2020-2021学年辽宁省抚顺市高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 抚顺市 2020-2021 学年度上学期期中教学质量检测 高二数学试卷 考试时间：120 分钟，试卷满分：150 分 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、单选题（本大题共 8 道小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的．将答案填写在答题纸相应位置上．） 1.设 a，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么下列命题中正确的是（ ） A．若 a，b 与α所成的角相等，则 a∥b B．若α⊥β，a∥α ，则 a⊥β C．若 a⊥α，a∥β， 则α⊥β D．若 a∥α，b∥β，则 a∥b 2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=AC=AA1=1，BC= 2 ，则异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 3.已知 A，B，C，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面 ABC， AD=2AB=6，则该球的表面积为（ ） A．48π B．32 3 π C．24π D．16π 4.如图，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现沿 SE， SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体，使 G1，G2，G3 三点重合于点 G，这样，给出下 列五个结论： ①SG⊥平面 EFG； ②SD⊥平面 EFG； ③GF⊥平面 SEF； ④EF⊥平面 GSD； ⑤GD⊥平面 SEE. A1 B1 C1 A B C （第 2 题图） G1 G2 G3 G S F E D （第 4 题图） 2 其中正确的是（ ） A．①和③ B．②和⑤ C．①和④ D．②和④ 5.若直线 mx+ny=4 与圆 x2+y2=4 没有交点，则过点 P(m，n) 的直线与椭圆 149 22  yx 的交点 的个数为（ ） A．0 或 1 B．2 C．1 D．0 6.已知 F1，F2 分别是椭圆 E： )1＜＜0(12 2 2 b b yx  的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若 AF=3|FB|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为（ ） A． 12 3 2 2  yx B． 12 3 3 22  yx C． 123 22  yx D． 132 22  yx 7.若椭圆 ）＞，＞（ 0012 2 2 2 ba b y a x  的离心率 e= ，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2+2bx+c=0 的两 个实数根分别是 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)到原点的距离为（ ） A． 2 B． 2 7 C．2 D． 4 7 8.已知椭圆 12 22  m yx 和双曲线 13 2 2 xy - 有公共焦点 F1，F2，P 为这两条曲线的一个交点， 则|PF1|·|PF2|的值等于（ ） A．3 B． 32 C． 23 D． 62 二、多选题：(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分．) 9.给定下列四个命题，其中为真命题的是（ ） A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行 B．若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直 C．垂直于同一直线的两条直线相互平行 D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 3 10.在体积为 2 3 的四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，AB=1，BC=2，BD=3 则 CD 的长可 以是（ ） A． 7 B． 19 C．7 D．19 11.若曲线 241 xy  与直线 4)2(  xky 有两个交点，则实数 k 的取值可以是（ ） A．0.3 B．0.75 C．0.8 D．0.6 12.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱的长度均相等，D 为 AA1 的中点， M，N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点)，且满足 BM=C1N，当 M，N 运动时，下列结论正确的是（ ） A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1 C．三棱锥 A-DMN 的体积为定值 D．△DMN 可能为直角三角形 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 三、填空题：（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知双曲线 ）＞，＞（ 0012 2 2 2 ba b y a x  的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与双 曲线的第一象限的交点为 P.若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为 . 14.如图，已知圆锥 SO 的母线 SA 的长度为 2，一只蚂蚁从点 B 绕着圆锥侧面爬回 点 B 的最短路程为 2，则圆锥 SO 的底面半径为 . 15.已知双曲线的方程为 12 2 2 yx - ，过点 P(2，1)作直线 1 交双曲线于 P1，P2 两点， 且点 P 为线段 P1P2 的中点，则直线 l 的方程为 . 16.已知二面角α-l-β为 60°，动点 PQ 分别在平面α，β，内，P 到β的距离为 3 ，Q 到α的 A B C D M N A1 B1 C1 （第 12 题图） （第 14 题图） B A S O 4 距离为 32 ，则 PQ 两点之间距离的最小值为 . 四、解答题：(本题共 6 小题，共 70 分) 17.已知点 M(0，3)，N(-4，0)及点 P(-2，4)； (1)若直线 l 经过点 P 且 l∥MN，求直线 l 的方程； (2)求△MNP 的面积。 18.如图，在空间几何体 A-BCDE 中，底面 BCDE 是梯形，且 CD∥BE，CD=2BE=4， ∠CDE=60°，△ADE 是边长为 2 的等边三角形。 (1)若 F 为 AC 的中点，求证：BE∥平面 ADE； (2)若 AC=4，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE. 19. (1)求经过点 A(5，2)，点 B(3，2)，且圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程； （第 18 题图） B A CD E F 5 (2)已知圆上的点 C(2，3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上，若该圆与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 22 ，求这个圆的方程。 20.已 知 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 BC=1，CC1=BB1=2，AB= 2 ，∠BCC1=60°，AB⊥侧面 BB1C1C (1)求证：C1B⊥平面 ABC； (2)求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积， (3)试在棱 CC1(不包含端点 C，C1)上确定一点 E，使得 EA⊥EB1； 21.如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1 是一个长方体，P-ABCD 是一个四棱锥.AB=2，BC=3， 点 P∈平面 CC1D1D 且 PD=PC=2 (1)证明：PD⊥平面 PBC; (2)求直线 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值； (3)若 AA1=a，当 a 为何值时，PC∥平面 AB1D. 22.已知抛物线 y2=2px(p＞0)上的点 T(3，t)到焦点 F 的距离为 4. (1)求 t，p 的值； (2)设抛物线的准线与 x 轴的交点为 M，是否存在过点 M 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，使得直线 AF 与直线 OB 垂直？若存在，求出△AFB 的面积，若不存 A1A C B B1 C1 （第 20 题图） A1 C （第 21 题图） D BA P B1 C1D1 6 在，请说明理由. 抚顺市 2020-2021 学年度上学期期中教学质量检测 高二数学试卷答案 一、单选题（本大题共 8 道小题，每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的．将答案填写在答题纸相应位置上．） 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A 二、多选题：(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。) 9.BD 10.AB 11.BD 12.ABC 三、填空题：（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 13  14. 3 1 15. 074  yx 16. 32 四、解答题：(本题共 6 小题，共 70 分) 17.(1) 0223 yx 4- (2)VNMP 的面积为 5 18.(1)如图所示，取 DA 的中点 G，连接 FG，GE. ∵F 为 AC 的中点， ∴GF∥DC，且 GF= 2 1 DC.又 DC∥BE，CD=2BE=4， ∴EB∥GF，且 EB=GF ∴四边形 BFGE 是平行四边形， （第 18 题图） B A CD E FG H 7 ∴BF∥EG.(3 分) ∵EG  平面 ADE，BF  平面 ADE， ∴BF∥平面 ADE.(5 分) (2)取 DE 的中点 H，连接 AH，CH. ∵△ADE 是边长为 2 的等边三角形， ∴AH⊥DE，且 AH= 3 . 在△DHC 中，DH=1，DC=4，∠HDC=60° 根据余弦定理可得 HC2=DH2+ DC2-2DH·DCcos60°=12+42-2×1×4× 2 1 =13，即 HC= 13 . 在△AHC 中，AH= 3 ，HC= 13 ，AC=4. 所以 AC2=AH2+HC2，即 AH⊥HC. )7( 分.平面， 平面 平面因为 BCDEAH HHCDE BCDEHC BCDEDE HCAH DEAH                ∵AH  平面 ADE，∴平面 ADE⊥平面 BCDE.(10 分) 19.解：(1)设圆的方程为 022  FEyDxyx . )分(2032 03222 .-- ,--在直线,--圆心 ①        ED yxED 又点 A(5，2)，点 B(3，2)在圆上， ② )(02349 025425 分4② ②     FED FED 由①②③得 D=-8，E=-10，F=31，此时 D2+E2-4F>0， 圆的方程为 03110822  yxyx -- .(6 分) (2)设圆的方程为     222 rbyax  8 由题意知圆心(a，b)在直线 x+2y=0 上， ∴a+2b=0 ④.(8 分) ∵点 C(2，3)在圆上， ∴     222 32 rba  ⑤ 又∵圆与直线 x-y+1=0 相交的弦长为 2 2 ， ∴圆心(a，b)到直线 x-y+1=0 的距离 2 1ba ， ∴   22 2 2 2 1 rba        ⑥（10 分） 由④⑤⑥得 a=6，b=-3，r= 52 或 a=14，b=-7，r= 224 ； 所求圆的方程为     5236 22  yx 或     224714 22  yx 20.解：(1) ∵BC=1，CC1=BB1=2，AB= 2 ，∠BCC1=60°，AB⊥侧面 BB1C1C ∴AB⊥BC1(1 分) 在△BCC1 中，由余弦定理得 BC= 3 ，则 BC2+BC2=CC2， ∴BC⊥BC1(2 分) 又∵BC∩AB=B，且 AB，BC  平面 ABC ， ∴C1B⊥平面 ABC.(4 分) (2)由已知可得 S△ABC= 2 1 AB·BC= 2 1 × 2 ×1= 2 2 9 由(1)知 C1B⊥平面 ABC，C1B= 3 ， 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC·C1B= 2 2 × 3 = 2 6 .（8 分） (3)在棱 CC1：(不包含端点 C，C1)上取一点 E，连接 BE. ∵EA⊥EB，AB⊥EB，AB∩AE=A，AB，AE  平面 ABE， ∴BE⊥平面 ABE. 又∵BE  平面 ABE， ∴BE⊥EB. 不妨设 CE=x(0＜x＜2)，则 C1E= x2 ， 在△BCE 中，由余弦定理得 BE= xx  221 在△B1C1E 中，∠B1C1E=120°，由余弦定理得 B1E2= 752  xx 在 Rt△BEB1 中，由 B1E2+BE2=B1B2，得     4175 22222  xxxx ， 解得 x=1 或 x=2(舍去). 故 E 为 CC1 的中点时，EA⊥EB1.(12 分) 21.(1)证明：∵PD=PC= 2 ，CD=AB=2， ∴△PCD 为等腰直角三角形，所以 PD⊥PC.(1 分) 又∵ABCD-A1B1C1D1 是一个长方体， ∴BC⊥平面 CC1D1D，而 P∈平面 CC1D1D， ∴PD  平面 CC1D1D，所以 BC⊥PD.(3 分) 又∵PC∩BC=C， ∴PD 平面 PBC.(4 分) (2)如图，过 P 点作 PE⊥CD，连接 AE. 10 ∵平面 ABCD⊥平面 PCD，所以 PE⊥平面 ABCD， ∴∠PAE 就是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角.(6 分) 又∵ PD=PC=2，PD⊥PC，所以 PE=1，DE=1，所以 1013222  DEADAE ， ∴ 10 10 10 1tan  AE PEPAE . ∴直线 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 10 10 .(8 分) (3)当 a=2 时，PC∥平面 AB1D.理由如下：如图，连接 C1D， ∵a=2， ∴四边形 CC1D1D 是一个正方形， ∴∠CDC=45°，而∠PDC=45°， ∴∠PDC=90°，所以 C1D⊥PD. 又∵PC⊥PD，C1D 与 PC 在同一个平面内， ∴PC∥C1D.(10 分) 又∵C1D  平面 AB1C1D ∴PC∥平面 AB1C1D ∴PC∥平面 AB1D.(12 分) 22.解：(1)由题意及抛物线的定义得 423  p ，则 p=2，(2 分) ∴抛物线的方程为 xy 42  ， 又∵点 T 在抛物线上，故 342 t ，解得 32t .(4 分) (2)由(1)易得 M(-1，0) ，F(1，0). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)假设存在直线 l 满足题意，设其方程为 x = my-1(m≠0)， 将其代入 xy 42  得 0 = 4+42 myy - ，      4 4 21 21 yy myy所以 A1 C （第 21 题图） D BA P B1 C1D1 E 11 由Δ=16m2-16＞0，得 m＞1 或 m＜-1.(6 分) 又直线AF与直线OB 垂直，易知直线 AF与直线OB的斜率都存在，所以kAF·kOB=-1， 即 11 2 2 1 1  x y x y ， 所以 12 4 )2)(1( 4 )1( 21212 21  mymymyxx yy 故 mymy 6 3 2 21  , .(8 分) 又 0 = 4+4 2 2 2 myy - ，解得 5 53m ，满足Δ＞0， 所以满足条件的直线 l 的方程为 05535 x .(10 分) 5 148 5 58 5 706 3 21 1)()( 2 21 22 21 2 21   m mmyy myyxxAB此时 又点 F 到直线 l 的距离 70 10 )53(5 55 22   d 所以△AFB 的面积 5 58 70 10 5 148 2 1 2 1  dABS