2020-2021学年江苏省沭阳县高二上学期期中调研测试数学试题 Word版

1 沭阳县 2020～2021 学年度第一学期期中调研测试 高二数学参考答案 一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 函数 2( ) ln( 2 8)f x x x   的定义域为( B ) A. ( 4 2) ， B. ( , 2) (4, )   C. ( 2 4) ， D. ( , 4) (2, )   2. 椭圆 2 29 9x y  的焦距等于( C ) A.2 B.6 C. 4 2 D. 4 10 3. 已知数列 na 的前 n 项和 2 ( )n nS Nn   ,则 na 的通项公式为( B ) A. 2na n B. 2 1na n  C. 3 2na n  D. 2 1 2 1, ,n n n na     4. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     ，若长轴长为 6，离心率为 1 3 ，则此椭圆的标准方程为( D ) A. 2 2 136 32 x y  B. 2 2 136 4 x y  C. 2 2 19 4 x y  D. 2 2 19 8 x y  5. 《庄子.天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过 n 天，该木锤剩余的长 度为 na (尺)，则 na 与 n 的关系为( A ) A. 1 2n na  B. 11 2n na   C. 1 na n  D. 11na n   6. 已知“ x k ”是“ 2 2e 1x x   ”的充分条件,则 k 的取值范围是( D ) A. ( , 1)  B. ( , 1]  C. (2, ) D. [2, ) 7. 设 4( ) 4 2 x xf x   ，则 1 2 3 20 21 21 21 21f f f f                         的值为 (C ) A.11 B.8 C.10 D.20 8. 已知 0x  ， 0y  ，若 22 8 + 8y x y m mx y    恒成立，则实数 m 的取值范围是( A ) A. 1 9m   B. 9 1m   2 C. 9m≥ 或 1m   D. 1m  或 9m   二.多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 若椭圆 2 2 14 x y m   的离心率为 1 2 ，则 m 的值可能为(AC ) A.16 3 B.6 C.3 D.17 3 10. 下列各函数中，最小值为 2 的是( BC ) A. 1y x x   B. 1sin siny x x   ，  0,x  C. 2 3y x x   D. 2 2 3 2 xy x   11. 若方程 2 2 19 1 x y k k    表示椭圆 C，则下面结论正确的是( CD ) A. (1,9)k  B.椭圆C 的焦距为 2 2 C.若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，则 (1,5)k  D.若椭圆 C 的焦点在 y 轴上，则 (5,9)k  12. 下面命题正确的是(AD ) A.“ 2 1x  ”是“ 1x  ”的必要条件 B.设 0a  ， 0b  ，则“lg( ) 0ab  ”是“ lg( ) 0a b  ”的充要条件 C.设 ,x yR ，则“ x y ”是“ 2 2x y ”的充要条件 D.命题“ 1x  ， 2 1 0x   ”的否定是“ 1x  ， 2 1 0x   ” 三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分(其中 16 题第一空 2 分，第二空 3 分) 13. 已知 △ ABC 的周长为 20，且顶点    0, 3 , 0,3B C ，则顶点 A 的轨迹方程是__▲____ 【答案】   2 2 1 049 40 y x x   . 14. 若 0a  ， 0b  ， 2 6a b  ，则 1 2 a b  的最小值为__▲____. 【答案】 4 3 15. 如图，正方形 ABCD 的边长为 5 cm ,取 ABCD 正方形各边中点 3 , , ,E F G H ，作第 2 个正方形 EFGH ，然后再取正方形 EFGH 各边的中点 , , ,I J K L ，作第 3 个 正方形 IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形 ABCD 开始，连续 10 个正方形的面积之和是 ▲ 2cm 【答案】 10 25575 5050-512 2 或 16. 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a b  )的焦点为 1F ， 2F ，如果椭圆C 上存在一点 P ，使得 1 2 0PF PF   ，且 1 2PF F△ 的面积等于 6，则实数b 的值为___▲____，实数 a 的取值范围为 ___▲____. 【答案】 6 2 3,  四.解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 6 42, 0a a a   . (Ⅰ)求数列 na 的通项公式； (Ⅱ)求 nS 的最大值及相应的 n 的值. 解：(Ⅰ)在等差数列 na 中，∵ 1 6 42, 0a a a   1 1 2 5 2 3 0 a d a d     ，………………………………………………………………………2 分 解得 1 6 2 a d     ，…………………………………………………………………………4 分 ∴ 1 ( 1) 8 2na a n d n     ；………………………………………………………6 分 (Ⅱ)  1 2 72 n n a a nS n n      ，…………………………………………………8 分 ∴当 3n  或 4n  时， nS 有最大值是 12.…………………………………………10 分 18. (本题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点分别为 1 2( 3,0) ( 3,0)F F 、 ，短轴长为 2. 4 (1)椭圆C 的标准方程; (2)已知过点 1(0, )2 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 ,A B 两点,求线段 AB 的长度. 解：⑴由 1 2( 3,0) ( 3,0)F F 、 ，短轴长为 2. 得： 3, 1c b  ,所以 2a  ，…………………………………………………………………………2 分 ∴椭圆方程为 2 2 14 x y  .……………………………………………………………………………4 分 ⑵设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 由⑴可知椭圆方程为 2 2 14 x y  ①, ∵直线 AB 过点 1(0, )2 且斜率为 1, ∴直线 AB 的方程为 1 2y x  ②, ………………………………………………………6 分 把②代入①得化简并整理得 25 4 3 0x x   ,……………………………………………………8 分 所以 1 2 1 2 4 3,5 5x x x x     ,……………………………………………………………9 分 又 2 16 2 38(1 1 )( +4 )25 5 3 5AB     .………………………………………………12 分 19. (本题满分 12 分) 沭阳县的花木生产已有 200 多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前， 花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌， 促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节.2020 年第八届沭阳花木节期间， 某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为 45 平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边(墙不 需要隔离带)，并共用垂直于墙的一条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边长不小于 3 米，每 个长方形平行于墙的边长也不小于 3 米. (1)设所用隔离带的总长度为l 米，垂直于墙的边长为 x 米，试将l 表示成 x 的函数，并确定这个函数 5 的定义域； (2)当 x 为何值时，所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？ 【答案】(1)由题得每个长方形平行于墙的边长 45 x 米， 则 1354l x x   ，………………………………………………………………2 分 3x … 且 45 3x  ，………………………………………………………………4 分 3 15x „ „ ， 所以函数的定义域为[315]， ；………………………………………………………………6 分 (2) 1354 2 4 135 1512l x xx x   … ，……………………………………………………8 分 当且仅当 1354x x  ，即 5 2 3 1x  时取等号，…………………………………………… 10 分 故当垂直于墙的边长为 3 15 2 m 时，所用隔离带的总长度最小，隔离带的总长度最小值是 12 15m .…12 分 20(本题满分 12 分) 在① 3 2 5 25 6a a a b  ， ；② 2 3 4 32 3b a a b  ， ；③ 3 4 5 29 8S a a b  ， ，这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列 na 的公差为  1d d  ，前 n 项和为 nS ，等比数列 nb 的公比为 q ，且 1 1a b d q ， ，____________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.) (1)求数列 na ， nb 的通项公式; (2)设数列 1 1 n na a        的前 n 项和为 nT ，求 nT . 解：方案一：选条件① (1) 3 2 5 2 1 15 6 1a a a b a b d q d     , ＋ , , , , 1 1 1 2 5 2 5 6 a d a d a d     ,……………2 分 解得 1 1 2 a d    或 1 25 6 5 12 a d     (舍去),……………………………………………………….3 分 6 1 1 2 b q   ,…………………………………………………………………….4 分  1 –1na a n d  ＋ 2 1n  , 1 1 1 2n n nb b q - -= = ……………………………6 分 方案二：选条件② (1) 2 3 4 3 1 12, 3 , , , 1b a a b a b d q d      1 2 1 1 2 2 5 3 a d a d a d    , 1 1 2 2 5 6 a d a d d    , 解得 1 1 2 a d    或 1 1 2 a d      (舍去), 1 1 2 b q   , 1 ( 1) =na a n d   =2 1n  1 1 1 2n n nb b q - -= = 方案三：选条件③ 3 4 5 2 1 19, 8 , , , 1S a a b a b d q d       1 1 1 3 2 7 8 a d a d a d     解得 1 1 2 a d    或 1 21 8 3 8 a d     (舍去) 1 1 2 b q    1 ( 1)na a n d    2 1n  1 1 n nb b q  12n (2) 1 1 1 1 1 1= ( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n     Q ………………….8 分 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 3 5 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n nT n n n n             L ………12 分 21. (本题满分 12 分) 若关于 x 的不等式 2( 5) 4 6 0a x x    的解集是 3 1x x x  或 . (1)解不等式 22 (2 ) 0x a x a+ - - > ； (2)若对于任意  2,5x 的不等式 2 3 0ax bx   恒成立，求b 的取值范围. 解：(1)由题意知 5 0a   且－3 和 1 是方程 2( 5) 4 6 0a x x    的两根………2 分 7 ∴ 5 0 4 25 6 35 a a a             , 解得 3a  …………………………………………………………4 分 ∴不等式 22 (2 ) 0x a x a+ - - > ，即为 22 3 0x x   ， 解得 1x   或 3 2x  .∴所求不等式的解集为{ | 1x x   或 3}2x  …………….6 分 (2) 2 3 0ax bx   ，即为 23 3 0x bx   ，  2,5x ， 法一.分离参数：不等式恒成立转换为 23 3bx x  ，即 13( )b x x    …………….8 分 利用定义证明 1( ) 3( )f x x x   在  2,5x 是单调递增，…………………………..10 分 求出 1( ) 3( )f x x x    的最小值为15 2 ， 15 2b  , 15 2b   ……………………………………………………………….12 分 法二.可以利用动轴定区间讨论  23 3 2,5g x bx x   （x） 在 的最小值 (同样给分) 2 126 bx b    当 即 时，  2( ) 3 3 2,5g x x bx x   在 单调递增， min 15( ) (2) 15 2 0 2g x g b b        满足； 当  2,56 bx    ，即  30, 12b   时， 2( ) 3 3 2, 56 6 b bg x x bx x x                在 单调递减，在 ， 单调递增 2 min( ) ( ) 3 0 6 66 12 b bg x g b          不满足； 5 306 bx b    当 即 时，  2( ) 3 3 2,5g x x bx x   在 ，单调递减 min 78( ) (5) 78 5 0 5g x g b b        不满足； 8 综上所述：b 的取值范围为： 15 2b   22. (本题满分 12 分) 己知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     的一个顶点坐标为 2,0 ，离心率为 3 2 ，直线 y x m   交椭圆于不同的两点 ,A B (Ⅰ)求椭圆 M 的方程； (Ⅱ)设点  2,2C  ，是否存在实数当 m 使得 ABC 的面积为1？若存在求出实数 m 的值；若不存在 说明理由. 解：(Ⅰ)由题意知： 2a  ， 3 2 c a  ，则 3c  ， 2 2 2 1b a c    ， 椭圆 M 的方程为： 2 2 14 x y  .……………………………………...2 分 (Ⅱ)存在实数当 m 使得 ABC 的面积为1. 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y , 联立 2 2 14 y x m x y      ,得： 2 25 8 4 4 0x mx m   …………………...4 分  2 264 20 4 4 0m m     ，解得： 5 5m   …………………..6 分 1 2 8 5 mx x   ， 2 1 2 4 4 5 mx x  ,  2 2 1 2 1 2 4 22 4 55AB x x x x m        …………………...8 分 又点C 到直线 AB 的距离为： 2 md  …………………...10 分 21 1 4 2 5 12 2 5 2ABC mS AB d m         ，解得：  10 5, 52m     , 10 2m  存在实数满足要求，且 …………………..12 分