2020-2021学年江西省高二上学期期中考试数学（文）试题 word版

- 1 - 江西省 2020-2021 学 2020-2021 学年高二上学期期 中考试数学（文）试题 考试时间：120 分钟 总分：150 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中 ，只 有一项是符合题目要求的。 1.为了调查贵溪市 2019 年高考数学成绩，在高考后对我县 6000 名考生进行了抽样调查， 其中 2000 名文科考生，3800 名理科考生，200 名艺术和体育类考生，从中抽到了 120 名 考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（ ） A．系统抽样法 B．分层抽样法 C．抽签法 D．简单的随机抽样法 2.某同学为了调查支付宝中的 75 名好友的蚂蚁森林种树情况，对 75 名好友进行编号，分 别为 1，2，…，75，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，已知 11 号，26 号， 56 号，71 号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是（ ） A．40 B．41 C．42 D．39 3.直线 的倾斜角为（ ） A． 30  B． 30° C．120 D．150 4.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 5.若圆 2 2 2 1 :( ) ( 0)   C x a y r r 与圆 2 2 2 2 : 4 ( 0)C x y r r   相切，则 a 的值为 A． 3r B． r C． 3r 或 r D．3r 或 r 6、已知正三角形 ABC 的边长为 a，则△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A． 3 4 a2 B． 3 8 a2 C． 6 8 a2 D． 6 16 a2 7、鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作， 是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的 一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根 的鲁班锁最为著名.下图 1 是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图 2 是其中的一 - 2 - 个构件的三视图（图中单位：mm），则此构件的表面积为（ ） A． 27600mm B． 28400mm C． 29200mm D． 210000mm 8、如下图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AC＝BC，M，N 分别是 A1B1， AB 的中点，P 在线段 B1C 上，则 NP 与平面 AMC1 的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C． 相交但不垂直 D． 要依 P 点的位置而定 9.如上图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：① BM 与 ED 平行；② CN 与 BE 是 异面直线；③ CN 与 BM 成 60°角；④ DM 与 BN 是异面直线．以上四个结论中，正 确结论的序号是（ ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 10.数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心 到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知 ABC 的顶点 ( 1,0), (0,2),B C AB AC  ，则 ABC 的欧拉线方程为（ ） A． 0342  yx B． 0342  yx C． 0324  yx D． 0342  yx 11.过 x 轴上的点 P 分别向圆 2 2 1 ( 1) ( 4) 7:C x y    和圆 2 2 2 :( 2) ( 5) 9C x y    引 切线，记切线长分别为 1 2,d d ．则 1 2d d 的最小值为( ) A． 22 B． 23 C． 24 D． 25 12.如图，平面四边形 ADBC 中， AB BC ， 3AB  ， 2 3BC  ， ABD△ 为等边 三角形，现将 ABD△ 沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P ，且 PB BC ，则三棱锥 - 3 - ABCP  的外接球的表面积为（ ） A．16 B．8 C． 4 D． 6 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.某工生产 ABC 三种不同型号的产品，产量之比为 3:2:1 ．现用分层抽样的方法抽取 1 个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 8 件，则样本容量 n 的值为______． 14.由点 (1, 3)P  向圆 2 2 2 2 2 0x y x y     作的切线方程为___________． 15.已知直线 1 0x ay   是圆 2 2: 4 2 1 0C x y x y     的对称轴，过点  aA ,4 作 圆C 的一条切线，切点为 B ，则 AB =______. 16.已知正方体所有顶点在一个球面上.若球的体积为  2 9 , 则正方体的棱长为____ 三．解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某高级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19. （1）求 x 的值； （2）现用分层抽样在全校抽取 48 名学生，则高三年级抽取多少名？ 18.已知直线 1 2: 3 1 0, : ( 2) 0l ax y l x a y a       ． （1）若 1 2l l ，求实数 a 的值； （2）当 1 2l l// 时，求直线 1l 与 2l 之间的距离． 19.在平面直角坐标系中，圆 C 的圆心在直线 0x y  上，且圆 C 经过点 (2,0)P 和点 ( 1, 3)Q  . （1）求圆 C 的标准方程； （2）求经过点 (2,1)M 且与圆 C 相交的直线斜率的取值范围. 20.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M 为 PC 中点，且 - 4 - 090PAB PDC    . (1)证明： / /PA 平面 BDM (2)证明：平面 PAB  平面 PAD . 21.在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥平面 ABCD，AB＝AP＝3，AD ＝PB＝2，E 为线段 AB 上一点，且 AE︰EB＝7︰2，点 F、G 分别为线段 PA、PD 的 中点． （1）求证：PE⊥平面 ABCD； （2）若平面 EFG 将四棱锥 P－ABCD 分成左右两部分，求这两部分的体积之比． 22.如图，在四棱锥 P ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AB AC ，PA  平面 ABCD ， 且 2, 1PA AB AC   ，点 E 是 PD 的中点. （1）求证： / /PB 平面 AEC （2）求 D 到平面 AEC 的距离. - 5 - 高二数学试卷答案 一，选择题：1-5 BBDBC 6-10 DBBCD 11-12 DA 二，填空题： 13 . 48 14 . 1x  或3 4 9 0x y   15 . 6 16 . 3 三，解答题： 17：(本小题 10 分) 解：（1）∵ ，∴ . （2）高三年级人数为： ， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为： 人. 18：(本小题 12 分) 解：（1）由 1 2l l 知 3( 2) 0a a   ，解得 3 2a  ． （2）当 1 2l l// 时，有 ( 2) 3 0 3 ( 2) 0 a a a a        ，解得 3a  ． 此时 1 2: 3 3 1 0, : 3 0l x y l x y      ，即 2 3 3: 9 0x yl    ， 则直线 1l 与 2l 之间的距离 2 2 | 9 1| 4 2 33 3 d    19：(本小题 12 分) 解：（1）因为圆 C 的圆心在直线 0x y  上，设圆心的坐标为 ( , )a a ，半径为 r， 所以圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y a r    ， 因为圆 C 经过点 (2,0)P 和点 ( 1, 3)Q  ， 所以 2 2 2 2 2 2 (2 ) ( 1 ) ( 3 ) a a r a a r          ，解得 0 2 a r    所以圆 C 的标准方程为 2 2 4x y  . - 6 - （2）因为 (2,1)M 圆 C 的方程为 2 2 4x y  ， 设经过点且与圆 C 相交的直线方程为 1 ( 2)y k x   ， 所以圆心 C 到直线的距离 2 | 2 1| 2 1 kd k    ，解得 3 4k   . 所以过点 M 且与圆 C 相交的直线斜率的取值范围是 3 ,4      . 20：(本小题 12 分) 解：(1)连接 AC 交 BD 于点O ，连接 OM ， 因为底面 ABCD 为平行四边形，所以O 为 AC 中点. 在 PAC 中,又 M 为 PC 中点，所以 / /OM PA. 又 PA  平面 BDM ，OM  平面 BDM ， 所以 / /PA 平面 BDM . (2)因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 / /AB CD . 又 090PDC  即CD PD ，所以 AB PD . 又 090PAB  即 AB PA . 又 PA  平面 PAD ， PD  平面 PAD ， PA PD P ， 所以 AB  平面 PAD . 又 AB Ì平面 PAB ，所以平面 PAB  平面 PAD . 21：(本小题 12 分) 解：(1)证明：在等腰△APB 中，得 1 3cos ABP  ， 则由余弦定理可得， 2 2 22 2 1 32( ) 2 2 23 3 3 9PE        ，∴ 4 2 3PE  ， - 7 - ∴PE2+BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB， ∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， ∴PE⊥平面 ABCD． （2）解：设平面 EFG 与棱 CD 交于点 N，连接 EN，因为 GF∥AD，所以 GF∥平面 ABCD， 从而可得 EN∥AD． 延长 FG 至点 M，使 GM＝GF，连接 DM，MN，则 AFE﹣DMN 为直三棱柱， ∵F 到 AE 的距离为 1 2 2 2 3PE  ， 7 3AE  ， ∴ 1 7 2 2 7 2 2 3 3 9AEFS     ， ∴ 7 2 14 229 9AFE DMNV     ， 1 7 2 7 213 9 27G DMNV      ， ∴ 35 2 27AEF NDG AFE DMN G DMNV V V     ， 又 1 8 2 3 3P ABCD ABCDV PE S    矩形 ， ∴ 35 2 8 2 35 2 35 3727 3 27V V        右左： ： ： ． 22．(本小题 12 分) 解：（1）连接 BD 交 AC 于 F 点，连接 EF ， 在 PBD△ 中， E 是 PD 中点， F 是 BD 中点， / /EF PB ， 又 EF  面 AEC ， PB  面 AEC ，故 / /PB 面 AEC . - 8 - （2） / / ,DC AB AC AB ， ,DC AC  又 DC PA ， PA AC A ， DC  面 PDC ， PC  平面 PDC ， DC PC  ， 在 Rt PDC 中， 2 2 2 2 21 1 1 3 2 2 2 2EC PD PA AD PA AC CD       ， 同理 3 2AE  ，在等腰三角形 AEC 中， 1 1 21 22 2 2EACS AC EF        ， 设 D 到平面 AEC 的距离为 h ，由 D EAC E DCAV V  ，得 1 1 3 3EAC ADCS h S EH      ， 即 2 1 12 h   ，解得 2h  ，所以 D 到平面 AEC 的距离为 2 .