:由题意得,圆心坐标为( )1,2 ,设圆心( )1,2 关于直线 2 0x y 的对称点为 ( , )P x y ,
则
2 1 11{ 1 2 2 02 2
y
x
x y
,解得 4, 1x y ,所以对称圆方程为 2 2( 4) ( 1) 1x y .
11.C
解:程序的运行,可得: 0, 0, 0i n S 执行循环体, 1, 1, 1i n S ;不满足判断条件
7i ,执行循环体, 2, 3, 4i n S ;不满足判断条件 7i ,执行循环体,
3, 6, 10i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 4, 10, 20i n S ;不满足判断条件 7i ,执行循环
体, 5, 15, 35i n S ;不满足判断条件 7i ,执行循环体, 6, 21, 56i n S ;
不满足判断条件 7i ,执行循环体, 7, 28, 84i n S ;满足判断条件 7i ,退出循环,
输出 S 的值为84 .
12.D
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解:将圆 2 2 2 0x y x 化为标准方程得 2 21 1x y ,可知圆心为 1,0 ,半径为 1,
则点 M 到圆心的距离为 2 20 1 1 0 2 ,所以点 M 与圆上的动点 P 之间的最近距
离为 2 1 .
13.15
解:分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取,120:16: 24 15: 2:3 ,所以抽取的业务
人员的人数是 1520 1520
,
14.62
解: 0 2 v , 1 2 2 3 7 v , 2 7 2 0 14 v , 3 14 2 5 33 v ,
4 33 2 4 62 v
15. 2 2 11 2x y
解:设所求圆的方程为 2 2 2 0x a y r r ,因为圆 2 2 2 0x a y r r 与直线
1 :l y x 和 2 : 2l y x 都相切,则 2
1 1 1 1
a a r
,解得 1a , 2
2r = ,所以圆的方
程为 2 2 11 2x y .
16. 3
4
解:∵圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 3) 16x y ,其圆心 (2, 3)C ∵直线 l 的方程为
1 0mx y m ∴直线 l 过定点 ( 1,1)A ∴圆心到直线 : 1 0l mx y m 的距离最大为
圆心C 与点 ( 1,1)A 之间的距离∴ 1l ACk k ,即 3 1 12 ( 1)m ∴ 3
4m
17.(1) 2
7
;(2) 4
7
.
解:设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,3 个红球的编号为 5,6,7,从袋中的 7 个小球中任取 2 个的
方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7) ,(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7) ,
(3,4),(3,5),(3,6),(3,7) ,(4,5),(4,6),(4,7) ,(5,6), (5,7) ,(6,7) ,共 21
种.
(1)从袋中的 7 个球中任取 2 个,所取的 2 个球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中任取
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2 个的方法总数,共有 6 种,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).∴取出的 2
个球全是白球的概率为 6 2
21 7P A
(2)从袋中的 7 个球中任取 2 个,其中 1 个为红球,而另 1 个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),
(1,7) ,(2,5),(2,6),(2,7) ,(3,5),(3,6),(3,7) ,(4,5),(4,6) ,(4,7) ,共 12
种.∴取出的 2 个球中 1 个是白球,另 1 个是红球的概率为 12 4
21 7P B .
18.(1) 9x , 5y ;(2)乙班成绩比较稳定,故应选乙班参加.
解:(1)甲班的平均分为: 1 (75 78 80 80 85 92 96) 857 x ;解得 9x ,乙班 7 名
学生成绩的中位数是 85, 5y ,
(2)乙班平均分为: 1 (75 80 80 85 90 90 95) 857
;
甲班 7 名学生成绩方差 2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 360(10 7 5 4 0 7 11 )7 7S ,
乙班名学生成绩的方差 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 300(10 5 5 0 5 5 10 )7 7S ,两个班平均分相同,
2 2
2 1S S ,乙班成绩比较稳定,故应选乙班参加.
19.(1) 0.030m (2)平均数为 71,中位数为 73.33(3) 3
5
解:(1)由 10 0.010 0.015 0.015 0.025 0.05 1m ,得 0.030m .
(2)平均数为 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x ,
设中位数为 n ,则 0.1 0.15 0.15 70 0.03 0.5n ,得 220 73.333n .
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为 71,中位数为 73.33.
20.(1) ( 2, 1) ;(2) 1 .
解:(1)当 0a 时,直线 1 : 1 0l y 与 2 : 2 3 0l x y ,联立 1 0
2 3 0
y
x y
,解得
2
1
x
y
,故直线 1l 与 2l 的交点坐标为 ( 2, 1) .
(2)因为 ( 1) 2 0
3 ( 1)( 1) 0
a a
a a
,即 2
( 2)( 1) 0
4 0
a a
a
解得 1a .
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21. (1) 2 ;(2) 3 3,3 3
解:(1) 22 2 24 3 0 2 1x y x x y ,圆心为 2,0 ,半径 1r ,则圆
心到直线 : 1 0l x y 的距离: 2 0 1 2
22
d
,所以
2 2 1| | 2 2 1 22AB r d .
(2) y
x
表示圆上的点 ,x y 与原点构成直线的斜率,如图:当直线与圆相切时取得最值,
2 22 1 3OP ,则 1 3tan 33
COP ,由图可知:所以 y
x
的取值范围为
3 3,3 3
.
22. 2 2
解:因为 2 3 0ax y a ,所以 2 3 0x a y ,令 2 0
3 0
x
y
,所以 2
3
x
y
,故
直线恒过定点 2,3M ,又因为 2 22 1 3 2 2 4 ,故点 2,3M 在圆内,
当 PQ MC 时, PQ 取得最小,因为 2 22 1 3 2 2MC
所以 22
min 2 2 4 2 2 2PQ r MC