2020-2021学年江西省暨实验学校高二上学期期中考试数学（理）试题 PDF版

高二上期中理科数学试卷 第1页，共 4 页 高二上期中理科数学试卷 第2页，共 4 页 P B A D C H 暨实验学校 2020－2021 学年上学期期中考试 高二理科数学试卷 命题人： 审题人： 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分，每小题只有一个选项是正确的. 1、命题“ 2, 2 0x R x x" Î - + ³ ”的否定是（ ） 2. , 2 0A x R x x" Î - + < 2 0 0 0. , 2 0B x R x x$ Î - + < 2 0 0 0. , 2 0C x R x x$ Î - + ³ 2 0 0 0. , 2 0D x R x x$ Î - + £ 2、完成下列两项调查：①从某社区 125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出 100 户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的 15名艺术特长生中选出 3名调查学习负担情况。宜采 用的抽样方法依次是( ) A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 3、从 30个个体(编号为 00～29)中抽取 10个样本，现给出某随机数表的第 11行到第 15行(见下表)，如果 某人选取第 12行的第 6列和第 7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前 4个的号码分别 为( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00 B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07 4、已知在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D- 中，点E为棱 1AA 的中点，则直线DE与体对角线 1BD 所成角的余弦 值为（ ） 15 . 15 A 3 . 3 B 2 5 . 5 C .0D 5、已知直线 1 2, ,l l 平面 2 1 1 2, , , / / , ,l l l la b a b a= ^I 那么“ 1l b^ ”是“a b^ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6、已知向量 (1,1,0), ( 1,0,1),a b= = - r r 且 ka b+ r r 与 a r 互相垂直，则 k =（ ） .A 1 3 .B 1 2 .C 1 3 - .D 1 2 - 7、已知双曲线的渐近线为 2y x= ± ，且过点 (1, 3)P ，则该双曲线的标准方程为（ ） 2 2. 1 4 x A y- = 2 2. 1 1 4 x B y- = 2 2. 1 1 2 x C y- = 2 2 . 1 2 2 y x D - = 8、如围在四面体OABC中， ,M N分别在棱 ,OA BC上且满足 2OM MA= uuuur uuur ，BN NC= uuur uuur ，点G 是线段MN 的中点，用向量 , ,OA OB OC uuur uuur uuur 作为空间的一组基底表示向量OG uuur 应为（ ） 1 1 1 . 3 6 3 AOG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur 1 1 1 . 3 4 4 BOG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur 1 1 1 . 3 3 6 COG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur 1 1 1 . 4 4 3 DOG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur 9、已知椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > ，斜率为 1 3 - 的直线 l与椭圆相 ,A B两点，且线段 AB的中点为 (1, 2)M ，则该椭圆的离心率为（ ） 1 . 3 A 2 . 5 B 3 . 3 C 1 . 2 D 10、如图，四棱锥P ABCD- 的侧面 PAB ^底面 ABCD， PABD 为等边三角形， 2 2AB AD BC= = = ， , / /AB AD AD BC^ ，点H为 PB的中点，则直线HD与底面 ABCD所成 的角的正弦值为（ ） 21 . 14 A 5 7 . 14 B 7 . 7 C 3 . 3 D 11、已知抛物线 2 2 ( 0)y px p= > 的焦点为 F ，准线 l与 x轴交于点H，过焦点 F 的直线交抛物线于 ,A B 两点，分别过点 ,A B作准线 l的垂线，垂足分别为 1 1,A B ，如图所示，则 ①以线段 AB为直径的圆与准线 l相切； ②以 1 1AB 为直径的圆经过焦点 F ； ③ 1, ,A O B （其中点O为坐标原点）三点共线； ④若已知点 A的横坐标为 0x ，且已知点 0( ,0)T x- ，则直线TA与该抛 物线相切； O A B C M N G l B H A O F x y A1 B1 T 高二上期中理科数学试卷 第3页，共 4 页 高二上期中理科数学试卷 第4页，共 4 页 F E A B D C P 则以上说法中正确的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D 12、已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的左右焦点分别为 1 2,F F ， P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一 点， I 是 1 2PFFD 的内心，当 | | 4 | |p Iy y= 时（其中 ,p Iy y 分别为点P与内心 I 的纵坐标），椭圆的离心率 为（ ） 1 . 2 A 3 . 2 B 1 . 3 C 6 . 3 D 二、填空题：每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分. 13、已知抛物线的标准方程为 28y x= - ，则该抛物线的准线方程为_________. 14、如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 __________． 15、椭圆 2 2 : 1 25 9 x y E + = 的左焦点为 1F ，直线 x m= 与椭圆 E交于 ,A B两点. 当 1F ABD 的周长最大时，则m的值等于________. 16、已知四棱锥 P ABCD- 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAB ^ 底面 ABCD ，且 4PA PB= = ，则该四棱锥 P ABCD- 的外接球的表面积为_________. 三、解答题：共 6 大题，其中第 17 题满分 10 分，第 18—22 每题满分 12 分，共 70 分. 17、已知命题 :p 方程 2 2 24 0x y x m+ - + = 表示圆；命题 :q 方程 2 2 1 3 y x m + = 表示焦点在 y轴上的椭圆. （1）若命题 p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题 p q、 有且仅有一个为真，求实数m的取值范围. 18、在 ABC∆ 中，它的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，该三角形的面积为 ( )2 2 23 12 ABC S a b c∆ = + − ， 3 3ac = 且 sin 3 sinA B= . （1）求角C的大小； （2）求 c边的长． 19、已知{ }na 为等差数列，{ }nb 为单调递增的等比数列， 1 1 1a b= = ， 2 4 6a a+ = ， 3 3 12a b = . （1）求{ }na 与{ }nb 的通项公式； （2）求数列{ }n na b+ 的前 n项和 nS . 20、已知圆 2 2 2: 2 2 2 4 0C x y ax ay a a+ − + + − = ，直线 : 2 0l x y− − = . ( )1 求直线 l被圆C所截得弦长的最大值; ( )2 过直线 : 4 0m x y− + = 上的点P作圆C的切线 PM ，记切线PM 长的最小值为 ( )g a ，当 a在 ( ]0,2 上变化时，求 ( )g a 的取值范围. 21 、 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 P ABCD- 的 底 面 ABCD 为 菱 形 ， 且 PA^ 面 ABCD ， 120 ,BAD °Ð = 1, 2AB PA= = ，且 ,E F分别为 ,PB PD的中点. （1）求证： BD ^面 PAC ； （2）求二面角 P AE F- - 的余弦值. 22、已知椭圆 ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b + = > > 的左、右焦点分别为 ( ) ( )1 21,0 , 1,0 ,F F M− 是椭圆上的一点，当 1 2 60FMF∠ = o 时， 1 2FMF∆ 的面积为 3 . ( )1 求椭圆 E的方程； ( )2 过 2F 的直线 l与椭圆 E交于 ,A B两点，过 ,A B两点分别作定直线 4x = 的垂线，垂足分别为 1 1,A B ， 求证： 1 2 1 2 1 2 1 2 A F B AF A BF B S S S ∆ ∆ ∆⋅ 为定值. 高二上期中理科数学答案 第 1 页 共 4 页 2020（实验）高二上期中理科数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A C B B B C A D C 二、填空题 13、 1 32 y = 14、64 15、4 16、 316 15 p 三解答题 17、（1） 2 2m- < < （2） 2 0m- < £ 或 2 3m£ < 18、（1） 6 π ；（2） 3c = . 【解析】（1）由 ( )2 2 23 12 ABC S a b c= + +
得 1 3 sin 2 cos 2 12 ab C ab C= ⋅ 3 tan 3 C∴ = 又 (0, ) 6 C C ππ∈ ∴ = ………………6分 （2）由 sin 3 sinA B= 及正弦定理得 3a b= ， 由余弦定理得 2 2 2 2 2 3 2 cos ( 3 ) 2 3 2 c a b ab C b b b b= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ b c∴ = ，所以 6 B C π= = ， 2 3 A π= ， 由正弦定理 sin sin a c A C = ，得 2 sin 3 3 sin 6 c a c π π= = ， 23 3 3ac c= = ，所以 3c = ． ………………………………12 分 19、（1） na n= ， 12nnb −= ；（2） ( )1 2 1 2 n n n n S + = + − . 【解析】（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为q， 由 2 4 6a a+ = ，可得 12 4 6a d+ = ，又 1 1a = ，所以 1d = . 所以 ( )1 1na a n d n= + − = . ………………3 分 由 3 3 12a b = ，可得 3 4b = ，又 1 1b = ，所以 2 3 1 4 b q b = = ， 又因为数列{ }nb 为单调递增的等比数列，则 0q > ，故 2q = ，所以 1 1 1 2n n nb b q - -= = ； ………………6 分 （2）由（1）可知 1 2 n n na b n −+ = + ， 高二上期中理科数学答案 第 2 页 共 4 页 z y x P B A D C E F M 数列{ }na 的前 n项和为 ( )1 1 2 2 n n n + + + + =L ， 数列{ }nb 的前 n项和为 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 n n n− −+ + + = = − − L ， 故 ( )1 2 1 2 n n n n S + = + − . ………………………………12 分 20、（1）2 6 （2） (2 2 ,2 6] 【解析】 ( )1 配方，得 ( ) ( )2 2 4x a y a a− + + = 由 4 0a > ，得 0a > 圆心 ( ),C a a− 到直线 l的距离 2 2 1 2 a a d a + − = = − 所以，弦长 ( ) ( )22 222 2 4 2 1 2 2 2 6AB r d a a a= − = − − = − − + 故当 2a = 时，弦长的最大值为 2 6 . ………………6分 ( )2 圆心 ( ),C a a− 到直线 : 4 0m x y− + = 的距离 ( )2 4 2 2 2 a d a + = = + ， 当且仅当CP m⊥ 时，切线 PM 的长取最小值， 此时 ( ) ( ) ( )2 222 2 2 4 2 1 6g a CP r a a a= − = + − = + + ， ( ] ( )0, 2 ,a g a∈Q 在 ( ]0, 2 递增， 故 ( )g a 的取值范围为 (2 2 ,2 6]. ………………………………12 分 21、证明： 1 2 4 PA ABCD PA BD ABCD AC BD AC BD PA AC A BD PAC ^ \ ^ \ ^ = \ ^ Q LL Q LL Q I LL 平面 分 又 在菱形 中，对角线为 与 分 又 面 分 （2）如图建立空间直角坐标系， 3 1 (0,0,2), (0,0,0), (0,1,0), ( , ,0) 2 2 P A D B - \中点 3 1 ( , ,1) 4 4 E - ，中点 1 (0, ,1) 2 F ………6 分 高二上期中理科数学答案 第 3 页 共 4 页 则 取 AB 的 中 点 3 1 ( , ,0) 4 4 M - ， 连 CM ， 易 证 CM PAB^面 , 所 以 面 PAE 的 一 个 法 向 量 为 3 3 ( , ,0) 4 4 CM = - - uuuur ， ………8分 设平面 AEF 的一个法向量为 ( , , )n x y z= r ，则 3 1 00 4 4 10 0 2 x y zn AE n AF y z ì ï - + =ì × = ïï \í í ï ï× =î + =ï î r uuur r uuur 令 2,y = 则 1, 2 3z x= - = (2 3,2, 1)n\ = - r …10 分 令二面角 P AE F- - 的平面角为q ，易知该二面角为锐角 3 2 51 cos | cos , | | | 17| | | | 3 17 2 CM n CM n CM n q × \ = < >= = = × ´ uuuur r uuuur r uuuur r ………12 分 22、（1） 2 2 1 4 3 x y+ = （2）4 【解析】 ( )1 依题意， 1,c = 在 1 2 F MF
中， 1 2 21 sin 60 1 2 3FMF M F MS F= =o
21 4M FF M∴ = 由余弦定理， 2 2 2 1 2 1 22 60 2FM F M FM F M cos+ − =o ， 即 ( )2 2 1 2 1 2 2| 3| 2|FM F M FM F M+ − = ， ( )2 1 2 2 1 23 4 16, 2 4| | |FM F M FM F M a+ = + = ∴ = ， 2 2 22, 3a b a c= = − = . 故椭圆 E的方程为 2 2 1 4 3 x y+ = ………………………4分 ( )2 当直线 l的斜率为 0 时， 1 1, , ,A B A B 共线，不可能形成三角形， 故直线 l的斜率不为 0 ，设直线 l的方程为 1x yλ= + ，设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 2 2 1 1 4 3 x y x y λ= +   + =  ，消去 ,x 得 ( )2 23 4 6 9 0y yλ λ+ + − = ， 高二上期中理科数学答案 第 4 页 共 4 页 则 1 2 1 22 2 6 9 , 3 4 3 4 y y y y λ λ λ − −+ = = + + ( )1 2 1 2 2 2 6 8 2 2 3 4 3 4 x x y y λλ λ λ −+ = + + = + = + + ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 21 1x x y y y y y yλ λ λ λ= + + = + + 2 2 2 9 6 12 4 1 3 4 3 4 3 4 λ λ λ λ λ − − − += + + = + + + 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 AF A BF BS S AA y BB y∆ ∆⋅ = × ( )( )1 2 1 24 4 1 4 x x y y− −= ( )1 2 1 216 4 1 4 x x y y= −  + ( ) ( ) 22 22 2 2 2 9 9 132 12 4 9 3 4 3 4 3 4 3 1 4 4 1 6 λλ λ λ λ λ   = × +− ++ × = + + +   + −  又 ( ) 1 2 2 2 22 1 1 1 2 1 9 3 2 4 A F AS A B y y  = × = −   
( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 96 3 4 9 4 4 3 4 9 4 4 y y y y λ λ λ −− +    = + − = − ×   +     ( ) ( ) 2 2 2 36 9 1 3 4 λ λ × + + = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 36 9 1 3 4 4 9 9 1 3 4 A F B AF A BF B S S S λ λ λ λ ∆ ∆ ∆ × + + = = × + + ⋅ (定值). ………………………12 分