2020-2021学年江西省高二上学期期中考试数学试题 word版

1 2020-2021 学年度第一学期 高二数学期中联考试卷 测试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人： 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一 个选项符合题意） 1.下列关于算法的说法正确的有 1 求解某一类问题的算法是唯一的 2 算法必须在有限步骤操作之后停止 3 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊 4 算法执行后一定产生确定的结果 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.如图所示的程序框图，若输出的 S=41,则判断框内应填入的条件是 A.k>3 B.k>4 C.k>5 D.k>6 (第 2 题图) 2 3.已知 x，y 满足约束条件 x－y≥0， x＋y－4≤0， y≥1， z＝－2x＋y 的最大值是 A．-1 B.-2 C.-5 D.1 4.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 16=3+13，在不超过 16 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是 A. 2 15 B. 2 21 C. 1 7 D. 3 28 5.过点(-1，3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 6.点 P(1,- 3 )则它的极坐标是 A．(2, 3  ) B．(2, 3 4 ) C．(2,- 3  ) D．(2,- 3 4 ) 7. 设双曲线   2 2 2 1 09 x y aa    的渐近线方程为 3 2 0x y  ，则 a 的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 8.若圆 2 2 1 : 1C x y  与圆 2 2 2 :( 3) ( 4) 25    C x y m 外切，则 m= A．9 B．19 C．21 D．﹣11 3 9.已知 a>0，x、y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， y≥ax－3， 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝ A．1 4 B．1 2 C．1 D．2 10.已知正方形 ABCD 的边长为 2，H 是边 DA 的中点.在正方形 ABCD 内部随机取一点 P，则满足|PH|< 2 的概率为 A． 8  B． 1 8 4   C． 4  D． 1 4 4   11. 在极坐标系中，已知点 A(-2,- 2  )，B( 2 , 4 3 )，O(0,0)，则 ABO 为 A．正三角形 B．直角三角形 C．锐角等腰三角形 D．等腰直角三角形 12.过椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点.若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围 是 A． 50, 5      B． 5 ,15      C． 20, 2       D． 2 ,12      二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 P(m,-3)到焦点的距离为 5，则 抛物线方程为 14. 已知直线 y=k(x+4)与曲线 24y x  有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 ________ 15.a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简 cos( )a  的结果是________ 4 (15 题图) 16.过椭圆 2 2 136 27 x y  上一点 P 分别向圆  2 2 1 : 3 4C x y   和圆  2 2 2 : 3 1C x y   作切 线，切点分别为 M、N,则 2 22PM PN 的最小值为___________ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.(10 分)已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x2＋9y2＝36 有相同的焦点，求双曲线的标准 方程和渐近线方程。 18.(12 分) 设 P 是抛物线 2 4y x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点. （1）若点 P 到直线 x=-1 的距离为 d，A(-1,1)，求|PA|+d 的最小值； （2）若 B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值. 19. (12 分) 已知椭圆 C: 2 24 16 x y 和点 M(2,1). （1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率； （2）设直线 l：x+2y-4=0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|； 5 （3）求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程. 20.(12 分) 已知集合 Z＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}. (1)若 x，y∈Z，求 x＋y≥0 的概率； (2)若 x，y∈R，求 x＋y≥0 的概率 21.(12 分)已知圆    2 2: 1 2 25C x y    和直线 l:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0. （1）证明：不论 m 为何实数，直线 l 都与圆 C 相交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线 l 的方程； （3）已知点 P（x,y）在圆 C 上，求 2 2x y 的最大值. 6 22.(12 分)已知椭圆 C： 2 2 2 2 1 0)x y a ba b    （ 的左焦点为 F(- 3 ,0)，过点 F 做 x 轴的垂线 交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=1． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 P 为椭圆 C 短轴的上顶点，直线 l 不经过 P 点，且与 C 相交于 M、N 两点，若 直线 PM 与直线 PN 的斜率的和为-1，问：直线 l 是否过定点？若是，求出这个定点， 否则说明理由． 7 高二年级数学期中考试试卷答案 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.B 11.D 12.A 13.x = -8y 14. 30 3 ，     15.cosθ 16.90 17.双曲线的标准方程为： - =1；渐近线方程为：y=± x 18.（1）依题意，抛物线的焦点为 (1,0)F ，准线方程为 1x   . 由已知及抛物线的定义，可知| |PF d ， 于是问题转化为求| | | |PA PF 的最小值. 由平面几何知识知， 当 F，P，A 三点共线时，| | | |PA PF 取得最小值， 最小值为| | 5AF  ，即| |PA d 的最小值为 5 . （2）把点 B 的横坐标代入 2 4y x 中，得 2 3y   ， 因为 2 3 2 ，所以点 B 在抛物线的内部. 过 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 1P （如图所示）. 由抛物线的定义，可知 1 1PQ PF ， 则 1 1| | | | | | 3 1 4PB PF PB PQ BQ     … ， 所以| | | |PB PF 的最小值为 4. 19.(1)焦点坐标：(±2 ,0) ， e= (2)联立方程组，整理，解得 A(0,2)，B(4,0), 故|AB|=2 (3)由点差法，计算出所求弦的斜率为- ，故所求弦的直线方程为 x+2y-4=0 20.（1）设"x+y 0, , "x y Z  为事件 , ,A x y Z ，  0,2x ， 即  0,1,2; 1,1x y   ，即 1,0,1y   . 则基本事件有：                  0, 1 , 0,0 , 0,1 , 1, 1 , 1,0 , 1,1 , 2, 1 , 2,0 , 2,1   共9个，其中满足 的基本事件有8 个，所以   8 9p A  .故 , , 0x y Z x y   的概率为 8 9 . 8 (2)设" 0, , "x y x y R   为事件 B ，因为  0,2 , 1,1x y     ，则基本事件为如图四边形 ABCD 区域，事件 B 包括的区域为其中的阴影部分.   1 1- 1 1 2 2- 1 1 72 2= = =2 2 8 ABCD ABCD ABCD SSp B S S        四边形阴影 四边形 四边形 ， 故" , 0"x y R x y  ， 的概率为 7 8 . 21.解：（1）因为    : 2 1 1 7 4 0l m x m y m      所以    2 7 4 0x y m x y      令 2 7 0 4 0 x y x y        解得 3 1 x y    所以直线 l 过定点 3,1 . 而   2 23 1 1 2 25    ，即点 3,1 在圆内部. 所以直线 l 与恒交于两点. （2）过圆心  1,2 与点  3,1 的直线 1l 的方程为 1 5 2 2y x   ， 被圆  C 截得的弦长最小时，直线l 必与直线 1l 垂直，所以直线l 的斜率 2k  ， 所以直线 l 的方程为  1 2 3y x   ，即 2 5 0x y   . （3）因为 2 2 2 2( 0) ( 0)x y x y    ，表示圆上的点  ,x y 到 0,0 的距离的平方， 因为圆心到原点的距离 2 21 2 5d    所以 2 a 2 m x 2 ) (5 5) 30 10 5(     x y 22.解：（1）由题意可知 3c  ，令 x c  ，代入椭圆可得 2by a   ， 22 1b a   又 2 2 3a b  ，两式联立解得： 2 4a  ， 2 1b  ， 2 2 14 x y   ； （2）①当斜率不存在时，设 x t ，  , MM t y ，  , MB t y 1 1 2 1M M PM PN y yk k t t t          ， 得 2t  ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意． 9 ②当斜率存在时，设 : ( 1)l y kx m m    ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 联立 2 24 4 0 y kx m x y       ，整理得  2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     ， 所以 1 2 2 8 1 4 kmx x k    ， 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k    ，    2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2 1 1 PA PB x kx m x x kx m xy yk k x x x x           ， 1m   ， 2 1m k    此时 64k   ，存在 k 使得   成立． ∴直线l 的方程为 2 1y kx k   ，即 ( 2) ( 1) 0k x y    ， 当 2x  ， 1y   时，上式恒成立， 所以 l 过定点 (2, 1) ．