2020-2021学年江苏省南京市高二上学期期中考试模拟数学试题 Word版

1 南京市 2020～2021 学年度第一学期期中调研模拟卷 高 二 数 学 2020.10 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1．已知 (cos ,sin )P   ， (cos ,sin )Q   ，则| |PQ 的最大值为（ ▲ ） A． 2 B．2 C．4 D． 2 2 2．若 △ ABC 中， 2sin( )sin( ) sinA B A B C   ，则此三角形的形状是（ ▲ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．设 m ， n 是不同的直线， ，  ， 是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若 m  ， n  ，则 //m n ； ②若 m   ， n   ， //m n ，则 / /  ； ③若  ，  ，则 / /  ． ④若 / /  ， / /  ， m  ，则 m  ；其中正确命题的序号是（ ▲ ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 4．已知双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ），过C 的右焦点 F 作垂直于渐近线的直线 l 交两 渐近线于 A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若 5 13 AF BF  ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ） A．13 12 B． 13 3 C． 13 5 D． 13 5．已知直线 0( 0)x y a a    与圆 2 2 4x y  交于不同的两点 , ,A B O 是坐标原点，且有 | | | |OA OB AB    ，那么 a 的取值范围是（ ▲ ） A． ( 2, ) B． (2, ) C．[2,2 2) D．[ 2,2 2) 6．在菱形 ABCD 中， 4, 60AB A    ，将 ABD△ 沿对角线 BD折起使得二面角 A BD C  的 大小为 60°，则折叠后所得四面体 ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ） A． 2 13 3 B． 13 3 C． 4 3 3 D． 39 3 7．已知点 G 是 ABC 的重心， ( , )AG AB AC R        ，若 120A   ， 2AB AC    ，则 AG 的最小值是（ ▲ ） A． 3 3 B． 2 2 C． 2 3 D． 3 4 8．过抛物线 2 16y x 焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆与直线 13x  相切，则直线 l 的方程为（ ▲ ） A． 2 2 8 2y x  或 2 2 8 2y x   B． 4 16y x  或 4 16y x   C． 2 8y x  或 2 8y x   D． 4y x  或 4y x   二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 9．已知 2sin 3    ，且 cos 0  ，则（ ▲ ） A． tan 0  B． 2 4tan 9   C． 2 2sin cos  D．sin2 0  10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球 心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在点 P 第二次变轨进入仍以 F 为一个焦 点的椭圆轨道 II 绕月飞行，最终卫星在点 P 第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道 III 绕月 飞行，若用 12c 和 22c 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的焦距，用 12a 和 22a 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ） A． 1 1 2 2a c a c   B． 1 1 2 2a c a c   C． 1 2 1 2c a a c D． 1 2 1 2 c c a a  11．如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， CDE△ 是正三角形，M 为 线段 DE 的中点，点 N 为底面 ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ） A．若 BC DE ，则平面CDE  平面 ABCD B．若 BC DE ，则直线 EA 与平面 ABCD 所成的角的 正弦值为 6 4 C．若直线 BM 和 EN 异面，则点 N 不可能为底面 ABCD 的中心 D．若平面CDE  平面 ABCD ，且点 N 为底面 ABCD 的 中心，则 BM EN 12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交 会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已 知点  10M ， ，直线 l： 2x   ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ） A．点 P 的轨迹曲线是一条线段 B．点 P 的轨迹与直线 'l ： 1x   是没有交会的轨迹 ( 即两个轨迹没有交点 ) C． 2 6y x  不是“最远距离直线” D． 1 12y x  是“最远距离直线” 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2cosAsinB=sinA+2sinC．则 B= ▲ . 3 14．已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45°，若 SAB 的面积为5 15 ，则该圆锥的侧面积为 ▲ ． 15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262-190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的 科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面 内与两定点距离的比为常数 k（ 0k  且 1k  ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有 ABC ， 6AC  ，sin 2sinC A ，则当 ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ . 16．已知抛物线  2: 2 0C x py p  的焦点为 F ，直线  : 0l y kx b k   与抛物线C 交于 A ，B 两点，且 6AF BF  ，线段 AB 的垂直平分线过点  0,4M ，则抛物线C 的方程是 ▲ ；若直线 l 过点 F ，则 k  ▲ . 四、解答题（本大题共 6 小题，共 78 分） 17．（10 分）在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ，C 的对边，并且 2 2 2b c a bc   .已知 ▲ ，计算 ABC 的面积.请① 7a  ，② 2b  ，③sin 2sinC B 这三个条件中任选两个， 将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可. 18．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 P . （1）若点 P 的横坐标为 3 5- ，求 cos 2 sin cos    的值 . （2）若将 OP 绕点O 逆时针旋转 4  ，得到角 (即 4    )， 若 1tan 2   ，求 tan 的值. 19．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点  ,P x y 为动点，已知点  2,0A ，  2,0B  ，直线 PA 与 PB 的斜率之积为定值 1 2  ． （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若  1,0F ，过点 F 的直线l 交轨迹 E 于 M 、 N 两点，以 MN 为对角线的正方形的第三个顶 点恰在 y 轴上，求直线 l 的方程． 4 20．（14 分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ADE BCF- 和一个正四棱锥 P ABCD 组合 而成， AD AF ， 2AE AD  ． （Ⅰ）证明：平面 PAD  平面 ABFE ； （Ⅱ）求正四棱锥 P ABCD 的高 h ，使得二面角 C AF P  的余弦值是 2 2 3 ． 21．（14 分）已知点 P 是抛物线 2 1 : 4C y x 的准线上任意一点，过点 P 作抛物线 1C 的两条切线 PA 、 PB ，其中 A 、 B 为切点. （1）证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线 AB 交椭圆 2 2 2 : 14 3 x yC   于C 、 D 两点， 1S 、 2S 分别是 PAB△ 、 PCD 的面积， 求 1 2 S S 的最小值. 22．（16 分）已知圆C 的圆心在直线 3 0x y  上，与 x 轴正半轴相切，且被直线 l ： 0x y  截得 的弦长为 2 7 . （1）求圆C 的方程； （2）设点 A 在圆C 上运动，点  7,6B ，且点 M 满足 2AM MB  ，记点 M 的轨迹为  . ①求  的方程，并说明  是什么图形； ②试探究：在直线 l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于  上任意一点 P ，都有 PO PT 为一常 数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由. 参考答案 5 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB 10．BC 11．ABC 12．BCD 13． 2 3  14． 40 2π 15． 5 1 16． 2 4x y 2 2  17．答案不唯一，见解析 18．（1） 1 5 （2） 1 3  19．（1）   2 2 1 02 x y y   ；（2） 1 0x y   或 1 0x y   ． 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） 1h  ． 21．（1）定点坐标为 1,0 ，证明见解析；（2） 4 3 . 22．（1）   2 21 3 9x y    ；（2）①   2 25 5 1x y    ， 是圆；②存在， 49 49,10 10D     .