2020-2021学年江苏省扬州市宝应中学高二上学期期中考试数学试题 word版

1 江苏省宝应中学 2020-2021 学年第一学期高二年级期中考试 (数学) 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．不等式 2 2 3 0x x   的解集为 （ ） A． 1,3 B．   , 1 3,   C．   , 3 1,   D． 3,1 2．已知  |1 2A x x   ，命题“ 2, 0x A x a    ”是真命题的一个充分不必要条件是 A． 4a  B． 4a  C． 5a  D． 5a  （ ） 3．已知双曲线的方程为 2 2 14 3 x y  ，双曲线右焦点 F 到双曲线渐近线的距离为（ ） A．1 B． 2 C．2 D． 3 4．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不 知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是： 一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前 面儿子小 3 岁，九个儿子共 207 岁，问老大是多少岁? （ ） A．38 B．35 C．32 D．29 5．如图,在四面体OABC 中, D 是 BC 的中点,G 是 AD 的中点,则OG  等于（ ） A． 1 1 1 3 3 3OA OB OC    B． 1 1 1 2 3 4OA OB OC    2 C． 1 1 1 4 4 6OA OB OC    D． 1 1 1 2 4 4OA OB OC    6．若 a，b 为正实数，且 1 1 23a b   ，则3a b 的最小值为 （ ） A．2 B． 3 2 C．3 D．4 7．已知 1F ､ 2F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左､右焦点，过 1F 的直线 l 交椭圆 于 D ､ E 两点， 1 1| | 5| |DF F E ， 2| | 2DF  ，且 2DF x 轴.若点 P 是圆 2 2: 1O x y  上 的一个动点，则 1 2PF PF 的取值范围是 （ ） A． 2 4， B． 2 5， C． 3 5， D． 3 4， 8．已知数列 na 满足  1 1 3 1n n na a n     ， nS 是数列 na 的前 n 项和，则（ ） A． 2020S 是定值， 1 2020a a 是定值 B． 2020S 不是定值， 1 2020a a 是定值 C． 2020S 是定值， 1 2020a a 不是定值 D． 2020S 不是定值， 1 2020a a 不是定值 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．设 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为 a 的正方体，以下结论正确的有 （ ） A． 2 1AB C A a    B． 2 1 1 2AB AC a   C． 2 1BC A D a   D． 2 1 1AB C A a   10．已知曲线C 的方程为 2 2 1( )2 6 x y k Rk k     ，则下列结论正确的是 （ ） A．当 4k  时，曲线C 为圆 B．当 0k  时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为 3y x  C．“ 4k  ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D．存在实数 k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为 2 3 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS 且满足 1 1 13 0( 2), 3n n na S S n a    ，下列命题中正 确的是 （ ） A． 1 nS       是等差数列 B． 1 3nS n  C． 1 3 ( 1)na n n    D． 3nS 是等比数列 12．已知 1, 0, 0x y y x    ，则 1 2 1 x x y   的值可能是 （ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 3 4 D． 5 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若关于 x 的不等式 0ax b  的解集是  1, ，则关于 x 的不等式 02 ax b x   的解集 是______. 14．命题“ 0x R  ，使  2 0 01 1 0m x mx m     ”是假命题，则实数 m 的取值范围 为__________. 15．已知等差数列 na 的公差不为零，若 3a ， 4a ， 6a 成等比数列，则 2a  ______. 16．已知抛物线 C： 2 4y x 的焦点为 F，直线 l： 2 1 0x y   与 C 交于 P、Q(P 在 x 轴上方)两点，若 PF FQ  ，则实数λ的值为_______ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知 m R ，命题 [0 ]: ,1p x  ， 2 2m x  ，命题 : [ 1,1]q x   ， m x ． （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题 p 与 q 一真一假，求实数 m 的取值范围． 18．已知双曲线 2 2 : 15 x yE m   （1）若 4m  ，求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； 4 （2）若双曲线 E 的离心率为 6 , 22e      ，求实数 m 的取值范围． 19．已知函数   2f x x bx c   ，关于 x 的不等式   0f x  的解集是 2,3 . （1）求  f x 的解析式； （2）若对于任意  3,3x  ，不等式   2 0f x t t   恒成立，求t 的取值范围. 20．在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA  平面 1, 2ABC AA AC BC   , 90ACB   ， ,D E 分别是 1 1 1,A B CC 的中点。 （1）求直线 1BC 与平面 1A BE 所成角的正弦值； （2）在棱 1CC 上是否存在一点 P ，使得平面 PAB与平面 1A BE 所成锐二面角为 60 ？若 存在，确定 P 点的位置；若不存在，请说明理由． 21．已知数列 na 是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 nS ，且 2 3 15a a  ， 4 16S  . 数列 nb 满足 1 1b a ， 1 1 1 n n n n b b a a     .（1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）是否存在正整数 m ，  n m n ，使得 2b ， mb ， nb 成等差数列？若存在，求出 m ， n 的值；若不存在，请说明理由. 22．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     过点 31, 2       ，且离心率为 3 2 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 与点Q 均在椭圆C 上，且 ,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点 M （点 5 M 在一象限），使得 PQM 为等边三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由． 6 江苏省宝应中学 20-21 学年第一学期高二年级期中考试 (数学)参考答案及评分标准 一、单选题：1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．C 8．A 当  *2n k k N  ，则 2 1 2 6 1k ka a k    ， 2 2 2 1 6 2k ka a k    ， ∴ 2 2 2 12 1k ka a k    ，即有 2 413a a  ， 2 4 2 2 12 13k ka a k    ， 作差得 2 4 2 12k ka a   ，∴  2020 4 2 212 504 13 6048 6061a a a a        ， ∴ 1 2020 1 26061a a a a    ，令 1n  可得， 2 1 2a a  ， ∴ 1 2020 6061 2 6059a a    为定值． 而           1009 2020 1 2020 2 3 4 5 2018 2019 1 6059 6 1 k S a a a a a a a a k              也为定值． 故选：A． 二、多选题： 9．AC 10．AB 11．ABD 12．CD 解：由 1, 0, 0x y y x    ，得 1 0y x   ，则 1x  且 0x  . 当 0 1x  时, 1 2 1 x x y   = 1 2 2 2 4 2 x x x x x x x x      = 1 2 1 2 5+ +2 =4 4 2 4 4 2 4 x x x x x x x x      .当且仅当 2 =4 2 x x x x   即 2 3x  时取等号. 当 0x  时, 1 2 1 x x y   = 1 2 2 2 4 2 x x x x x x x x          = 1 2 1 2 3+ +2 =4 4 2 4 4 2 4 x x x x x x x x            . 7 当且仅当 2 =4 2 x x x x     即 2x   时取等号. 综上， 1 3 2 1 4 x x y   . 三、填空题： 13.(  1，2) 14． 2 3 3m  15.0 16．5 2 6 四、解答题： 17．解：（1）∵ [0,1]x  ， 2 2m x  ，∴ 2 2m x  在 [0,1]x 上恒成立， ∴ max(2 2) 0m x   ，即 p 为真命题时，实数 m 的取值范围是 0m  ． ----4 分 （2）∵ [ 1,1]x   ， m x ，∴ 1m £ ，即命题 q 为真命题时， 1m £ ． ----6 分 ∵命题 p 与 q 一真一假，∴p 真 q 假或 p 假 q 真． 当 p 真 q 假时， 0, 1, m m    即 1m > ； 当 p 假 q 真时， 0, 1, m m    即 0m  ． -----9 分 综上所述，命题 p 与 q 一真一假时，实数 m 的取值范围为 0m  或 1m > ． -----10 分 18．解：（1）当 4m  时，双曲线方程化为， 2 2 14 5 x y  所以 2a  ， 5b  ， 3c  ，所以焦点坐标为 ( 3,0) ， 3,0 ，顶点坐标为 ( 2,0) ， 2,0 ， 渐近线方程为 5 2y x  . ------6 分 （2）因为 2 2 2 5 51c me a m m     ， 6 , 22e      所以 3 51 22 m    ， 解得5 10m  ， 所以实数 m 的取值范围是 5,10 ． ----12 分 8 19．解：（1）由不等式   0f x  的解集是 2,3 知， 2 和 3 是方程 2 0x bx c   的两个根.由根与系数的关系，得 2 3 2 3 b c       ，即 5 6 b c     . 所以   2 5 6f x x x  . ----6 分 （2）不等式   2 0f x t t   对于任意  3,3x  恒成立， 即   2f x t t  对于任意  3,3x  恒成立. 由于   2 5 6f x x x  的对称轴是 5 2x  ， 当 3x   时，  f x 取最大值，    max 3 30f x f   ， ----10 分 所以只需 2 30t t  ，即 2 30 0t t   .解得 5t   或 6t  . 故t 的取值范围为   , 5 6,   . ------12 分 20． 解：（1）分别以 1, ,CA CB CC 所在的直线为 x 轴、 y 轴， z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 可得 1 1(0,2,0), (0,0,2), (0,0,1), (2,0,2)B C E A ，则 1 1(0, 2,2), (2,0,1), (0,2, 1)BC EA EB       ， 设平面 1A BE 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 1 0 0 n EA n EB         ，即 2 0 2 0 x z y z      ，令 1x  ，可得 1, 2y z    ，即 (1, 1, 2)n    ， 所以 1 1 1 3cos , 6 BC nBC n BC n          ， 所以直线 1BC 与平面 1A BE 所成角的正弦值为 3 6 . ----6 分 （2）假设在棱 1CC 是存在一点 P ，设 ,(0 2)CP a a   ，可得 (0,0, )P a ， 9 由 (2,0,0), (0,2,0)A B ，可得 (2,0, ), (0,2, )PA a PB a     ， 设平面 PAB的法向量为 1 1 1( , , )m x y z ， 则 0 0 m PA m PB         ，即 1 2 2 0 2 0 x az y az      ，令 2z  ，可得 1 1,x a y a  ，即 ( , ,2)m a a ， 又由平面 1A BE 的一个法向量为 (1, 1, 2)n    ， 所以 2 2 4cos , 4 6 m nm n m n a a             ， 因为平面 PAB与平面 1A BE 所成二面角为 60 ， 可得 2 2 4 1cos60 24 6a a       ，解得 2 10 3a  ， 此时 30 3a  ，符合题意， 所以在棱 1CC 上存在一点 P,且 CP= 30 3 ，使得平面 PAB与平面 1A BE 所成锐二面角为 60 . ---12 分 10 21．解：（1）设等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d ， 则   1 1 1 2 15 4 34 162 0 a d a d a d d           ，解得： 1a 1,d 2= = ，  1 1 2 2 1na n n       ； -----3 分   1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nb b n n n n           ， 2 1 1 112 3b b       ， 3 2 1 1 1 2 3 5b b       ， ………… 当 2n  时， 1 1 1 1 2 2 3 2 1n nb b n n        ， 以上式子相加可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 12 3 3 5 2 3 2 1 2 2 1 2 1n nb b n n n n                        ， 1 1 1b a  ， 1 3 212 1 2 1n n nb n n        2n  ， 当 1n  时， 1 3 1 2 12 1 1b     ，成立 3 2 2 1n nb n    ； （n=1 没验证扣 1 分） ---6 分 （2）假设存在正整数 ,m n ，使得 2 , ,m nb b b 成等差数列， 则 2 2n mb b b  ， 2 4 3b  ， 3 2 3 1 2 1 2 4 2n nb n n     ， 3 1 2 4 2mb m    ， 11 4 3 1 3 123 2 4 2 2 4 2n m                ，即 1 1 2 2 1 6 4 2m n    ， ---8 分 化简得 7 2 92 71 1 nm n n     ， 当 1 3n   时，即 2n  时， 2m  （舍）， 当 1 9n   ，即 8n  时， 3m  ，符合题意， 存在正整数， 3, 8m n  ，使得 2 , ,m nb b b 成等差数列. ----12 分 22．解：（1）由题意 2 2 2 2 2 1 3 14 3{ 2 a b c a a b c      ，解得 2, 1a b  ， 所以椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  ． -------4 分 （2）由题意知直线 PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点 M ，则直线OM 的斜率 存在且大于零， , 3OM PQ OM OP  ① -----6 分 设直线OM 的斜率为 k ，则直线 :OM y kx ， 联立方程组 2 2{ 14 y kx x y    ，得 2 2 2 2, 1 4 1 4M M kx y k k     ， 所以 2 2 12 1 4 kOM k   ② -----8 分 同理可得直线 PQ 的方程为 2 2 1 1, 2 4 ky x OPk k     ③ -----9 分 将②③代入①式得  22 2 2 3 112 21 4 4 kk k k    ， 12 化简得 211 1 0k   ，所以 11 11k  所以 2 165 2 15,15 15M Mx y  ， 综上所述，存在符合条件的点 2 165 2 15,15 15M       ----12 分